（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第53课 立体几何综合 文-人教版高三全册数学试题

第53课 立体几何综合(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P38练习5改编)如图，在ABC中，M为边BC的中点，沿AM将ABC 折起，使点B在平面ACM外.则当时，直线AM平面BCM.(第1题)【答案】AB=AC【解析】当AB=AC时，有AMMB，AMMC.2.(必修2P50练习5改编)若在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面MNP与平面ABC的位置关系为.【答案】平行3.(必修2P70练习13改编)若三个球的半径之比为123，则最大的球的体积是另外两个球的体积之和的倍.【答案】3【解析】根据球的体积公式V=r3进行求解.4.如图(1)，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.(第4题(1)【答案】13【解析】如图(2)，将三棱柱沿侧棱AA1展开(两周)，AA1=5 cm，AA=12 cm，易知所求最短路线长为A1A=13 cm.(第4题(2)1.高考中关于立体几何的常考考点有：性质的运用，证明位置关系(平行或垂直)，求量(体积、面积、长度).2.解决翻折问题时要注意量和关系的变与不变.3.立体几何会与函数等知识综合考查求最值，得出关系式是解决问题的前提.【要点导学】要点导学各个击破简单几何体的折叠问题例1(2014广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如图(2)所示折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)求证：CF平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积. 图(1) 图(2)(例1)【思维引导】要证CF平面MDF，可通过证明CFDF与CFMD得到.求三棱锥M-CDE的体积的前提是分别求得CDE的面积与MD的值；借助图形中的垂直与平行关系可求得相应的值.【解答】(1)因为PD平面ABCD，PD平面PCD，所以平面PCD平面ABCD，而平面PCD平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MDCD，所以MD平面PCD.因为CF平面PCD，所以CFMD，又CFMF，MD，MF平面MDF，且MDMF=M，所以CF平面MDF.(2)由(1)知CF平面MDF，DF平面MDF，所以CFDF，易知PCD=60，所以CDF=30，从而CF=CD=，因为EFDC，所以=，即=，所以DE=，所以PE=，所以SCDE=CDDE=，MD=，所以=SCDEMD=.【精要点评】本题以折叠图形为考查形式，考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱锥的体积，属于中档题.图形折叠问题主要先弄清量的变与不变的问题，以及两个图形之间的关系等.变式如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF，其中BC=.(1)求证：DE平面BCF；(2)求证：CF平面ABF；(3)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积. 图(1) 图(2)(变式)【思维引导】要证DE平面BCF，即可证DEBC；要证CF平面ABF，即可证AFCF与BFCF；求体积前先确定GE是高，DFG是底.【解答】(1)在等边三角形ABC中，AD=AE，所以=，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，所以DEBC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFCF，且BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，所以CFBF.因为BFAF=F，BF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG，所以=DGFGGE=.立体几何模型实际应用问题例2请你设计一个包装盒，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去如图(1)所示的阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个如图(2)所示的正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试问：x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问：x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 图(1) 图(2)(例2)【思维引导】本题求解的前提是找到盒子的底面边长与高，继而求得底面面积，再求其体积.而解题的关键是正确地求得“盒子”体积的函数式.因为题中涉及了三次函数的最值，所以要考虑结合导数求最值.【解答】(1)根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1 800(0x30)，所以x=15 时包装盒侧面积S最大.答：当x=15时，包装盒的侧面积最大，(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0x30)，所以V=6x(20-x).当0x0，V单调递增；当20x30时，V0，V单调递减，所以当x=20时，V取极大值也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为=.答：x=20时包装盒容积V最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.【精要点评】(1)本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解的能力等，属于中档题；(2)合理、正确地构建函数式是解决此类问题的关键，在给出函数式时要考虑到其定义域；(3)涉及求高次函数的最值时要考虑结合导数求最值.变式如图(1)，将边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的底面为正三角形的铁皮箱，如图(2)所示，当箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少? 