（江苏专用）高考数学总复习 第八篇《第48讲　空间几何体的表面积与体积》理（含解析） 苏教版

A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1(2011常州模拟)在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3a23，底面积为22，表面积为3.答案32(2010湖北)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm. 解析设球的半径为r cm，则r28r33r26r.解得r4 cm.答案43(2010苏州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_ 解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.答案4(2011扬州模拟)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_ 解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.答案5某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm，已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是_m(取3.14，精确到1 m) 解析卫生纸总长度为3.1432 000100 480(mm)100(m)答案1006(2010苏州模拟)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V_.解析该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，因为正方体的棱长为1，所以V正方体131，因为正四棱锥的棱长全为1，所以正四棱锥的底面积为111，又因为正四棱锥的高为，所以此凸多面体的体积V111.答案17空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，平面，两两互相垂直，点A，点A到平面，的距离都是3，点P是上的动点，且满足P到的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面的距离的最小值为_解析由题意，可在平面建立直角坐标系如图所示，问题变为已知PB2PA，求PC的最小值，设P(x，y)，则有3x2，即4y23(x1)21212，y，所以PC3y3，故所求的最小值为3. 答案3二、解答题(每小题15分，共45分)8在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解(1)如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC，VABCDVABPCVDBPCSBPCAPSBPCPDSBPCADa xa3(当且仅当xa时取等号)该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，S表2a22a a2aa2a2.9一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积 解如图所示，正三棱锥S ABC.设H为正ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.因为ABC是边长为6的正三角形，AE63，所以AHAE2.在ABC中，SABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，所以SH，故V正三棱锥SABCSH99.10如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45角，求这个三棱柱的侧面积 解求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法因为AA1和底面AB、AC成等角，且为45角，所以A1在底面ABC上的射影在BAC的平分线AG上，又ABC为正三角形，所以AGBC.因为A1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BCA1A.又A1AB1B，所以B1BBC，即侧面B1BCC1为矩形所以SB1BCC1B1BBCab.又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，且全等，所以SA1ABB1SA1ACC1A1AABsin 45ab，故S侧(1)ab.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2011南京模拟)用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是_解析底面圆的周长为R，底面圆的半径为，所以圆锥高为hR. 答案R2(2011南京调研)如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13 cm.答案133正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是_解析由PM2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上又由P到直线A1D1的距离为，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点答案两个点4(2011扬州中学冲刺)在120的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于A、B两点，这两个点的距离AB5，则小球的半径为_解析如图，在ABC中，ACBC，AB5，ACB120，所以AOB60，所以AOB是等边三角形，OAOBAB5.答案55(2011南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_解析如图，当AMMC1最小时，BM1，所以AM22，C1M28，AC14，于是由余弦定理，得cosAMC1，所以sinAMC1，SAMC12.答案6如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当EAA1时，AEBF是定值其中所有正确的命题的序号是_解析观察图形并试验可知正确，不正确；正确中AEB1F，BFA1E，所以AEBFAA1为定值，故正确命题是.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7给出一块边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积解取等边三角形三边的中点A、B、C，连结AB、BC、CA得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥SABC，作SO平面ABC，连结并延长CO交AB于E，则E是AB的中点，连结SE.因为O是ABC的内心，所以OCCE在RtSOC中，SC1，SO，故VSABCSABCSOCEABSO1.8如图所示，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积(1)证明在ABD中，因为AB2，AD4，DAB60，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又因为DE平面EBD，所以ABDE.(2)解由(1)知ABBD，因为CDAB，所以CDBD，从而DEBD，在RtDBE中，由DB2，DEDCAB2，得SBDEDBDE2.又因为AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因为BEBCAD4，所以SABEABBE4，因为DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD，所以SADEADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积S82.