有限元分析及应用

有 限 元 分 析 及 应 用 第 一 章 有 限 元 法 简 介 2 有 限 元 法 介 绍 有 限 元 法 的 基 本 思 想 是 将 结 构 离 散 化 ， 用有 限 个 容 易 分 析 的 单 元 来 表 示 复 杂 的 对 象 ，单 元 之 间 通 过 有 限 个 结 点 相 互 连 接 ， 然 后根 据 变 形 协 调 条 件 综 合 求 解 。 由 于 单 元 的数 目 是 有 限 的 ， 结 点 的 数 目 也 是 有 限 的 ，所 以 称 为 有 限 元 法 (FEM， Finite Element Method)。 3 有 限 元 法 是 最 重 要 的 工 程 分 析 技 术 之 一 。它 广 泛 应 用 于 弹 塑 性 力 学 、 断 裂 力 学 、 流体 力 学 、 热 传 导 等 领 域 。 有 限 元 法 是 60年代 以 来 发 展 起 来 的 新 的 数 值 计 算 方 法 ， 是计 算 机 时 代 的 产 物 。 虽 然 有 限 元 的 概 念 早在 40年 代 就 有 人 提 出 ， 但 由 于 当 时 计 算 机尚 未 出 现 ， 它 并 未 受 到 人 们 的 重 视 。 4 随 着 计 算 机 技 术 的 发 展 ， 有 限 元 法 在 各 个工 程 领 域 中 不 断 得 到 深 入 应 用 ， 现 已 遍 及宇 航 工 业 、 核 工 业 、 机 电 、 化 工 、 建 筑 、海 洋 等 工 业 ， 是 机 械 产 品 动 、 静 、 热 特 性分 析 的 重 要 手 段 。 早 在 70年 代 初 期 就 有 人给 出 结 论 ： 有 限 元 法 在 产 品 结 构 设 计 中 的应 用 ， 使 机 电 产 品 设 计 产 生 革 命 性 的 变 化 ，理 论 设 计 代 替 了 经 验 类 比 设 计 。 5 有 限 元 法 的 孕 育 过 程 及 诞 生 和 发 展 牛 顿 (Newton) 莱 布 尼 茨 (Leibniz G. W.) 6 大 约 在 300年 前 ， 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 发 明 了 积分 法 ， 证 明 了 该 运 算 具 有 整 体 对 局 部 的 可 加性 。 虽 然 ， 积 分 运 算 与 有 限 元 技 术 对 定 义 域的 划 分 是 不 同 的 ， 前 者 进 行 无 限 划 分 而 后 者进 行 有 限 划 分 ， 但 积 分 运 算 为 实 现 有 限 元 技术 准 备 好 了 一 个 理 论 基 础 。 7 在 牛 顿 之 后 约 一 百 年 ，著 名 数 学 家 高 斯 提 出 了加 权 余 值 法 及 线 性 代 数方 程 组 的 解 法 。 这 两 项成 果 的 前 者 被 用 来 将 微分 方 程 改 写 为 积 分 表 达式 ， 后 者 被 用 来 求 解 有限 元 法 所 得 出 的 代 数 方程 组 。 高 斯 (Gauss) 8 在 18世 纪 ， 另一 位 数 学 家 拉格 朗 日 提 出 泛函 分 析 。 泛 函分 析 是 将 偏 微分 方 程 改 写 为积 分 表 达 式 的另 一 途 径 。 拉 格 朗 日 (Lagrange J.) 9 在 19世 纪 末 及20世 纪 初 ， 数学 家 瑞 利 和 里兹 （ Rayleigh Ritz） 首 先 提 出可 对 全 定 义 域运 用 展 开 函 数来 表 达 其 上 的未 知 函 数 。 瑞 利 (Rayleigh) 10 1915年 ， 数 学 家 伽 辽 金 (Galerkin)提 出 了 选择 展 开 函 数 中 形 函 数 的 伽 辽 金 法 ， 该 方 法被 广 泛 地 用 于 有 限 元 。 1943年 ， 数 学 家 库朗 德 第 一 次 提 出 了 可 在 定 义 域 内 分 片 地 使用 展 开 函 数 来 表 达 其 上 的 未 知 函 数 。 这 实际 上 就 是 有 限 元 的 做 法 。 