调性与凹凸性

四 、 函 数 单 调 性 与 凹 凸 性的 符 号 与 函 数 的 单 调 性、一 )x(f)( 的 符 号 与 函 数 的 凹 凸 性、二 )x(f 的 符 号 与 函 数 的 单 调 性、一 )x(f)( )b,a(x),0)x(f(0)x(f)(b,a)x(f ,)b,a(,b,a)x(f: 单 减单 增在 则可 导在连 续在性 质证 ： 用 反 证 法 0)x(f ),b,a(x 00 设0 xx )x(f)x(flim 0 0 xx 0 即 ),x,x(x 00 )x(f)x(f,xx 00 与 f(x)在 a,b单 增 矛 盾中 值 定 理用 Lagrange 2121 xx,b,ax,x 可 导在连 续在 )x,x(,x,x)x(f 2121 0 xx )x(f)x(f)(f)x,x( 12 1221 使 )x(f)x(f 12 单 调在的 任 意 性 知由 b,a)x(f,x,x 21 题 型 一 ： 讨 论 f(x)的 单 调 性注 意 :函 数 的 单 调 性 是 一 个 区 间 上 的 性 质 ， 要 用导 数 在 这 一 区 间 上 的 符 号 来 判 定 ， 而 不 能 用 一点 处 的 导 数 符 号 来 判 别 一 个 区 间 上 的 单 调 性 . ,)( )(0)(数 的 符 号 然 后 判 断 区 间 内 导的 定 义 区 间来 划 分 函 数 不 存 在 的 点的 根 及用 方 程 xf xfxf 方 法 :例 1 .x23x)x(f 32的 单 调 性讨 论 函 数 例 1解 .x23x)x(f 32的 单 调 性讨 论 函 数 .1x0 x 1xx1)x(f 313131 驻 点,)1,0( 内在 函 数 单 调 减 少 ；,),1(),0,( 内在 .函 数 单 调 增 加)x(f )x(f ),1(1)1,0(0)0,(x - +0 x 当 不 存 在时当 )x(f,0 x 不 存 在 0+ 例 2解 .)( 3 2 的 单 调 区 间确 定 函 数 xxf ).,(: D )0 x(,0 x32)x(f 3 .,0 导 数 不 存 在时当 x 3 2xy )x(f )x(f ),0(0)0,(x - + 不 存 在 单 增在单 减在 )(0,0)(-f(x) 单 调 减 少在证 二 次 可 导在设例 a(0,xf(x) 0(x)f0,f(0),a0,f(x) 3 注 意 :区 间 内 个 别 点 导 数 为 零 ,不 影 响 区 间 的 单 调 性 .例 如 , ,3xy ,00 xy .),( 上 单 调 增 加但 在 ,x )x(f)x(F: 令证 2x )x(fx)x(f)x(F ),x(f)x(fx)x(G 令 )x(fx)x(G 0,a(0,G(x) 在 ,0)0(G 又 0G(0)G(x)0,x 0)x(F .a,0(xf(x)F(x) 单 调 减 少在 例 4证 !3xxxsin,0 x: 3 时当证 明 ,6xxxsin)x(f 3设 .2x1xcos)x(f 2则 ,0)0(f 题 型 二 ： 用 单 调 性 证 明 不 等 式)0 x(,0 xxsin)x(f 0(0)f(x)f0,x ,0)0(f !3xxxsin,0 x 3 时当 ),0()x(f 在 ),0()x(f 在 x)x1ln(2x-x,0 x 5 2 时证 当例 .)1,0(12x 6 x 内 有 且 仅 有 一 个 根在方 程证例 问 题 :如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ? xyoxyo )(xfy 1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 位 于 所 在 弦 的 下 方 A B C 的 符 号 与 函 数 的 凹 凸 性、二 )x(f 定 义 );()x(f ),()b,a()x(f ),2x(f2q)1x(f1q)2x2q1x1q(f ,12q1q,2q,1q )b,a(2x,1x,)b,a()x(f 或 凸 函 数为 下 凸 函 数称 或 上 凹内 为 下 凸 的在则 称 恒 有及 内 有 定 义在设 (1) xyo 1x 2x)(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 在 弦 的 上 方 );()x(f ),()b,a()x(f ),2x(f2q)1x(f1q)2x2q1x1q(f 或 凹 函 数为 上 凸 函 数称 或 下 凹内 为 上 凸 的在那 末 称 (2) )0)x(f(0)x(f)()b,a()x(f ,)b,a()x(f2.4 上 凸内 下 凸在则 内 二 阶 可 导在如 果性 质 xyo )(xfya bA B递 增)(xf 0y xyo )(xfya bBA 递 减)(xf 0y.)y,x(, ),b,a(x,b)(a,f(x) 3.4 00 0称 为 拐 点下 凸 的 分 界 点上 凸 连 续在设定 义 为 平 面上 的 点 .,)x(f,x5)-(2xf(x) 1 3 2 并 求 拐 点的 凹 凸 性讨 论设例 题 型 一 :判 断 f(x)的 凹 凸 性 ,并 求 拐 点3235 x5x2)x(f: 解 3132 x310 x310)x(f 0 x 当3431 x910 x920)x(f 0)1x2(x910 34 21x 不 存 在时当 )x(f,0 x )x(f )x(f ),0(0)0,21(21)21,(x - + +0 不 存 在 ,),0(),0,21(,)21,()x(f 下 凸在上 凸在 )23,21( 3拐 点 例 2 .3 的 拐 点求 曲 线 xy 解 ,0时当 x ,31 32 xy ,x92y 35.y,y,0 x 均 不 存 在时 .)0,0( 3 的 拐 点是 曲 线点 xy ff ),0(0)0,(x 不 存 在+ - 求 拐 点 的 步 骤 不 存 在 的 点及求 (x)f0(x)f )1( .