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A级双基巩固一、填空题1已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_解析：由椭圆第一定义得ABC的周长是4a4.答案：42若椭圆2kx2ky21的一个焦点坐标是(0，4)，则k的值为_解析：a2，b2，则c2.又c4，所以k.答案：3“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件答案：充要4中心在原点，准线方程为x4，离心率为的椭圆方程为_解析：e，x4，a2，c1，方程为1.答案：15(2010高考广东卷改编)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)答案：6设椭圆1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为_解析：m2m21，m2a2，m21b2.c21.又312aa2，dpl右2.答案：27动圆C和定圆C1：x2(y4)264内切而和定圆C2：x2(y4)24外切则动圆圆心的轨迹方程为_解析：如图，该动圆圆心为C(x，y)，半径为r，由已知得：|CC1|8r，|CC2|2r得：|CC1|CC2|10，点C的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，其中2a10,2c8.a5，c4，b3.动圆圆心的轨迹方程为1.答案：18如图所示，椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PDl于D，QFOA于F，则椭圆离心率为：；.上述离心率正确的个数是_解析：观察图形知，F为左焦点，则l必为左准线，由椭圆的第二定义知：e，又QFBF，Q到l的距离d|BF|，而e；e，e；e.故以上五个比值均可以作为椭圆的离心率答案：5二、解答题9如图，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(4，m)在椭圆E上，且0，点D(2，0)到直线F1A的距离DH.(1)求椭圆E的方程；(2)设点P为椭圆E上的任意一点，求的取值范围解：(1)由题意知c4，F1(4,0)，F2(4,0)sinAF1F2，DH，DF16，又0，AF2，AF12a.则a2b2.由b2c2a2，得b216b2.b248，a264.椭圆E的方程为1.(2)设点P(x，y)，则1，即y248x2.(4x，y)，(2x，y)，x2y22x8x22x40(x4)236.8x8，的取值范围是36,7210设椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P，Q，且.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A，Q，F三点的圆恰好与直线l：xy30相切，求椭圆C的方程解：(1)kAF，kAQ，AQ：yxb.点Q.又A(0，b)，设P(x0，y0)，则由，得(x0，y0b)，代入1，得1，解得e.(2)由(1)，知c，ba，椭圆方程为1，即3x24y23a2.此时，A，Q，F.FQ的中点坐标为.此即过A，Q，F三点的圆的圆心，它的半径r，又r，因此，a2，b，故椭圆C的方程为1.B级能力提升一、填空题1已知椭圆1(ab0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且0，|2|，则椭圆的方程为_解析：|2|，|2|，又0，AOC为等腰直角三角形又|OA|2，C点的坐标为(1,1)或(1，1)，C点在椭圆上，1，又a24，b2，椭圆方程为1.答案：12(2012苏北五市调研)已知椭圆1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csinPF1F2asinPF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是_解析：由题意PF2，因为acPF2acacac1e1e，又0e1，所以1e1.答案：(1,1)3已知椭圆1内有一点P(1，1)，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|2|MF|取得最小值，则点M的坐标为_解析：如右图所示，l为椭圆的右准线，过点M作准线的垂线，垂足为M.由椭圆的方程易知e，即|MM|2|MF|，从而求|MP|2|MF|的最小值问题，便转化为求|MP|MM|的最小值问题易知当M、P、M三点共线时，其和取最小值，即：由点P向准线l作垂线，则与椭圆的交点即为所求的点M.点M的纵坐标为1，代入椭圆的方程，有1，x2.由于点M在y轴的右侧，x.从而点M的坐标为.答案：4我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(x0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2b2c2，abc0)如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果园”与x，y轴的交点，若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为_解析：由已知|F1F2|21，又因为F0F1F2是边长为1的等边三角形，所以cos30，即c2b2，解得b1，c2.所以a2，a0，所以a.答案：，1二、解答题5(2012南通质检)设A、B是椭圆3x2y2上不同的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C、D两点(1)确定的取值范围，并求直线AB的方程；(2)求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程解：(1)法一：依题意，显然直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程yk(x1)3，代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3)x(k3)20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个不同的实根，所以4(k23)3(k3)20，且x1x2，由N(1,3)是线段AB的中点，得1，所以k(k3)k23，解得k1，代入得，12，即的取值范围是(12，)直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.依题意，x1x2，所以kAB.因为N(1,3)是线段AB的中点，所以x1x22，y1y26，从而kAB1.又N(1,3)在椭圆内，所以3123212，所以的取值范围是(12，)直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.(2)因为线段CD垂直平分线段AB，所以线段CD所在的直线方程为y3x1，即xy20，代入椭圆方程，整理得4x24x40，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，线段CD的中点为M(x0，y0)，则x3、x4是方程的两个不同的根，所以x3x41，且x0(x3x4)，y0x02，故M.又M到直线AB的距离d，所以以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为：22.6(2012南京调研)已知直线l：xmy1过椭圆C：1的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x4上的射影依次为点D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，探求12的值是否为定值？若是，求出12的值，否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)由题知椭圆右焦点为F(1,0)，c1，抛物线x24y的焦点坐标为(0，)，b，b23.a2b2c24.椭圆C的方程为1.(2)由题，知m0，且直线l与y轴交于点M.设直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)144(m21)0，y1y2，y1y2.又1，1(1x1，y1)，11，同理21.122.又，1222.所以，当m变化时，12为定值，定值为.(3)先观察，当m0时，直线lx轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点N，且N，猜想当m变化时，AE与BD相交于定点N.当m0时，由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(4，y1)，E(4，y2)，则直线AE的方程为lAE：yy2(x4)，当x时，yy20.点N在直线AE上，同理可证，点N也在直线BD上，当m变化时，AE与BD相交于定点N.
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