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内容提要第内容提要第内容提要第内容提要第五章五章五章五章第第5章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 知识要点 建立测量误差的基本概念 观测值的中误差 观测值函数的中误差 误差传播定律#测量误差的基本概念5.1 测量误差概述一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因二二.测量误差的分类和处理原则测量误差的分类和处理原则三三.偶然误差的特性偶然误差的特性讨论测量误差的目的：讨论测量误差的目的：用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。一.产生测量误差的原因一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件，等精度观测。上述三大因素总称为观测条件观测条件，在上述条件基本 一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测等精度观测。二.测量误差的分类和处理原则二二.测量误差的分类和处理原则测量误差的分类和处理原则 处理方法：处理方法：1.1.对测量结果加改正数消除 2.2.外业操作时抵消1.1.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。结论结论：系统误差可以消除。两类测量误差：两类测量误差：系统误差、偶然误差系统误差、偶然误差例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差Dk 计算改正 钢尺温度误差Dt 计算改正 水准仪视准轴误差i 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)2.偶然误差2.2.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相 同，表面看无规律性。例：例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。特点：特点：具有抵偿性抵偿性。处理原则：处理原则：采用多余观测多余观测，减弱其影响，提 高观测结果的精度。偶然误差是由人力所不能控制的因素所引起 的误差。三.偶然误差的特性5.2 5.2 偶然误差的特性偶然误差的特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统 计学上的规律性：偶然误差具有正态分布正态分布的特性。2.2.偶然误差的特性偶然误差的特性频率直方图偶然误差具有正态分布正态分布的特性 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x=y正态分布曲线四个特性：四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性抵偿性：(5-1-2)(5-1-2)频率直方图 偶然误差的特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；（3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即#观测值的中误差5.3 衡量精度的指标5.3.1 中误差测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。一一.用真误差计算中误差的公式用真误差计算中误差的公式由偶然误差：标准差公式：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形。中误差公式为：中误差公式为：中误差算例表5-2中误差算例中误差算例1 1两组观测值中误差图形的比较m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.65.3.2 相对误差 例如:丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为：m1=20mm ；m2=20mm，此时,衡量精度应采用相对中误差，它是中误差绝对值与观测值之比。K1K2，可见L1的量距精度高于L2。相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为1的分数形式，即用 表示。5.3.3 容许误差与极限误差 根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在以下区间的概率分别为：P（-+）68.3%P（-2+2）95.5%P（-3+3）99.7%大于三倍标准差的观测误差出现的概率只有0.3%，是小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。通常以3 倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差。即 限=3。一般进行的测量次数有限，大于2倍中误差的误差应该很少遇到，因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，简称“限差”，即 容=m 现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。用改正数计算中误差的公式5.5 5.5 等精度直接平差等精度直接平差一一.用改正数计算中误差的公式用改正数计算中误差的公式观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：得似真误差(改正数)：观测值的中误差：观测值的中误差：例用改正数计算中误差解：解：用算术平均值改正数V计算中误差：按观测值的改正数计算中误差 次序 观测值 改正数 计 算1 854249 -4 162 854240 +5 253 854242 +3 94 854246 -1 15 854248 -3 9 0 60 例例2.对某水平角等精度观测了5次，求其算术平均值及 观测值的中误差。算术平均值:854245观测值的中误差：#观测值观测值函数的中函数的中误差误差5.4 观测值函数的中误差 误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数二二二二.误差传播误差传播误差传播误差传播定律定律定律定律转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：二二.一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数为独立独立观测值 (a)对(a)全微分(b)用偶然误差 、代替微量元素 、得：(c)例例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。三.几种常用函数的中误差三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1).列出函数式；(2).对函数式求全微分；(3).套用误差传播定律，写出中误差式。面积公式求全微分面积中误差解：解：由题意1.倍数函数的中误差 1.倍数函数的中误差倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式解：解：例例4 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式求全微分中误差式2.线性函数的中误差2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式 解：解：对上式全微分：由中误差式得：例例5：设有某线性函数 其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。由于等精度观测时，代入上式：得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。3.算术平均值的中误差式 函数式 全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 例6距离误差例例6：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差 ；算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。4.和或差函数的中误差4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：全微分：中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例例7 测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：解：观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 四.误差传播定律应用例8四四.误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例例8：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。误差传播定律的应用例9DMPxyXYO由误差传播定律：解：解：P点的点位中误差：例例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、，以及P点的点位中误差 。
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