电磁场第五章时变电磁场

第五章第五章 时变电磁场时变电磁场 Electromagnetic field equations5.1法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律5.2麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组5.3电磁场的边界条件电磁场的边界条件5.4坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量5.5时谐电磁场时谐电磁场 时变电磁场时变电磁场 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁磁场场，电场与磁，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。场相互依存，构成统一的电磁场。英国科学家英国科学家麦克斯韦麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论讨论。5.1.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律(Faradays Law of Induction)静态场静态场:场大小不随时间发生改变场大小不随时间发生改变(静电场静电场,恒定电、磁场恒定电、磁场)时变场时变场:场的大小随时间发生改变。场的大小随时间发生改变。特特性性：电电场场和和磁磁场场相相互互激激励励，从从而而形形成成不不可可分分隔隔的的统统一一的的整整体，称为电磁场。体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应现象与楞次定律一、电磁感应现象与楞次定律q电电磁磁感感应应现现象象实实验验表表明明：当当穿穿过过导导体体回回路路的的磁磁通通量量发发生生变化时，回路中会出现感应电流。变化时，回路中会出现感应电流。q 楞楞次次定定律律：回回路路总总是是企企图图以以感感应应电电流流产产生生的的穿穿过过回回路路自自身身的磁通，去的磁通，去反抗反抗引起感应电流的磁通量的改变。引起感应电流的磁通量的改变。5.1 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律q 法法拉拉第第电电磁磁感感应应定定律律：当当穿穿过过导导体体回回路路的的磁磁通通量量发发生生改改变变时时，回回路路中中产产生生的的感感应应电电动动势势与与回回路路磁磁通通量量的的时时间间变变化化率率成成正正比关系。数学表示：比关系。数学表示：说说明明：“-”号号表表示示回回路路中中产产生生的的感感应应电电动动势势的的作作用用总总是是要要阻阻止止回路磁通量的改变。回路磁通量的改变。二、法拉第电磁感应定律 当回路以速度当回路以速度v运动时，运动时，斯托克斯定理斯托克斯定理法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式物物理理意意义义：1 1、某某点点磁磁感感应应强强度度的的时时间间变变化化率率的的负负值值等等于于该该点点时时变变电场强度的旋度。电场强度的旋度。2 2、感感应应电电场场是是有有旋旋场场，其其旋旋涡涡源源为为 ，即即磁磁场场随随时时间间变变化化的的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。说明：说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中间变化在回路中“感生感生”的电动势的电动势;第二部分是导体回路第二部分是导体回路以速度以速度v对磁场作相对运动所引起的对磁场作相对运动所引起的“动生动生”电动势电动势当回路静止时，当回路静止时，变化的磁场变化的磁场能产生电场能产生电场q电流连续性方程电流连续性方程 时间内，时间内，V V内流出内流出S S的电荷量为的电荷量为电荷守恒定律：电荷守恒定律：时间内，时间内，V V内电荷改内电荷改变量为变量为由电流强度定义：由电流强度定义：电流连续性方电流连续性方程的微分形式程的微分形式电流连续性方程积分形式电流连续性方程积分形式5.2.2 位移电流和全电流定律在时变情况下在时变情况下 另一方面，由另一方面，由 得到了两个相互矛盾的结果。得到了两个相互矛盾的结果。q 位移电流位移电流 在在 的右端加一修正项的右端加一修正项则则是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为为位移电流密度位移电流密度:q 全电流定律全电流定律 由积分形式：积分形式：物理意义：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。上的全电流。推广的安培环推广的安培环路定理路定理全电流定律全电流定律全电流全电流变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场对任意封闭面对任意封闭面S有有 全电流连续性原理 物理意义：物理意义：穿穿过过任任一一封封闭闭面面的的各各类类电电流流之之和和恒恒为为零零。这这就就是是全全电电流流连连续续性性原理。原理。将将它它应应用用于于只只有有传传导导电电流流的的回回路路中中,得得知知节节点点处处传传导导电电流流的的代代数数和和为为零零(流流出出的的电电流流取取正正号号,流流入入取取负负号号)。