11 12（对象、变量、方程、求解途径）各力学学科分支的关系 13 (1) 桥 梁 隧 道 问 题 14任 意 变 形 体 力 学 分 析 的 基 本 变 量 及 方 程研 究 对 象 ： 任 意 形 状 的 变 形 体几 种 典 型 的 对 象 圆 形 隧 道 三 维 模 型 15 (2) 中 华 和 钟(3) 矿 山 机 械 16 (4) 压 力 容 器 的 成 形 17 变 形 体 及 受 力 情 况 的 描 述 18 求 解 方 法 19 有 限 元 方 法 的 思 路 及 发 展 过 程思 路 ： 以 计 算 机 为 工 具 ， 分 析 任 意 变 形 体 以 获 得 所 有力 学 信 息 ， 并 使 得 该 方 法 能 够 普 及 、 简 单 、 高 效 、 方便 ， 一 般 人 员 可 以 使 用 。实 现 办 法 ： 20 技 术 路 线 ： 21 发 展 过 程 ：如 何 处 理对 象 的 离 散 化 过 程 22 . . . 常 用 单 元 的 形 状点 (质 量 ) 线 (弹 簧 ， 梁 ， 杆 ， 间 隙 )面 (薄 壳 , 二 维 实 体 ,轴 对 称 实 体 ) 二 次 体 (三 维 实 体 )线 性 二 次. .线 性 . . . . . . . . .23 点 单 元线 单 元一 维 波 传 导 问 题 24 点 单 元线 单 元 25 XY 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 XY 0.054 0.056 0.058 0.06-0.003-0.002-0.0010 面 单 元 28 XY 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 XY 0.054 0.056 0.058 0.06-0.003-0.002-0.0010 29 30 受 垂 直 载 荷 的 托 架 31 线 性 单 元 / 二 次 单 元 更 高 阶 的 单 元 模 拟 曲 面 的 精 度 就 越 高 。低 阶 单 元 更 高 阶 单 元体 单 元 32 有 限 元 分 析 的 作 用l 复 杂 问 题 的 建 模 简 化 与 特 征 等 效l 软 件 的 操 作 技 巧 （ 单 元 、 网 格 、 算 法 参 数 控 制 ）l 计 算 结 果 的 评 判l 二 次 开 发l 工 程 问 题 的 研 究l 误 差 控 制 36 第 二 章 有 限 元 分 析 的 力 学 基 础 2.1 变 形 体 的 描 述 与 变 量 定 义(1) 变 形 体 变 形 体 ： 即 物 体 内 任 意 两 点 之 间 可 发 生 相 对 移 动 。 有 限 元 方 法 所 处 理 的 对 象 ： 任 意 变 形 体 38 (2) 基 本 变 量 的 定 义 可 以 用 以 下 各 类 变 量 作 为 任 意 变 形 体 的 描 述因 此 ， 在 材 料 确 定 的 情 况 下 ， 基 本 的 力 学 变 量 应 该 有 ：位 移 、 应 变 、 应 力 量 39 目 的 ： 对 弹 性 体 中 的 位 移 、 应 力 、 应 变 进 行定 义 和 表 达 ， 进 而 建 立 平 衡 方 程 、 几 何 方 程和 材 料 物 理 方 程(3) 研 究 的 基 本 技 巧采 用 微 小 体 积 元 dxdydz的 分 析 方 法 （ 针 对 任 意 变形 体 ） 40 2.2 弹 性 体 的 基 本 假 设为 突 出 所 处 理 的 问 题 的 实 质 ， 并 使 问 题 简 单 化 和 抽象 化 ， 在 弹 性 力 学 中 ， 特 提 出 以 下 几 个 基 本 假 定 。 物 质 连 续 性 假 定 ： 物 质 无 空 隙 ， 可 用 连 续 函 数 来 描 述 ； 物 质 均 匀 性 假 定 ： 物 体 内 各 个 位 置 的 物 质 具 有 相 同 特 性 ； 物 质 (力 学 )特 性 各 向 同 性 假 定 ： 物 体 内 同 一 位 置 的 物 质 在各 个 方 向 上 具 有 相 同 特 性 ； 线 性 弹 性 假 定 ： 物 体 的 变 形 与 外 来 作 用 的 关 系 是 线 性 的 ，外 力 去 除 后 ， 物 体 可 恢 复 原 状 ； 小 变 形 假 定 ： 物 体 变 形 远 小 于 物 体 的 几 何 尺 寸 ， 在 建 立 方程 时 ， 可 以 高 阶 小 量 （ 二 阶 以 上 ） 。(1) 以 上 基 本 假 定 将 作 为 问 题 简 化 的 出 发 点 。 41 2.3 基 本 变 量 的 指 标 表 达指 标 记 法 的 约 定 ：自 由 指 标 ： 在 每 项 中 只 有 一 个 下 标 出 现 ， 如 ， i，j为 自 由 指 标 ， 它 们 可 以 自 由 变 化 ； 在 三 维 问 题 中 ，分 别 取 为 1， 2， 3； 在 直 角 坐 标 系 中 ， 可 表 示 三 个坐 标 轴 x, y, z。