图(1) 图(2)(变式)【解答】设箱底边长为x，则箱高为h=(0xa)，箱子的容积为V(x)=x2sin 60h=ax2-x3(0x0，函数V(x)单调递增；当x时，V(x)0，函数单调递减，所以函数V(x)在x=a处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：V=a-=a3.答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.简单的几何体镶嵌问题例3在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是.【思维引导】要求球的面积，关键在于求球的半径.【答案】3a2(例3)【解析】作出球O如图所示，设过A，B，C三点的球的截面圆的半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d，在三棱锥P-ABC中，因为PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=a，所以AB=AC=BC=a，且点P在ABC内的射影是ABC的中心O，由正弦定理得 =2r，所以r=a.又根据球的截面圆性质，有OO平面ABC.而PO平面ABC，所以P，O，O三点共线，球的半径R=.又PO=a，所以OO=R-a=d=，所以=R2-，解得R=a，所以S球=4R2=3a2.【精要点评】解决球与棱柱、棱锥、棱台的切、接问题，一般经过球心及多面体中特殊的点或线作截面，通过作截面把空间问题转化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找两几何体的元素间的关系.解决镶嵌问题的关键是要弄清楚两个或多个几何体之间的数量及位置关系.变式若一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为.【答案】【解析】可考虑正四面体的“外接”立方体，该立方体的棱长为1，其外接球的直径为，所以球的体积为=.1.一块边长为10cm的正方形铁片按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图(2)所示的正四棱锥容器，则当x=6cm时，该容器的容积为cm3.图(1)图(2)(第1题)【答案】48【解析】由题知AB=6cm，所以底面ABCD的面积为36cm2.结合图形可求得正四棱锥的高为4，所以该容器的容积为48cm3.2.在棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为.【答案】3.(2015陕西卷)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，AB=BC，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图(2)所示.求证：CD平面A1OC. 图(1) 图(2)(第3题)【解答】在图(1)中，因为AB=BC，AD=2BC，E是AD的中点，BAD=90，所以四边形ABCE是正方形，所以BEAC，即在图(2)中，BEOA1，BEOC，OA1OC=O，OA1，OC平面A1OC，所以BE平面A1OC，又ADBC，AD=2BC，且E为AD的中点，所以EDBC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.4.请你设计一个如图所示的帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.问：当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大?(第4题)【解答】设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为=，于是底面正六边形的面积为6=(8+2x-x2)，所以帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)(x-1)+1=(16+12x-x3)，V(x)=(12-3x2).令V(x)=0，解得x=-2(不合题意，舍去)或2.当1x0 ，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0 ，V(x)为减函数.所以当x=2时，V(x)最大.答：当OO1=2 m时，帐篷的体积最大.【融会贯通】融会贯通能力提升如图(1)所示，在RtABC中，AC=6，BC=3，ABC=90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，且CE=4.如图(2)所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点. 图(1) 图(2)(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积.【思维引导】【规范解答】(1)在图(1)中，因为AC=6，BC=3，ABC=90，所以ACB=60.因为CD为ACB的平分线，所以BCD=ACD=30，所以CD=22分因为CE=4，DCE=30，所以DE=2.因为CD2+DE2=EC2，所以CDE=90，即DEDC4分在图(2)中，因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACD=CD，DE平面ACD，所以DE平面BCD7分(2)在图(2)中，因为EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDG=BG，所以EFBG.9分因为点E在线段AC上，CE=4，点F是AB的中点，所以AE=EG=CG=2.作BHCD交CD于点H，如图(3)所示.因为平面BCD平面ACD，所以BH平面ACD.11分图(3)由已知条件可得BH=.12分SDEG=SACD=ACCDsin 30=.13分所以三棱锥B-DEG的体积V=SDEGBH= 14分【精要点评】对于翻折问题，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变，但是在折痕两侧的线的长度、角的大小以及位置关系都有变化，这一点是处理翻折问题的关键.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第105106页.【检测与评估】第53课立体几何综合一、 填空题1.(2015平顶山统考)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的条件.2.在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有对.3.下列命题中，是真命题的有.(填序号)平行于同一个平面的两个不同平面互相平行；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是.