(x)f,D(f) )2( 的 符 号讨 论划 分 成 几 个 区 间用 这 些 点 将 的 凸 凹 区 间 及 拐 点求例 lnxf(x) 2 0)x(f ,)x(f)x(f,x(,xf(x) 3.4 0 000则 的 拐 点为且二 阶 可 导在若性 质 .bxaxy(1,3),ba, 3 23 的 拐 点为为 何 值 时问例 方 法 1: ,x)x(f 0的 去 心 邻 域 内 二 阶 可 导在设 函 数 ;)(,(,)()1( 000 即 为 拐 点点变 号两 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 点点不 变 号两 近 旁 xfxxfx 点 未 必 二 阶 可 导在 0 x 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 点线 是 曲那 末而 且的 邻 域 内 三 阶 可 导在设 函 数xfy xfxxfxf xxf .)x(f)0(f,0( ,0)0(f,x(x)f(x)f f(x) 7 2的 拐 点是 否 是问 且满 足设例 题 型 二 : 利 用 凹 凸 性 证 明 不 等 式 q1p1x qypxxy1,qp0,qp,),(0,yx, (2) ),(ef(x)(1) 4 有为 严 格 下 凸 函 数在证例 2yxyx e2ee y,x 5 证设例 )()()(, ),(x,x:,b)(a,f(x) 6 212 1112221 21 xfxx xxxfxx xxxfxxx ba 有 证内 严 格 下 凸 函 数在设例 4.小 结曲 线 的 弯 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 变 弯 曲 方 向 的 点 拐 点 ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 点 的 求 法 1, 2. 思 考 题 若 0)0( f ， 是 否 能 断 定 )(xf 在 原 点 的充 分 小 的 邻 域 内 单 调 递 增 ？ 思 考 题 解 答不 能 断 定 . 例 0,0 0,1sin2)( 2 x xxxxxf )0(f )1sin21(lim0 xxx 01但 0,1cos21sin41)( xxxxxf )212( 1kx当 时 ， 0)212( 41)( kxf kx 21当 时 ， 01)( xf注 意 可 以 任 意 大 ， 故 在 点 的 任 何 邻域 内 ， 都 不 单 调 递 增 k 00 x)(xf 一 、 填 空 题 ：1、 函 数 71862 23 xxxy 单 调 区 间 为 _ _.2、 函 数 21 2 xxy 在 区 间 -1,1上 单 调 _， 在 _上 单 调 减 .3、 函 数 22 ln xxy 的 单 调 区 间 为 _， 单 减 区 间 为 _.二 、 确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ： 1、 xxxy 694 10 23 ；2、 3 2)(2( xaaxy ( 0a )； 3、 xxy 2sin . 练 习 题 三 、 证 明 下 列 不 等 式 ：1、 当 0 x 时 ， 22 1)1ln(1 xxxx ； 2、 当 4x 时 ， 22 xx ；3、 若 0 x ， 则 361sin xxx . 四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 几 个 实 根 .五 、 设 )(xf 在 ba, 上 连 续 ， 在 ( ba, )内 )(xf ,试 证 明 ： 对 于 ba, 上 任 意 两 1x ， 2x 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 提 示 ： 方 法 （ 1） 0)( xf ， )(xf 单 增 ； 方 法 （ 2） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 一 、 1、 ),3,1,( 单 调 增 加 , 3,1 单 调 减 少 ； 2、 增 加 , ),1,1,( 3、 1,( , ),1 ； 1,0(,1,(;1,0(),0,1 . 二 、 1、 在 ),1,21,0(),0,( 内 单 调 减 少 , 在 1,21 上 单 调 增 加 ； 2、 在 ),32,( aa 内 单 调 增 加 , 在 ,32 aa 上 单 调 减 少 ； 练 习 题 答 案 3、 在 32,2 kk 上 单 调 增 加 , 在 22,32 kk 上 单 调 减 少 , ),2,1,0( k .四 、 (1) ea 1 时 没 有 实 根 ； (2) ea 10 时 有 两 个 实 根 ；(3) ea 1 时 只 有 ex 一 个 实 根 .