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要点导学各个击破直线与圆的位置关系(2014重庆七校联考)已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,直线l的方程为3x+4y+m=0.若圆与直线相切,则实数m=.答案2或-8解析因为直线与圆相切,所以=1m=-8或2.精要点评圆与直线的位置关系的判定方法主要两种:(1) 利用圆心到直线的距离d与圆的半径R的关系;(2) 利用一元二次方程根的判别式的符号.(2014重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,那么实数a=.答案4解析由题设知圆心C到直线ax+y-2=0的距离为,所以=,解得a=4.圆的切线问题(2014张家港模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=1.(1) 求过点P(3,m)与圆C相切的切线方程;(2) 若点Q是直线x+y-6=0上的动点,过点Q作圆C的切线QA,QB,其中A,B为切点,求四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标.解答(1) 当m=0时,切线方程为x=3.当m0时,设切线方程为y-m=k(x-3),所以=1,k=.故切线方程为x=3或y-m=(x-3).(2) S四边形QACB=2SQAC=ACAQ=,故当CQ最小即CQ垂直于直线x+y-6=0时,四边形QACB的面积最小,CQmin=2,所以S四边形QACB的最小值为,此时CQ的方程为y=x-2,故Q(4,2).若过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为点A,B,则直线AB的方程为.答案2x+y-3=0解析方法一:由点P(3,1),圆心C(1,0)可设过点P的圆C的切线方程为y-1=k(x-3),由题意得=1,解得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为(1,1),又因为kPC=,所以kAB=-=-2,即直线AB的方程为y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0.方法二:点P(3,1),圆心C(1,0),则以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立-得AB的方程为2x+y-3=0.圆的弦长、弦心距和半径关系问题(2014衡水中学模拟)已知圆M:x2+y2-2x-4y-11=0被过点N(-1,1)的直线截得的弦长为4,求该直线的方程.解答圆M方程转化为(x-1)2+(y-2)2=16,则M(1,2),r=4.设过点N(-1,1)的所求直线为l.当直线l的斜率k不存在时,l为x=-1,则交点A(-1,2-2),B(-1,2+2),满足AB=4.当直线l的斜率k存在时,设l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,则d=,则d2+=16,即d2=16-12=4,则k=-,此时,直线l的方程为y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或3x+4y-1=0.【题组强化重点突破】1. 在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为.答案2解析圆心到直线的距离d=1,所以R2-d2=,即AB2=4(R2-d2)=12,所以AB=2.2. 已知圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P(3,0),那么过点P的最短弦所在直线的方程为.答案x+y-3=0解析设圆心为C,因为过点P(3,0)的最短弦垂直于PC,直线PC的斜率k=1,所以所求直线的斜率为-1,从而直线方程为x+y-3=0.3. (2014安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A,B两点,则OAB的面积为.答案1解析圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心C为(0,-1),半径为2,直线l的斜率为-1,则方程为x+y-1=0,圆心C到直线l的距离d=,弦长AB=2=2,又坐标原点O到弦长AB的距离为,所以OAB的面积为2=1.4. 设点O为坐标原点,点C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足=0,则=.答案解析因为=0,所以OMCM,所以OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,由=,得k=,即=.含参数的圆的问题已知以点C(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点.(1) 求证:AOB的面积为定值;(2) 设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.思维引导(1) 将AOB的面积表示为t的函数即可;(2) 将OM=ON转化为原点O在MN的中垂线上,即设MN的中点为H,则CHMN,然后求出t,再求出圆C的方程.解答(1) 由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则点A(2t,0).当x=0时,y=0或,则点B.所以SAOB=OAOB=|2t|=4为定值.(2) 因为OM=ON,所以原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CHMN,所以C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=,所以t=2或t=-2,则圆心C(2,1)或C(-2,-1),所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.已知圆M的圆心M在y轴上,半径为1,直线l:y=2x+2被圆M所截得的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1) 求圆M的方程;(2) 设点A(t,0),B(t+5,0)(-4t-1).若AC,BC是圆M的切线,求ABC面积的最小值.规范答题(1) 设M(0,b),由题设知,点M到直线l的距离是 =. (2分)所以=,解得b=1或b=3. (4分)因为圆心M在直线l的下方,所以b=1,即所求圆M的方程为x2+(y-1)2=1.(6分)(2) 当直线AC,BC的斜率都存在,即-4t-1时,直线AC的斜率kAC=tan(2MAO)=.同理,直线BC的斜率kBC=. (8分)所以直线AC的方程为y=(x-t),直线BC的方程为y=(x-t-5). (10分)联立方程组得x=,y=. (12分)所以yC=2-.因为-4t-1,所以-t2+5t+1-3,所以yC0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,那么ab的最大值为.答案4. (2014浙江六校联考)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k=,b=.答案-4解析由题意可知2x+y+b=0过圆心(2,0),所以b=-4.又y=kx与2x+y+b=0互相垂直,所以k=.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第113-114页).
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