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第30练空间角的突破方略题型一异面直线所成的角例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角破题切入点利用|cos，求出向量与的夹角，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角还可用几何法或坐标法解方法一因为，所以()().因为ABBC，BB1AB，BB1BC，所以0，0，0，a2.所以a2.又|cos，cos，.所以，120.所以异面直线BA1与AC所成的角为60.方法二连结A1C1，BC1，则由条件可知A1C1AC，从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角，由于该几何体为边长为a的正方体，于是A1BC1为正三角形，BA1C160，从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60.方法三由于该几何体为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，于是以D为坐标原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)，从而(a，a,0)，(0，a，a)，且|a，a2，cos，120，所以所求异面直线BA1与AC所成角为60.题型二直线与平面所成的角例2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值破题切入点平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量(1)证明以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,0)设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m0)，则D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)解由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取平面PEH的一个法向量n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.题型三二面角例3如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值破题切入点以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则于是令x1可得平面CDE的一个法向量u(1,1,1)又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0,0,1)所以cos u，v.因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为.总结提高空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(1)异面直线所成的角的范围是(0，求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角(2)直线与平面所成的角的范围是0，求直线和平面所成的角用的是射影转化法具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有.(3)确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范围是(0，解题时要注意图形的位置和题目的要求作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角1(2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_答案解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_答案解析建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则令z1，则x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.3如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_答案45解析如图，取PD中点E，连结AE，则AE平面PCD，故二面角的平面角APE45.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0)，C(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa.点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为_答案90解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则P(0,0，a)，B(a，a,0)，E(0，)故(a，a，a)，所以00，所以PBDE，由已知DFPB，且DFDED，所以PB平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90.6在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.7如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案60解析以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.8(2014苏州调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，所以(0,2,0)，(1,2,0)，(0,2，1)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是_答案90解析方法一连结MD1，易证DD1MCDN，则NDMDD1M，NDMD1MDDD1MD1MD90，即DND1M，又A1D1平面DC1，A1D1DN，DN平面A1D1M.A1M平面A1D1M，A1MDN.即A1M与DN所成的角为90.方法二(空间向量法)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，设正方体边长为2，则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)，(0,2,1)，(2，1,2)，cos，0，A1M与DN的夹角为90.10正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_答案30解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.11如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：PE平面ABCD；(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；(3)求直线BM与CD所成角的余弦值(1)证明因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD.(2)解连结EC，设EC的中点为H，连结MH，HB，如图因为M是PC的中点，H是EC的中点，所以MHPE.由(1)，知PE平面ABCD，所以MH平面ABCD，所以HB是BM在平面ABCD内的射影所以MBH为直线BM与平面ABCD所成的角因为ADBC，BCAD，E为AD的中点，ADC90，所以四边形BCDE为矩形，所以EC2，HBEC1.又MHPE，所以在MHB中，tanMBH.所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值为.(3)解由(2)，知CDBE，所以直线BM与CD所成角为直线BM与BE的夹角连结ME，在RtMHE中，ME，同理求得BM，又BECD，所以在MEB中，cosMBE，所以直线BM与CD所成角的余弦值为.12.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB60，AD2，AM1，E是AB的中点(1)求证：AN平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由(1)证明由已知，MNADBC，连结BN，设CM与BN交于F，连结EF，如图所示又MNADBC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点又E是AB的中点，所以ANEF.因为EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC.(2)解如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AHEQ于H，连结PH.因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以MA平面ABCD，又CQ平面ABCD，所以MAEQ，又MAAHA，所以EQ平面PAH，所以EQPH，PHA为二面角PECD的平面角由题意，知PHA.在QAE中，AE1，AQ2，QAE120，则EQ，所以AH.又在RtPAH中，PHA，则APAHtan 301.所以在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时AP的长为.
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