资源描述
第38练“排列、组合”的常考问题题型一排列问题例1即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为_破题切入点最左边和最右边是特殊位置，可采用位置分析法；由于明明同学是特殊元素，也可以采用元素分析法，也可以从反面考虑答案480解析方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理，知共有AA480(种)不同的站法方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理，知共有AA480(种)不同的站法方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A2A480(种)题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员破题切入点第(1)问中“至少有2名”应包括2名、3名、4名，可以用直接法或间接法求解第(2)问中，“至多有3名”应包括3名、2名、1名和没有，四种情况，应分类讨论可用间接法解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：只有2名外籍队员，共有CC种组队方法；只有3名外籍队员，共有CC种组队方法；只有4名外籍队员，共有CC种组队方法根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有CCCCCC301(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：只有1名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法；没有外籍搜救队队员，共有CC种组队方法所以至少有2名外籍搜救队队员共有CCCCC301(种)不同的组队方法(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：只有3名外籍搜救队队员，共有CC种方法；只有2名外籍搜救队队员，共有CC种方法；只有1名外籍搜救队队员，共有CC种方法；没有外籍搜救队队员，共有C种方法由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有CCCCCCC455(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”因为至少有4名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法，所以至少3名外籍队员共有CCC455(种)不同组队方法题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？破题切入点把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空盒子解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法故共有C(CCAA)84(种)总结提高(1)求解排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”(2)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解1设集合A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7,8，则满足SA且SB的集合S的个数是_答案56解析满足SA时，S可以是1,2,3,4,5,6的一个子集，有2664个，满足SB时，S不可以是集合1,2,3和它的子集，有238个，所以同时满足SA且SB的集合S的个数是64856个2(2013四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是_答案18解析由于lg alg blg(a0，b0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A220218.3一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_答案1 296解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)41 296种4若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种答案66解析满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有560166(种)5将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种答案12解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6(种)选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2612(种)6现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是_答案840解析从下层8件中取2件，有C种取法，放到上层时，若这两件相邻，有AA种放法，若这两件不相邻，有A种放法，所以不同调整方法的种数是C(AAA)840.7现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_答案472解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)8用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案252解析无重复的三位数有：AAA648个则有重复数字的三位数有：900648252个9(2014四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种答案216解析第一类：甲在左端，有A54321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196(种)方法所以共有12096216(种)方法10方程ayb2x2c中a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条答案62解析显然a0，b0，故该方程等价于yx2.当c0时，从3，2,1,2,3中任取2个数作为a，b的值，有A20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4312条，所以此时不同的抛物线有A614条当c0时，从3，2,1,2,3中任取3个数作为a，b，c的值有A60种不同的方法当a，c值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A24条，所以此时不同的抛物线有A1248条综上，不同的抛物线有144862条11用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)答案14解析若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位、十位、百位、千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有16个4位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16214个满足要求的四位数125名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种(以数字作答)答案48解析只有1名老队员的排法有CCA36种；有2名老队员的排法有CCCA12种所以共48种13(2014北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法于是符合题意的排法共有AAAA36(种)14(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.15回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则：(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个答案(1)90(2)910n解析(1)4种回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9(19)种情况，第二位有10(09)种情况，所以4位回文数有91090种(2)由上面多组数据研究发现，2n1位回文数和2n2位回文数的个数相同，所以可以算出2n2位回文数.2n2位回文数只用看前n1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为910n.16用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为_答案260解析方法一如图将4个方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种涂上，有5种不同涂法当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有2C种不同涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理，知此时有52C3180(种)不同的涂法当第2个、第3个小方格涂相同颜色时有4种涂法，此时第4个小方格也有4种不同的涂法由分步乘法计数原理，知有54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理，知共有18080260(种)不同涂法方法二如图将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA20，如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是CA60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个小方格只能用第3种颜色，方法种数是C3260；如果使用4种颜色，方法种数是CA120，根据分类加法计数原理知总的涂法有206060120260种
展开阅读全文