哑 指 标 ： 在 每 项 中 有 重 复 下 标 出 现 ， 如 ： ，j为 哑 指 标 。 在 三 维 问 题 中 其 变 化 的 范 围 为 1,2,3ij ijij bxa 42 Einstein 求 和 约 定 ： 哑 指 标 意 味 着 求 和指 标 记 法 的 应 用 ：对 于 方 程 组按 一 般 的 写 法 ， 可 写 为若 用 指 标 记 法 ：(2-3)式 与 (2-2)式 等 价 ， 因 为 j为 哑 指 标 ， 意 味 着 求 和（ 2-1）（ 2-2）（ 2-3）43 克 罗 内 克 符 号 在 笛 卡 尔 直 角 坐 标 系 下 ， 由 ij 表 示 的 Kronecker(克 罗 内 克 )符 号 定 义 为 ji ji ij 如 果如 果 ,0 ,1亦 即 1332211 0233213312112 44 那 么 ， 矩 阵 333231 232221 131211 100 010 001= 是 单 位 矩 阵 。根 据 上 述 定 义 ， 可 以 推 出 下 列 关 系 3332211 ii 33332321313 23232221212 13132121111 aaaaa aaaaa aaaaa jj jj jj 45 弹 性 力 学 里 假 想 把 物 体 分 成 无 限 多 微 小 六 面 体 ， 称为 微 元 体 。 考 虑 任 一 微 元 体 的 平 衡 （ 或 运 动 ） ， 可写 出 一 组 平 衡 （ 或 运 动 ） 微 分 方 程 及 边 界 条 件 。 但未 知 应 力 的 数 目 总 是 超 过 微 分 方 程 的 数 目 ， 所 以 弹性 力 学 问 题 都 是 超 静 定 的 ， 必 须 同 时 考 虑 微 元 体 的变 形 条 件 以 及 应 力 和 应 变 的 关 系 ， 它 们 在 弹 性 力 学中 相 应 的 称 为 几 何 方 程 和 物 理 方 程 。 平 衡 （ 或 运 动 ）方 程 、 几 何 方 程 和 物 理 方 程 以 及 边 界 条 件 ， 称 为 弹性 力 学 的 基 本 方 程 。2.4 弹 性 力 学 的 基 本 方 法 46 从 取 微 元 体 入 手 ， 综 合 考 虑 静 力 （ 或 运 动 ） 、几 何 、 物 理 三 方 面 条 件 ， 得 出 其 基 本 微 分 方程 ， 再 进 行 求 解 ， 最 后 利 用 边 界 （ 表 面 ） 条件 确 定 解 中 的 常 数 ， 这 就 是 求 解 弹 性 力 学 问题 的 基 本 方 法 。 47 2.5 空 间 问 题 的 基 本 方 程dy dxdz 48 3D情 形 下 的 力 学 基 本 变 量将 正 应 力 和 正 应 变 简 写 成 49 abb aa dd ccxyxy yx yx yzyzzyzyzx zx xz xz 50 由 力 平 衡 条 件 0X 有 ： 0 Xdxdydzdxdydxdydzz dxdzdxdzdyydydzdydzdxx zxzxzx yxyxyxxxx 化 简 得 到 0 Xzyx zxyxx 0Y 0 Yzyx zyyxy 0Z 0 Zzyx zyzxz 平 衡 微 分 方 程 51 平 衡 微 分 方 程 的 矩 阵 形 式 为 0 b其 中 ， 是 微 分 算 子 xyz zxy zyx 000 000 000式 中 ， b是 体 积 力 向 量 ， T ZYXb 52 由 力 矩 平 衡 条 件 有 ：0 xM02 222 dzdxdy dzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzy zyzyyzyzyz 全 式 除 以 dxdydz， 合 并 相 同 的 项 ， 得 02121 dzzdyy zyzyyzyz 略 去 微 量 项 ， 得 zyyz xzzx 0 YM yxxy 0 ZM剪 切 力 互 等 定 律 53 二 维 问 题 ： 平 衡 微 分 方 程0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 剪 切 力 互 等 定 律 yxxy 54 应 力 边 界 条 件 四 面 微 分 体 Mabc 55 斜 微 分 面 abc为 其 边 界 面 的 一 部 分 ， 其 外 法线 N与 各 坐 标 轴 夹 角 的 余 弦 为 cos(N， x)=l，cos(N， y)=m， cos(N， z)=n。 