(填序号)若，m，n，则mn；若，m，n，则mn； 若mn，m，n，则；若m，mn，n，则.5.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及委米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有.(第5题)6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是.(第6题)7.在正四面体ABCD中，E是AB的中点，那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为.8.(2015苏锡常镇二模)已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为.二、 解答题 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=AB， ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1)求证：BC平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PNPB的值.(第9题)10.(2015无锡期末)如图，过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE.(1)请在木块的上表面作出过点P的锯线EF，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，求证：平面BDFE平面A1C1CA.(第10题)11.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015福建卷)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.(第12题)(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值；(3)若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.【检测与评估答案】第53课立体几何综合1. 必要不充分2. 4【解析】3对侧面，1对底面.3. 4. 5.22斛【解析】设圆锥底面半径为r，则23r=8，得r=，所以米堆的体积为35=，故堆放的米约为1.6222(斛).6. 7.【解析】如图，设AD的中点为F，连接EF，CF，则EFBD，所以异面直线CE与BD所成的角就是CEF.设正四面体ABCD的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=a，由余弦定理可得cos CEF= =.(第7题)8.【解析】如图，设底面半径为r，由题意可得母线长为r.又侧面展开图的面积为r2r=4，所以r=2.又截面三角形ABD为等边三角形，故BD=AB=r，又OB=OD=r，故BOD为等腰直角三角形.设圆锥底面中心到截面的距离为d，又=，所以dSABD=AOSOBD.又SABD=AB2=8=2，SOBD=2，AO=r=2，故d=.(第8题)9. (1) 设AD=1，因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2.因为ADC=90，所以AC=，CAB=45.在ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2，所以BCAC.因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC.因为PC平面PAC，AC平面PAC，PCAC=C，所以BC平面PAC.(2) 如图，因为ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，(第9题)所以AB平面CDMN.因为AB平面PAB，平面PAB平面CDMN=MN，所以ABMN.在PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PNPB的值为.10. (1) 如图，在上底面内过点P作B1D1的平行线，分别交A1D1，A1B1于F，E两点，则EF即为所作的锯线.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱B1BD1D且B1B=D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，所以EFBD，从而EFB1D1.(第10题)(2) 由于四边形BB1D1D是矩形，所以BDB1B.又A1AB1B，所以BDA1A.又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BDAC.因为ACA1A=A，AC平面A1C1CA，A1A平面A1C1CA，所以BD平面A1C1CA.因为BD平面BDFE，所以平面BDFE平面A1C1CA.11. (1) 如图，在四面体ABCD中，设AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP，EP，CP，所以BPAD，CPAD，BPCP=P，BP，CP平面BCP，所以AD平面BPC，所以=+=SBPCAP+SBPCPD=SBPCAD=a x=a3(当且仅当x=a时取等号).所以该四面体的体积的最大值为a3.(第11题)(2) 由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，所以S表=2a2+2a=a2+a=a2+=a2.12. (1) 在AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以ACOD.又PO垂直于圆O所在的平面，AC圆O所在的平面，所以POAC.因为PODO=O，PO，DO平面PDO，所以AC平面PDO.(2) 因为点C在圆O上，所以当COAB时，点C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB=2，所以ABC面积的最大值为 21=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，故三棱锥P-ABC体积的最大值为11=.(3) 在POB中，PO=OB=1，POB=90，所以PB=.同理PC=，所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中，将侧面PCB绕PB旋转至平面PBC，使之与平面ABP共面，当O，E，C共线时，CE+OE取得最小值.又因为OP=OB，CP=CB，所以OC垂直平分PB，即E为PB的中点.从而OC=OE+EC=+=，即CE+OE的最小值为.(第12题)