这这就就是是基基尔尔霍霍夫夫(G.R.Kirchhoff,德德)电流定律电流定律:I=0。例例：在在z=0和和z=d位位置置有有两两个个无无限限大大理理想想导导体体板板，在在极极板板间间存存在在时时变变电电磁磁场场，其其电场强度为电场强度为求求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；例题解：解：(1)(1)由由法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式设设平平板板电电容容器器两两端端加加有有时时变变电电压压U,试试推推导导通通过过电电容容器器的的电电流流I与与U的的关系。关系。图 平板电容器 例 5.2解：解：设平板尺寸远大于其间距设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀则板间电场可视为均匀,即即E=U/d,从而得从而得 式中式中C=A/d为平板电容器的电容。为平板电容器的电容。5.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 5.3 麦克斯韦方程组Maxwells Equations（推广的安培环路定律）（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式 时变电磁场的源：时变电磁场的源：1 1、真实源（变化的电流和电荷）；、真实源（变化的电流和电荷）；2 2、变化的电场和变化的磁场。、变化的电场和变化的磁场。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。物理意义：物理意义：时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。电磁波。麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组的的地地位位：揭揭示示了了电电磁磁场场场场量量与与源源之之间间的的基基本本关关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式程组的非限定形式 本构关系本构关系 将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程麦克斯韦方程组限定形式组限定形式Constitutive equations 若若媒媒质质参参数数与与位位置置无无关关,称称为为均均匀匀(homogeneous)媒媒质质;若媒质参数与场强大小无关若媒质参数与场强大小无关,称为称为线性线性(linear)媒质媒质;若若媒媒质质参参数数与与场场强强方方向向无无关关,称称为为各各向向同同性性(isotropic)媒媒质质;若若媒媒质质参参数数与与场场强强频频率率无无关关,称称为为非非色色散散媒媒质质;反反之之称称为为色色散散(dispersive)媒质。媒质。四、媒质的分类在在无无源源区区域域中中充充满满均均匀匀、线线性性、各各向向同同性性的的无无耗耗媒媒质质空空间间中中,由由麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组,=0,J=0=0,J=0无无源源区区电电场场波动方程波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：同理，可以推得无源区磁场波动方程为：5.3.2 无源区的波动方程wave equations for source-free medium时时变变电电磁磁场场的的电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量在在空空间间中中是是以以波波动动形形式式变变化化的，因此称时变电磁场为电磁波。的，因此称时变电磁场为电磁波。建建立立波波动动方方程程的的意意义义：通通过过解解波波动动方方程程，可可以以求求出出空空间间中中电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量的的分分布布情情况况。但但需需要要注注意意的的是是：只只有有少少数数特特殊殊情况可以通过直接求解波动方程求解。情况可以通过直接求解波动方程求解。一、定义一、定义令：令：，故：故：5.3.3 动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potentialq 时时变变场场电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量均均为为时时间间和和空空间间位位置置的的函函数数，因因此此动动态态矢矢量量位位和和动动态态标标量量位位也也为为时时间间和和空空间间位置的函数位置的函数。q 由由于于时时变变场场电电场场和和磁磁场场为为统统一一整整体体，因因此此动动态态标标量量位和动态矢量位也是一个统一的整体。位和动态矢量位也是一个统一的整体。为为了了使使时时变变电电磁磁场场场场量量和和动动态态位位之之间间满满足足一一一一对对应关系，须引入额外的限定条件应关系，须引入额外的限定条件规范条件。规范条件。洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件三、动态位满足的方程三、动态位满足的方程引入洛伦兹规范条件，则方程简化为引入洛伦兹规范条件，则方程简化为达朗贝尔方程达朗贝尔方程从达朗贝尔方程可以看出：从达朗贝尔方程可以看出：试试用用麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组导导出出图图2-6所所示示的的RLC串串联联电电路路的的电电压压方方程程(电路电路全长远小于波长全长远小于波长)。图 2-6 RLC串联电路 例例5.3解解:沿沿导导线线回回路路l作作电电场场E的的闭闭合合路路径径积积分分,根根据据麦麦氏氏方方程程式式(a)有有 上上式式左左端端就就是是沿沿回回路路的的电电压压降降,而而是是回回路路所所包包围围的的磁磁通通。将将回路电压分段表回路电压分段表示示,得得 设电阻段导体长为设电阻段导体长为l1,截面积为截面积为A,电导率为电导率为,其中电场为其中电场为J/,故故 电感电感L定义为定义为m/I,m是通过电感线圈的全磁通是通过电感线圈的全磁通,得得 通过电容通过电容C的电流已由例的电流已由例2.2得出得出:设外加电场为设外加电场为Ee,则有则有 因为回路中的杂散磁通可略因为回路中的杂散磁通可略,d/dt0,从而得从而得 这这就就是是大大家家所所熟熟知知的的基基尔尔霍霍夫夫电电压压定定律律。对对于于场场源源随随时时间间作作简简谐变化的情形谐变化的情形,设角设角频率为频率为,上式可化为上式可化为 5.4 证明导电媒质内部证明导电媒质内部v=0。;解解 利用电流连续性方程利用电流连续性方程,并考虑到并考虑到J=E,有有 其解为其解为 例导体内的电荷极快地衰减导体内的电荷极快地衰减,使得其中的使得其中的v可看作零。可看作零。铜铜=5.8107S/m=0=1.510-19sv随时间按指数减小随时间按指数减小驰豫时间驰豫时间:衰减至衰减至v0的的1/e即即36.8%的时间的时间,=/(s)一、一般媒质分界面上的边界条件一、一般媒质分界面上的边界条件()()2-4 电磁场的边界条件v在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、发生突变，发生突变，因而分界面处的场矢量因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。1 1、的边界条件的边界条件The boundary conditions for time-varying fields 为表面传导电流密度。为表面传导电流密度。式中：式中：为由媒质为由媒质2 211的法向。的法向。r 特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则结结论论：当当分分界界面面上上存存在在传传导导面面电电流流时时，切切向向不不连连续续，其其不不连续量等于分界面上面电流密度。连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。切向连续。2 2、的边界条件的边界条件结论：结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限只要磁感应强度的时间变化率是有限的，的，切向连续。切向连续。3 3、的边界条件的边界条件结论：在边界面上，结论：在边界面上，法向连续。法向连续。4 4、的边界条件的边界条件q 为分界面上自由电荷面密度。为分界面上自由电荷面密度。特殊地：若媒质为理想介质，则特殊地：若媒质为理想介质，则 ,此时有此时有q 当当分分界界面面上上存存在在自自由由电电荷荷时时，切切向向不不连连续续，其其不不连连续量等于分界面上面电荷密度。续量等于分界面上面电荷密度。q 当且仅当分界面上当且仅当分界面上不存在不存在自由电荷时，自由电荷时，切向连续切向连续。5 5、J J的边界条件的边界条件 在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。二、理想介质分界面上的边界条件q 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，矢量切向连续矢量切向连续 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，矢量法向连续矢量法向连续Boundary conditions Between two Perfect dielectrics 在在理理想想导导体体内内部部 ，在在导导体体分分界界面面上上，一般存在自由电荷和传导电流。一般存在自由电荷和传导电流。式中：式中：为导体外法向。为导体外法向。三、理想导体分界面上的边界条件q 对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。场总是与理想导体相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric 时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。个法向分量的边界条件。说明：说明：在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为 ，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。这个边界条件。理理想想介介质质和和理理想想导导体体只只是是理理论论上上存存在在。