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A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是_ 解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4(2011全国卷改编)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD_.解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件G，B，E，F，cos，0，则.答案906正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案307(2011全国卷改编)已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由已知条件A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为由令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答题(每小题15分，共45分)8如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解以H为原点，HA、HB、HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)证明设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，则D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件及(1)可得m，n1，则P(0,0,1)，(1,0,1)由(1)知为面PEH的一个向量，因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.9如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)证明：ADCE；(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小(1)证明取BC中点O，连接AO，则AOBC由已知条件AO平面BCDE，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，t)，D(1，0)C(1,0,0)，E(1，0)，(1，t)(2，0)则0，因此ADCE.(2)解作CFAD垂足为F，连接EF，则AD平面CEF从而EFAD则CFE为二面角CADE的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中，EF，cosCFE.二面角C-AD-E的余弦值为.10(2011扬州调研)如图，在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA4，点E，F分别是PC，PA的中点，求二面角ABEF的余弦值解如图，以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(2，2，2)因为PB平面ABC，所以PBAC.又ACCB，所以AC平面PBC.所以ACPC.所以EFPC. 又BEPC，所以PC平面BEF.而(0,4，4)，所以平面BEF的一个法向量n1(0,1，1)设平面ABE的一个法向量n2(x，y，z)，则取x1，则平面ABE的一个法向量n2(1，1,1)所以cosn1，n2.由图知二面角ABEF的平面角为锐角所以二面角ABEF的平面角的余弦值为.B级综合创新备选(时间：40分钟满分：90分)一、填空题(每小题5分，共15分)1如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹为_ 解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC，MP.由MPMC得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分答案2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设B，可得：P(，)再由cos APC可求得当时，APC最大故VPABC11.答案3P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案90二、解答题(每小题15分，共75分)4(2011南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，A1A，M是CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求二面角B AMC的平面角的大小(1)证明以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则B(1,0,0)，A(0，0)，A1(0，)，M.所以(1，)，.因为10()()()0，所以A1BAM.(2)解因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACB90，即BCAC，所以BC平面ACC1，即BC平面AMC.所以是平面AMC的一个法向量，(1,0,0)设n(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z2.所以n(，2)因为|1，|n|2，所以cos，n，因此二面角B AMC的大小为45.5(2011苏锡常镇扬五市调研)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)(1)如果AEC1F，试证明B，E，D1，F四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由(1)证明以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AEGFt. 则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(1,1,1t)，其中0t1.则(1,0，t)，所以BEFD1.所以B，E，D1，F四点共面(2)解(1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面BFE的法向量n(t，t1,1)，若直线A1B与平面BFE所成的角等于，则有sin，即，解得t0，所以点E存在，且坐标为E(0,0,0)，即E在顶点A处6(2011南通调研)在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO.(1)若1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE平面CD1O，求的值解(1)不妨设正方体的棱长为1，以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.则A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，(1)由题意知E.于是，(0，1,1)由cos，.所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.(2)设平面CD1O的法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，则E，.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因为平面CDE平面CD1O，所以mn0，得2.7(2011常州调研)如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面ABCD，ABBC，ADBC，ABAD2，CDPD，异面直线PA和CD所成角等于60. (1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(2)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角ABED的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由解如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BCa，BPb，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)P(2,2，b)，C(2,2a,0)，CDPD，CP0.442a0，a4.又P(2,0，b)，C(2，2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60，即，解得b2.(1)P(0,4，2)，A(0,2,0)，P(2,0，2)设平面PAD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则由得取n1(1,0,1)，sin ，直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(2)假设存在，设PP，且E(x，y，z)，则(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)设平面DEB的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则由得取n2(1,1，)，又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合题意)存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点8(2010山东)如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形 (1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积(1)证明在ABC中，因为ABC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458，因此AC2，故BC2AC2AB2，所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一因为PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，由于平面PCD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离所以B到平面PCD的距离为h2.设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin .又，所以.法二由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2.又AC2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所以D(，2，0)因此(0，2，2)，(，0,0)设m(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则m0，m0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)又(2，0,2)，设表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，则cos ，所以，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)解因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四边形ACDE 3.又PA平面ABCDE，所以VPACDE322.
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