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A级双基巩固一、填空题1过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是_解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.圆心C在直线xy20上，b2a.22，(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，a1，b1，r2，圆的方程为(x1)2(y1)24.答案：(x1)2(y1)242已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_解析：圆心坐标为(0,0)，半径r，圆的方程为x2y22.答案：x2y223若不同四点A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)在同一圆上，则实数a的值为_解析：设经过A，B，C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得解得A，B，C三点确定的圆的方程为x2y24xy50.D(a,3)也在此圆上，a294a2550.a7或a3(舍去)答案：74已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为_解析：圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)圆C2的圆心设为(a，b)，圆C1与圆C2关于直线xy10对称，解得又圆C2的半径为1，圆C2的方程为(x2)2(y2)21.答案：(x2)2(y2)215(2012南京质检)已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点那么过点M的最短弦所在直线的方程是_解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y01(x1)，即xy10.答案：xy106圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是_解析：所给圆的圆心坐标为(2,2)，半径r3，圆心到直线xy140的距离d5.所求的最大距离与最小距离的差(dr)(dr)2r6.答案：67点P(0,2)到圆C：(x1)2y21的圆心的距离为_，如果A是圆C上一个动点，3，那么点B的轨迹方程为_解析：P(0,2)到圆C：(x1)2y21的圆心的距离d，设B(x，y)，A(x0，y0)，(xx0，yy0)，(x0,2y0)3，221，即(x2)2(y6)24.答案：(x2)2(y6)248若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析：圆方程即(x2)2(y2)218，它的圆心为(2,2)，半径r3.由条件得圆心到直线l的距离d32，得 22.tan2，tan2，直线l倾斜角的取值范围是.答案：二、解答题9已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)的图形是圆(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的半径；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围解：(1)方程即(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t49，r27t26t10，t1.故t的取值范围是.(2)r ，当t时，rmax.(3)当且仅当32(4t2)22(t3)32(14t2)4t216t490时，点P在圆内，8t26t0，即0t.故t的取值范围是.10设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论解：(1)令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)0，得x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0.故b的取值范围为(，0)(0,1)(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb，令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入Eb1，所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C必过定点(0,1)，(2,1)证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边021220(b1)1b0，右边0，所以圆C必过定点(0,1)；同理可证圆C必过定点(2,1)B级能力提升一、填空题1已知在函数f(x)sin图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2y2R2上，则f(x)的最小正周期为_解析：x2y2R2，xR，R函数f(x)的最小正周期为2R，最大值点为，相邻的最小值点为，代入圆方程，得R2，T4.答案：42如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21，那么|PQ|的最小值为_解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到(0，2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min11.答案：13已知AC，BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：如图，取AC中点F，BD中点E，则OEBD，OFAC，又ACBD，设|OF|d1，|OE|d2，四边形OEMF为矩形，ddOM23.又|AC|2，|BD|2，S四边形ABCD|AC|BD|222又0d3，当d时，S四边形ABCD有最大值5答案：54点P是圆x2y28x2y130上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是_解析：圆的方程可化为(x4)2(y1)24，设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x，y，x02x，y02y.(x0，y0)是圆上的动点，(x04)2(y01)24，(2x4)2(2y1)24，即(x2)221.答案：(x2)221二、解答题5.(2011高考陕西卷)如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的正投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，由已知得，又点P在圆上，x2225.即轨迹C的方程为1.(2)经过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，由得x23x80，解之得x1，x2.线段AB长度为|AB|.6已知椭圆E：1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点(1)求圆C的方程；(2)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；(3)在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆E：1，得l：x4，C(4,0)，F(2,0)又圆C过原点，所以圆C的方程为(x4)2y216.(2)由题意，得G(3，yG)，代入(x4)2y216，得yG，所以FG的斜率为k，FG的方程为y(x2)，所以C(4,0)到FG的距离为d，直线FG被圆C截得弦长为27.故直线FG被圆C截得的弦长为7.(3)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由，得，整理得3(xy)(162s)x02ty016s2t20，又G(x0，y0)在圆C：(x4)2y216上，所以xy8x00，代入得(2s8)x02ty016s2t20.又由G(x0，y0)为圆C上任意一点可知解得所以在平面上存在一点P，其坐标为(4,0)
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