在在实实际际应应用用中中，某某些些媒媒质质导导电电率率极极小小或或者者极极大大，则则可可视视作作理理想想介介质质或或理理想想导导体体进行处理。进行处理。在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为为 或或 。分析电磁波在理想导体表面上。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。的反射时就要使用这个边界条件。例例 5.6 设设平平板板电电容容器器二二极极板板间间的的电电场场强强度度为为3 V/m,板板间间媒媒质质是云母是云母,r=7.4,求二导体极板上的面电荷密度。求二导体极板上的面电荷密度。解解 参参看看图图5-9(b),把把极极板板看看作作理理想想导导体体,在在A,B板板表表面面分分别有别有 例例：在在z=0和和z=d位位置置有有两两个个无无限限大大理理想想导导体体板板，在在极极板板间间存存在在时时变变电电磁磁场场，其其电场强度为电场强度为求求：导体板上的电流分布。导体板上的电流分布。例题由边界条件由边界条件在下极板上：在下极板上：解：解：在上极板上：在上极板上：q 时时变变场场中中，电电场场和和磁磁场场相相互互激激励励，能能量量不不断断转转换换，在在这这个个过过程程中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。一、坡印廷定理一、坡印廷定理q 坡印廷定理描述了空间中坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系电磁能量守恒关系。5-5 坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 利用矢量函数求导公式，利用矢量函数求导公式，在线性、均匀、各向同性的媒质中，有在线性、均匀、各向同性的媒质中，有坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式说明：说明：单位时间单位体积内流出的电磁能量；单位时间单位体积内流出的电磁能量；单位时间单位体积内电场能量减少量；单位时间单位体积内电场能量减少量；单位时间单位体积内单位时间单位体积内磁磁场能量减少量；场能量减少量；单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得坡印廷定理积分形式坡印廷定理积分形式说明：说明：表流表流出出闭合面闭合面S S的电磁功率；的电磁功率；单位时间内体积单位时间内体积V V内电场能量增加量；内电场能量增加量；坡印廷定理物理意义：坡印廷定理物理意义：单位时间内，体积单位时间内，体积V V中减少的电磁能量等中减少的电磁能量等于于流流出出体积体积V V的电磁能量与的电磁能量与体积体积V V内损耗的电内损耗的电场能量场能量之和。之和。单位时间内体积单位时间内体积V V内磁场能量增加量；内磁场能量增加量；单位时间内体积单位时间内体积V V内损耗的电场能量内损耗的电场能量 表示流表示流出出闭合面闭合面S S的电磁功率，因此的电磁功率，因此 为一为一与通过单位面积的功率相关与通过单位面积的功率相关的矢量。的矢量。定义：坡印廷矢量（用符号定义：坡印廷矢量（用符号 表示）表示）注：坡印廷矢量也称注：坡印廷矢量也称能流密度矢量能流密度矢量。二、坡印廷矢量 坡印廷矢量的大小坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播方向即为电磁能量传播方向。讨论讨论:1 1、若、若 为与时间相关的函数为与时间相关的函数(瞬时形式瞬时形式),),则则称为坡印廷矢量的称为坡印廷矢量的瞬时形式瞬时形式。2 2、对某些时变场，、对某些时变场，呈周期性变化。则将瞬呈周期性变化。则将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即廷矢量（平均能流密度矢量），即注：注：与与时间时间t t无关无关。图 2-10 坡印廷矢量 一一段段长长直直导导线线l,半半径径为为a,电电导导率率为为。设设沿沿线线通通过过直直流流I,试试求求其其表面处的坡印廷矢量表面处的坡印廷矢量,并证明坡印廷定理。并证明坡印廷定理。图图 2-12 直流导线段直流导线段 例故表面处坡印廷矢量为故表面处坡印廷矢量为 它的方向垂直于导体表面它的方向垂直于导体表面,指向导体里面。指向导体里面。为证明坡印廷定理为证明坡印廷定理,需将需将S沿圆柱表面积分沿圆柱表面积分:解：导体内的热损耗功率为导体内的热损耗功率为 电路理论中的焦耳定理电路理论中的焦耳定理.其微分形式为其微分形式为 此式代表场点处各单位体积的热损耗功率此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。例：例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为求：求：(1)(1)磁场强度；（磁场强度；（2 2）瞬时坡印廷矢量；（）瞬时坡印廷矢量；（3 3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量解：解：(1)(1)(2)(2)(3)(3)惟一性定理 The uniqueness theoremS唯一性定理是电磁场的基本定理之一，指出在什么唯一性定理是电磁场的基本定理之一，指出在什么时间、时间、空间空间范围，什么范围，什么初始、边界初始、边界条件下，麦克斯韦方程组的条件下，麦克斯韦方程组的解是唯一的解是唯一的。