从 M点 到 斜 微 分 面 abc的 垂 直 距 离 dh（ 图 中未 标 出 ） ， 是 四 面 微 分 体 的 高 。 56 dAdhdV 31四 面 微 分 体 的 体 积 为 假 定 斜 微 分 面 abc上 作 用 的 面 力 在 三 个 坐标 轴 上 的 投 影 分 别 为 X Y Z体 积 力 分 量 为 X、 Y、 Z。 设 斜 微 分 面 的 面 积 为 dA， 则 其 它 三 个 微 分面 的 面 积 为 Mac=dA l， Mab= dA m， Mcb= dA n。 57 考 虑 0Y 0 YdVndAmdAldAdAY zyyxy 将 上 式 除 以 dA， 并 注 意 到 体 积 力 项 dhdAdV 31当 令 dh0取 极 限 时 ， 体 积 力 一 项 趋 于 零 。 由 此 得 到 Ynml zyyxy 考 虑 0X Xnml zxyxx 考 虑 0Z Znml zyzxz 应 力 边 界 条 件 58 二 维 问 题 ： 应 力 边 界 条 件Yml yxy Xml yxx 59 圣 维 南 原 理 （ 局 部 影 响 原 理 ）物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。60 61 62 均匀分布载荷作用下的平板，应力分布是均匀的。材料力学中的拉伸应力计算公式就是圣维南原理应用的结论。63 一对集中力F/2作用点区域仍然有比较大的应力梯度变化，但是比等效力系F作用的变化小。远离力的作用点区域，应力分布仍然均匀。而且均匀区域更大。64 几 何 方 程 ： 位 移 与 应 变 的 关 系B1 A112 65 设 P点 的 位 移 分 量 为 u和 v， 由 于 坐 标 x有 一增 量 dx， A点 的 位 移 较 P点 的 位 移 也 有 一 相应 的 增 量 ， 从 而 A点 的 位 移 分 量 为 ： 。 dxxuuuA dxxvvvA 同 理 ， B点 的 位 移 分 量 为 ： dyyuuuB dyyvvvB 66 在 小 变 形 的 前 提 下 ， APA1很 小 ， 可 以 认 为 ，线 段 PA位 移 后 的 绝 对 伸 长 ， 可 以 用 线 段 两 端 点沿 x轴 的 位 移 之 差 来 表 示 ， 即 ： 。 dxxuudxxuuuuPAAP PA xudxdxxuPAPAAP x 从 而 线 段 PA的 正 应 变 为 ： 。 x同 理 线 段 PB的 正 应 变 为 ： 。 y yvdydyyvPBPBBPy 67 对 于 三 维 情 况 的 微 分 体 ， 可 以 得 到 ： zwz 因 此 ， 可 以 总 结 为 ： xux zwz yvy 68 下 面 ， 研 究 线 段 PA与 PB间 所 夹 直 角 的 变 化 ，即 剪 应 变 xy。 这 个 剪 应 变 由 两 部 分 组 成 ， 一部 分 是 与 x轴 相 平 行 的 PA向 y轴 方 向 的 转 角 1；另 一 部 分 是 与 y轴 平 行 的 线 段 PB向 x轴 方 向 的 转角 2 。 在 小 变 形 情 况 下 xuxvudxxuudx vdxxvvtg 111 69 上 式 分 母 中 的 ， 可 以 略 去 。 从 而 上式 可 简 写 为 ： 1 xxu xv1同 样 可 得 ： yu2线 段 PA与 PB间 的 剪 应 变 xy等 于 1与 2 之 和 ：yuxv xy 21 zvywyz xwzuzx 70 xux yuxvxy yvy zvywyz zwz xwzuzx 至 此 ， 我 们 得 到 了 六 个 应 变 分 量 与 三 个 位 移 分量 间 的 全 部 关 系 式 ：称 为 几 何 方 程 71 几 何 方 程 式 的 矩 阵 形 式 为 u t为 微 分 算 子 t 其 中 的 转 置 T00 000 00 00 xz yzxy zyxt 72 变 形 连 续 方 程由 几 何 方 程 可 知 ， 六 个 应 变 分 量 完 全 由 三 个 位移 分 量 u， v， w对 x， y， z的 偏 导 数 所 确 定 。 因此 ， 六 个 应 变 分 量 不 会 是 互 不 相 关 的 x， y， z的函 数 ， 相 互 之 间 必 存 在 一 定 的 关 系 。 