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A级双基巩固一、填空题1(2012西安质检)某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为_解析：由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P.答案：2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析：正方体的体积为：2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：r313，则点P到点O的距离大于1的概率为：11.答案：13(2012淄博调研)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为_解析：面积为36 cm2时，边长AM6 cm，面积为81 cm2时，边长AM9 cm，P.答案：4若在区间5,5内任取一个实数a，则使直线xya0与圆(x1)2(y2)22有公共点的概率为_解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d，解得1a3.又a5,5，故所求概率为.答案：5用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9的概率是_解析：依题意得截面圆面积为9的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于.答案：6.如图所示，在一个边长分别为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率为_解析：S梯形bab，S矩形ab.P.答案：7.(2012镇江质检)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为_解析：当AA的长度等于半径长度时，AOA，由圆的对称性及几何概型得P.答案：8在两根相距8 m的木杆间系一根绳子，并在绳子上挂一个警示灯，则警示灯与两杆的距离都大于3 m的概率为_解析：由于在绳子任意位置上挂警示灯是等可能的，会出现无数多个试验结果，故符合几何概型，可以用长度作为几何概型的测度记事件A为“警示灯与两杆的距离都大于3 m”，则A的长度为8332(m)，整个事件的长度为8 m，则P(A).答案：二、解答题9已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为D(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为d(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，正方形的面积为S25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求a，b的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.D(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则P(A).(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.D，B.画出图形如图故P(B).B级能力提升一、填空题1在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为_解析：据题意爆破点能被检测到所在平面区域为以各个顶点为圆心，以200米为半径的四分之一圆，故由几何概型可知所求事件的概率为.答案：2在区域M内随机撒一把黄豆，落在区域N内的概率是_解析：画出区域M、N，如图，区域M为矩形OABC，区域N为图中阴影部分S阴影424，故所求概率P.答案：3有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析：先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.答案：4一根用细铁丝做成的正四棱锥框架，其棱长都是，这个四棱锥的五个顶点都在一个球面上，一粒子在这个球内随机运动，则该粒子在正四棱锥内部的概率是_(细铁丝占有的空间位置忽略不计)解析：设该正四棱锥为SABCD，如图所示，在RtSEA中，SA，AE1，故SE1，故四棱锥的体积是1.设球的半径为r，则OAOSr，OE1r.在RtOAE中，r2(1r)21，解得r1，即点E即为球心，故这个球的体积是.所以所求的概率为.故填.答案：二、解答题5两人约定在2000到2100之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在2000至2100各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率解：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当xy.两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为P.6(2012深圳调研)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组所表示的平面区域内的概率解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D，三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.
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