q在一有限区域在一有限区域V内，如果同时给定场源、任一点处内，如果同时给定场源、任一点处E和和H在在t=t0时刻的初始初始值，以及时刻的初始初始值，以及tt0时边时边界上界上电场电场和磁和磁场场的切的切向分量，向分量，则则在在tt0时时，区域，区域V中的解就被唯一确定了。中的解就被唯一确定了。v同时满足场方程、初始条件和边界条件的解是唯一的。同时满足场方程、初始条件和边界条件的解是唯一的。v对于周期性的源，初始条件将被场量的周期性取代，对于周期性的源，初始条件将被场量的周期性取代，只需边界条件就可保证解的唯一性。只需边界条件就可保证解的唯一性。5.5 5.5 时谐电磁场时谐电磁场一、时谐量的复数表示一、时谐量的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示余弦函数表示用复数的实部表示式中式中称为称为时谐电场的时谐电场的分量分量复复数振幅数振幅式中式中称为称为时谐电场的时谐电场的矢量矢量复数振幅复数振幅故故 时谐场对时间的导数时谐场对时间的导数二、复数形式的麦氏方程二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程由麦氏第一方程设为时谐场设为时谐场将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换约定不写出时间因子约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式程的复数形式同理其他三个麦氏方程同理其他三个麦氏方程三、复数形式的波动方程三、复数形式的波动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程波动方程波动方程设为时谐场设为时谐场得得同理同理亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程式中式中 用复数形式研究时谐场称为频域问题。用复数形式研究时谐场称为频域问题。复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。1.1.复数式复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义意义,2.2.实数形式实数形式代表真实场，具有明确物理意义；代表真实场，具有明确物理意义；3.3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方平方关系的物理量关系的物理量采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；（称为二次式（称为二次式 ），只能用场量的），只能用场量的瞬时形式瞬时形式表示。表示。说明说明:四四.复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率复电容率复电容率 （欧姆损耗）（欧姆损耗）若媒质还存在极化损耗若媒质还存在极化损耗 两者同时存在：两者同时存在：2.2.损耗角损耗角 1.1.表征电介质的损耗特性表征电介质的损耗特性3.3.磁化损耗磁化损耗导电媒质：导电媒质：弱导电媒质（良绝缘体）弱导电媒质（良绝缘体）良导体良导体五五.时谐场的位函数时谐场的位函数 复数形式复数形式 ：洛仑兹条件：洛仑兹条件：达朗贝尔方程：达朗贝尔方程：六六.平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量由前一章定义的坡印廷矢量由前一章定义的坡印廷矢量坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬时值瞬时值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值平均平均坡印廷矢量坡印廷矢量正弦变化矢量正弦变化矢量式中式中 为相应的复矢量为相应的复矢量虚虚部部实实部部于是于是故故其平均值其平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 与时间无关。与时间无关。P107 例5.5理解法拉第电磁感应定律及其推广理解位移电流的概念及全电流定律掌握麦克斯韦方程组及其物理意义，熟悉边界条件理解坡印亭定理，会计算坡印亭矢量掌握场量的相量表示法了解波动方程的推导过程本章内容小结q法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律回路中产生的回路中产生的感应电动势感应电动势与回路与回路磁通量的时间变化率磁通量的时间变化率成正比成正比关系关系微分形式微分形式q位移电流全电流定律全电流定律q麦克斯韦方程组微分形式微分形式积分形式积分形式本构关系本构关系限定形式的麦克斯韦方程限定形式的麦克斯韦方程q时变电磁场的边界条件矢量形式矢量形式标量形式标量形式q理想介质分界面上的边界条件q理想导体分界面上的边界条件q动态矢量位和标量位动态位的引出动态位的引出洛伦兹规范洛伦兹规范动态位满足的微分方程动态位满足的微分方程q坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量瞬时形式瞬时形式平均形式平均形式q波动方程