73 从 物 理 意 义 方 面 讲 ， 物 体 在 变 形 前 是 连 续 的 ，而 在 变 形 后 仍 是 连 续 的 。 若 六 个 应 变 分 量 互 不相 关 ， 则 每 个 微 分 体 的 变 形 是 任 意 的 ， 从 而 将使 变 形 后 的 各 微 分 体 间 出 现 “ 撕 裂 ” 或 “ 重叠 ” ， 这 显 然 与 实 际 情 况 不 符 。 要 使 物 体 变 形后 仍 为 连 续 的 ， 六 个 应 变 分 量 间 必 满 足 一 定 的关 系 。 下 面 推 导 这 些 关 系 。 74 六 个 应 变 分 量 间 的 关 系 ， 可 以 分 为 两 组 。第 一 组 分 别 求 对 y， x的 二 阶导 数 ， 得 xux yvy 2322 yx uy x 2322 xy vx y 将 上 两 式 相 加 ， 得 yxxvyuyxxy xyyx 222222这 就 是 应 变 分 量 间 的 一 个 关 系 式 。 75 将 x， y， z循 环 替 换 ， 可 以 得 到 zyyz yzzy 22222 xzzx zxxz 22222 yxxy xyyx 22222与 组 成 了 第 一 组 的 三 个 关 系 式 。 76 第 二 组 分 别 求 对 z， x， y的 导 数 ， 得yuxvxy zvywyz xwzuzx zyuzxvzxy 22 xzvxywx yz 22 yxwyzuyzx 22 77 将 第 二 和 第 三 式 相 加 ， 减 去 第 一 式 ， 得 yxwzyx xyzxyz 22再 求 上 式 对 z的 导 数 ： yxzyx wzyxz zxyzxyz 23 22 78 将 x， y， z循 环 替 换 ， 可 以 得 到 与 组 成 了 第 二 组 的 三 个 关 系 式 。 zxyxzy yzxyzxy 22 zyxzyx xyzxyzx 22 yxzyxz zxyzxyz 22上 述 六 个 微 分 关 系 式 称 为 变 形 连 续 方 程 。 79 对 于 二 维 问 题 ， 由 于 几 何 方 程 简 化 为 ： xux yuxvxy yvy 由 于 只 存 在 以 上 三 个 应 变 分 量 ， 且 都 仅 为 x和y的 函 数 ， 则 变 形 连 续 方 程 仅 剩 有 yxxy xyyx 22222 80 物 理 方 程前 边 对 物 体 的 应 力 和 变 形 分 别 进 行 了 讨 论 。这 种 分 析 适 用 于 任 何 变 形 体 ， 即 所 得 出 的 一些 结 论 和 公 式 与 物 体 的 物 理 性 质 无 关 。 但 仅有 应 力 和 应 变 的 分 析 还 不 能 解 决 问 题 ， 还 必须 进 一 步 研 究 应 力 和 应 变 间 的 物 理 关 系 。 81 由 简 单 的 轴 向 拉 伸 试 验 可 知 ， 在 单 向 应 力 状态 下 ， 处 于 弹 性 阶 段 时 ， 应 力 应 变 呈 线 性 关系 ， 即 x = Ex 其 中 E为 材 料 的 弹 性 模 量 。 这 就 是 虎 克 定 律 。 弹 塑 性 范 围斜 率 , E弹 性 范 围应 力 Y 应 变 82 工 程 上 ， 一 般 将 应 力 与 应 变 间 的 关 系 表 示 为 zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E 1 xyxy G 1 yzyz G 1 zxzx G 1称 它 们 为 物 理 方 程 （ 广 义 虎 克 定 律 ） 。 83 式 中 ， E为 弹 性 模 量 ， 为 泊 松 比 ， G为 剪 切弹 性 模 量 ， 而 且 三 者 之 间 有 如 下 的 关 系 ： 12 EG这 些 弹 性 常 数 不 随 应 力 的 大 小 而 改 变 ， 不 随位 置 坐 标 而 改 变 ， 也 不 随 方 向 而 改 变 。 因 为我 们 曾 假 设 物 体 是 完 全 弹 性 的 、 均 匀 的 ， 而且 是 各 向 同 性 的 。 84 物 理 方 程 用 六 个 应 力 分 量 表 示 六 个 应 变 分 量 。当 然 也 可 以 用 应 变 分 量 来 表 示 应 力 分 量 。 