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A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1(2011南通调研)曲线yx32x在点(1，1)处的切线方程是_解析y3x22，k321，所以切线方程为y1x1，即xy20.答案xy202已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于_解析f(x)2x2f(1)，所以f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，故f(0)4.答案43(2011菏泽模拟)若函数f(x)excos x，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为_(填锐角、直角或钝角)解析f(x)excos xexsin x，因为函数图象在点(1，f(1)处的切线斜率kf(1)e(cos 1sin 1)0，所以切线的倾斜角是钝角答案钝角4函数yx2(x0)的图象在点(an，a)处的切线与x轴交点的横坐标为an1，nN*，若a116，则a3a5_，数列an的通项公式为_解析kf(an)2an，切线方程为ya2an(xan)，令y0，得a2an(an1an)，即.所以an是首项为16，公比为的等比数列，所以an16n125n，a3a55.答案525n5(2011青岛模拟)点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的距离的最小值是_解析设P(t，t2ln t)，由y2x，得k2t1(t0)，解得t1.所以过点P(1,1)的切线方程为yx，它与yx2的距离d即为所求答案6(2011临沂市检测)已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为_解析y(x3)3x2，k3，由题意，31，所以.答案7对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_解析由yxnxn1，得ynxn1(n1)xn，kn2n1(n1)2n(n2)2n1，切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，所以2n,2222n2n12.答案2n12二、解答题(每小题15分，共45分)8(2010陕西)已知函数f(x)，g(x)aln x，aR，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该曲线的方程解f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2.因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，所以切线方程为ye(xe2)，即x2eye20.9已知函数yf(x).(1)求函数yf(x)的图象在x处的切线方程；(2)求函数yf(x)的最大值解(1)因为f(x)，所以kf2e2.又fe，所以yf(x)在x处的切线方程为ye2e2，即2e2xy3e0.(2)令f(x)0，得xe.因为当x(0，e)时，f(x)0，当x(e，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，所以f(x)maxf(e).10(2011盐城检测)已知：在函数的图象上，f(x)mx3x以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由解(1)依题意，得f(1)tan，即3m11，m.因为f(1)n，所以n.(2)令f(x)2x210，得x.当1x时，f(x)2x210；当x时，f(x)2x210；当x3时，f(x)2x210.又f(1)，f，f，f(3)15，因此，当x1,3时，f(x)15.要使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立，则k152 0132 028.所以，存在最小的正整数k2 028，使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2010海南、宁夏高考题)曲线y在点(1，1)处的切线方程为_解析y，kf(1)2，切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案2xy102(2011厦门质检)已知函数f(x)xex，则f(x)_；函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为_解析f(x)exxex(x1)ex，f(0)1，f(0)0，故函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为yx.答案(x1)exxy03(2011苏北四市调研)已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析kf(2)1，切线方程为yx2.答案xy204(2010江西改编)等比数列中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)_.解析函数f(x) 的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a82124 096.答案4 0965已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的导函数为f(x)，且f(0)0，对于任意实数x有f(x)0，则的最小值为_解析f(x)2axb，f(0)b0，又所以ac，所以c0，所以2.答案26(2011南京模拟)已知直线ymx(mR)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是_解析如图，可求得直线yx与yx21(x0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m时，直线ymx与yf(x)的图象恰有三个不同的公共点答案(，)二、解答题(每小题15分，共30分)7已知f(x)x.(1)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心(2)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求出此定值证明(1)已知函数y1x，y2都是奇函数，所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11.可知，函数g(x)的图象按向量a(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(2)在曲线上任取一点.由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)令x1得y，切线与直线x1交点为.令yx得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01,2x01)直线x1与直线yx的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.8已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由解设存在过切点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)(x2x1)，则切线方程为y(x4x13)(xx1)，即为y(x4x13)x.同理，过点B(x2，y2)的切线方程是y(x4x23)x.由于两切线是同一切线，所以有即又x1x2，所以解得x1x22，这与x1x2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点
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