由上 页 的 关 系 式 及 物 理 方 程 可 以 推 出 ： zyxx E 11211 1 zyxy E 11211 1 zyxz E 11211 1 85 xyxy E 12 yzyz E 12 zxzx E 12若 令 Tzxyzxyzyx Tzxyzxyzyx 代 表 应 变 列 阵 和 应 力 列 阵 ， 则 应 力 应 变 关 系可 写 成 矩 阵 形 式 D 86 其 中 12 2100000 12 210000 12 21000 111 11 1211 1 称对ED称 为 弹 性 矩 阵 ， 由 弹 性 常 数 E和 决 定 。 87 由 广 义 虎 克 定 律 ， 有 二 维 平 面 应 力 情 况下 的 物 理 方 程 ：物 理 方 程 逆 形 式 88 弹 性 问 题 中 的 能 量 表 示弹 性 问 题 中 的 自 然 能 量 包 括 两 类 ： 外 力 功 应 变 能 （ 以 位 移 为 基 本 变 量 的 表 达 ） 或应 变 余 能 （ 以 应 力 为 基 本 变 量 的 表 达 ） 出 于 研 究 的 需 要 ， 还 要 定 义 一 些 由 自 然 能 量 所组 合 的 物 理 量 ， 如 势 能 （ 以 位 移 为 基 本 变 量 的表 达 ） 、 余 能 （ 以 应 力 为 基 本 变 量 的 表 达 ） 等 。89 外 力 功由 于 外 力 又 包 括 作 用 在 物 体 上 的 面 力 和 体 力 ，则 外 力 功 包 括 这 两 部 分 力 所 作 的 功 。 Part 1： 外 力 （ 面 力 ） 在 对 应 位 移 ui上 所作 的 功 （ on Sp） Part 2： 体 积 力 在 对 于 位 移 ui上 所 作 的 功（ in ） ipib 90 则 外 力 总 功 为应 变 能3D情 形 下 变 形 体 应 力 与 应 变 的 对 应 变 量 为 91 其 变 形 能 包 括 两 个 部 分 ： Part 1： 对 应 于 正 应 力 与 正 应 变 的 变 形 能 Part 2： 对 应 于 剪 应 力 与 剪 应 变 的 变 形 能正 应 力 和 正 应 变如 图 所 示 ， 在 xoy平 面 内 考 察 应 变 能 ， 这 时 微体 的 厚 度 为 dz， 设 微 体 dxdydz上 只 作 用 有 与 ， 则 由 （ 可 由 试 验 所 得 ） 的 关系 求 得 的 微 体 上 的 变 形 能 为 92 93 则 整 个 物 体 上 与 所 产 生 的 变 形 能剪 应 力 和 剪 应 变先 考 察 一 对 剪 应 力 和 剪 应 变 （ 如 图 所 示 ） ，此 时 微 体 的 厚 度 为 dz， 设 微 体 dxdydz上 只 作用 与 , 则 由 与 作 用 ， 在 微 体 上 产 生 的 能 量 94 95 则 整 个 物 体 上 与 所 产 生 的 变 形 能整 体 变 形 能由 叠 加 原 理 ， 将 所 有 方 向 的 正 应 力 应 变 和 剪应 力 应 变 所 产 生 的 变 形 能 相 加 ， 可 得 整 体 变形 能 96 势 能定 义 系 统 的 势 能 为 97 平 面 应 变 与 平 面 应 力 问 题任 何 构 件 都 占 有 三 度 空 间 ， 在 载 荷 或 温度 变 化 等 的 作 用 下 ， 物 体 内 产 生 的 应 力 、应 变 和 位 移 必 然 是 三 向 的 。 一 般 说 来 ，它 们 都 是 三 个 坐 标 x、 y、 z的 函 数 。 这 样的 问 题 称 为 弹 性 力 学 空 间 问 题 。 98 当 构 件 形 状 有 某 些 特 点 ， 并 且 受 到 特 殊 的分 布 外 力 作 用 或 温 度 变 化 影 响 ， 某 些 空 间问 题 可 以 简 化 为 弹 性 力 学 的 平 面 问 题 。 这些 问 题 中 的 应 力 、 应 变 和 位 移 仅 为 两 个 坐标 （ 如 x、 y） 的 函 数 。 平 面 问 题 可 以 进 而分 为 平 面 应 变 问 题 和 平 面 应 力 问 题 两 大 类 。 99 平 面 应 变设 一 构 件 （ 如 图 ） ， 其纵 向 （ z） 尺 寸 远 大 于横 向 （ x， y） 尺 寸 ， 且与 纵 轴 垂 直 的 各 截 面 都相 同 ； 受 到 垂 直 于 纵 轴但 不 沿 长 度 变 化 的 外 力 （ 包 括 体 积 力 X、 Y，同 时 有 Z=0） 的 作 用 ， 而 且 约 束 条 件 也 不 沿长 度 变 化 。 100 这 时 ， 可 以 把 构 件 在 纵 向 作 为 无 限 长 看 待 。 因 此 ，任 一 横 截 面 都 可 以 视 为 对 称 面 ， 其 上 各 点 就 不 会产 生 沿 z向 的 位 移 ， 而 沿 x、 y方 向 的 位 移 也 与 坐 标z无 关 。 则 有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0显 然 ， 在 这 种 条 件 下 构 件 所 有 横 截 面 上 对 应 点 （ x、y坐 标 相 同 ） 的 应 力 、 应 变 和 位 移 是 相 同 的 。 这 样 ，我 们 只 需 从 构 件 中 沿 纵 向 截 出 单 位 厚 度 的 薄 片 进行 分 析 ， 用 以 代 替 整 个 构 件 的 研 究 。 101 在 工 程 和 机 械 中 ， 许 多 结 构 或 构 件 属 于 这 一 类 问题 。 如 直 的 堤 坝 和 隧 道 ； 圆 柱 形 长 管 受 到 内 水（ 油 ） 压 力 作 用 ； 圆 柱 形 长 辊 轴 受 到 垂 直 于 纵 轴的 均 匀 压 力 等 ， 均 可 近 似 的 视 为 平 面 应 变 问 题 。y yz z oo x xy yo o 102 还 有 一 种 情 况 ， 当 构 件 的 纵 向 尺 寸 不 很 大但 两 端 面 被 刚 性 光 滑 面 固 定 ， 不 能 发 生 纵 向 位移 时 ， 若 其 他 条 件 与 上 面 所 述 相 同 ， 也 属 于 平面 应 变 问 题 。通 常 ， 只 要 是 长 的 等 直 柱 体 或 板 ， 受 到 垂 直 于其 纵 轴 而 且 沿 长 度 方 向 无 变 化 的 载 荷 作 用 时 ，都 可 以 简 化 为 平 面 应 变 问 题 。 下 面 是 这 种 情 况下 的 应 力 、 应 变 以 及 弹 性 力 学 的 基 本 方 程 式 。 103 由 几 何 方 程 中 应 变 分 量 和 位 移 函 数 的 关 系 及 位移 公 式 ， 得 0,0 0, , 3 21 xwzuzw xuywyxyv yxxvyuyxxu zxz yzy xyx 不 等 于 零 的 三 个 应 变 分 量 是 x、 y和 xy， 而 且 应变 仅 发 生 在 与 坐 标 面 xoy平 行 的 平 面 内 。 104 将 ， 代 入 物 理 方 程 0yz 0zx yzyz E 12 zxzx E 120yz 0zx得 yxzz E 1将 代 入 物 理 方 程 0z得 yxz 在 z轴 方 向 没 有 应 变 ， 但 其 应 力 z并 不 为 零 。105 将 yxz 代 入 物 理 方 程 zyxx E 1 xzyy E 1得 xyxyxy xyy yxx EGEE 121 11 11 106 如 果 用 应 变 分 量 来 表 示 应 力 分 量 ， 则 有 xyxyxy yxy yxx EE EE )1(2 21)21)(1( )1()1(2 1)21)(1( )1( 1)21)(1( )1(由 上 面 的 分 析 可 知 ， 独 立 的 应 力 分 量 只 有 x、y 和 xy 三 个 。 107 平 面 应 力对 于 具 有 如 下 特 征 的 构 件 ， 可 作 为 平 面 应 力问 题 处 理 。(1)物 体 沿 一 个 坐 标 方 向 的 尺 寸 (如 沿 z轴 方 向 )远 小于 沿 其 它 两 个 方 向 的 尺 寸 ， 如 图 所 示 的 等 厚 度 薄 板 ；(2)外 力 作 用 在 周 边 上 ， 并 与 xoy面 平 行 ， 板 的 侧 面没 有 外 力 ， 体 积 力 垂 直 于 z轴 ；(3)由 于 板 的 厚 度 很 小 ， 故 外 载 荷 面 积 力 和 体 积 力都 可 看 作 是 沿 z轴 方 向 均 匀 分 布 ， 并 且 为 常 量 。 108 2 2y yx zo oh hh体 积 力 沿 板 厚 不 变 ， 且 沿 z轴 方 向 的 分 力 Z=0。 在 板的 前 后 表 面 上 没 有 外 力 作 用 。 即0z 0zx 0zy2hz 时 109 在 平 面 应 力 问 题 中 ， 认 为 等 于 零 ， 但 沿 z轴 的 应变 不 等 于 零 。 这 与 平 面 应 变 的 情 况 刚 好 相 反 。将 代 入 物 理 方 程 ， 有 0z z yxzz E 1 yxz E 由 于 认 为 板 内 ， 将 其 代 入 物 理 方 程0 zx 0zyyzyz G 1 zxzx G 1 ， 则 有0yz 0zx 110 于 是 ， 物 理 方 程 的 另 外 三 式 成 为 121 )(1 )(1 xyxyxy xyy yxx E G EE 如 果 用 应 变 分 量 来 表 示 应 力 分 量 ， 上 面 三 式 变 为 xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（ 111 xyxyxy yxy yxx EE EE )1(2 21)21)(1( )1()1(2 1)21)(1( )1( 1)21)(1( )1( xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（比 较 两 类 平 面 问 题 的 物 理 方 程 ： 平 面应 力平 面应 变112 D Txyyx Txyyx 这 里 ，分 别 为 应 力 矩 阵 、 应 变 矩 阵 。 矩 阵 D称 为 弹 性 矩阵 。如 果 用 和 分 别 代 换 平 面 应 力 物 理方 程 各 式 中 的 E和 ， 就 得 到 平 面 应 变 物 理 方 程 ， 因此 ， 我 们 可 以 将 两 类 平 面 问 题 的 物 理 方 程 写 成 统 一的 格 式 ， 用 矩 阵 方 程 表 示 为21 E 1 113 对 于 平 面 应 力 问 题 ， 弹 性 矩 阵 为 2100 111 2 称对ED对 于 平 面 应 变 问 题 的 弹 性 矩 阵 ， 只 须 在 上 式中 ， 以 代 E， 代 即 可 。 21 E 1 114 算 例已 知 平 面 应 变 问 题 中 某 一 三 角 形 三 结 点 单 元刚 度 子 阵 为 ： 1410125 1261352114 1 11 EKe试 根 据 两 类 平 面 问 题 的 转 化 关 系 写 出 该 子 阵对 应 平 面 应 力 问 题 的 刚 度 子 阵 。 115 21 21 u uE uu1用 代 E， 用 代 u。 得 到 平 面 应 力 问 题的 刚 度 子 阵 ： uu uuuE uuuuuuuu uuuuuuuuuuuu uuu uEKe 41025 263514 11141011125 1112611135121114 111 212 211 116 平 面 问 题 的 解 法弹 性 力 学 平 面 问 题 有 两 个 平 衡 微 分 方 程 ， 三 个 几 何方 程 ， 三 个 物 理 方 程 。 共 有 八 个 方 程 ， 其 中 含 有 三个 应 力 分 量 ， 三 个 应 变 分 量 ， 两 个 位 移 分 量 u和 v， 共 八 个 未 知 函 数 。 从 数 学 的观 点 来 看 ， 有 足 够 的 方 程 来 求 解 这 些 未 知 函 数 ， 问题 是 可 解 的 。 我 们 要 求 出 八 个 未 知 函 数 ， 使 其 满 足八 个 方 程 ， 同 时 还 必 须 满 足 全 部 （ 应 力 及 位 移 ） 的边 界 条 件 。 x y xy x y xy117 如 前 所 述 ， 在 一 定 的 边 界 条 件 下 求 解 基 本 方程 ， 可 以 采 用 两 种 基 本 方 法 ： 一 是 位 移 法 ；另 一 种 是 应 力 法 。1. 位 移 法把 两 个 位 移 分 量 u(x, y), v(x, y)作 为 基 本 未 知函 数 。 为 此 ， 必 须 利 用 物 理 方 程 和 几 何 方 程 ，将 应 力 分 量 用 位 移 分 量 表 示 出 来 。 118 对 于 平 面 应 力 问 题 ， 有 物 理 方 程将 几 何 方 程 代 入 以 上 各 式 ， 得xux yv y yuxvxy 119 yvxuEx 21 yvxuEy 21 yuxvExy 12再 将 上 式 带 入 平 衡 微 分 方 程 ， 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 简 化 后 ， 即 得 120 021211 222222 XyxvyuxuE 021211 222222 YyxuxvyvE 这 就 是 用 位 移 分 量 表 示 的 平 衡 微 分 方 程 。 将 yvxuE x 21 yvxuEy 21 yuxvExy 12代 入 应 力 边 界 条 件 Yml yxy Xml yxx 121 得 到 用 位 移 表 示 的 应 力 边 界 条 件 ： YxvyulxuyvmE XxvyumyvxulE 211 211 22 位 移 边 界 条 件 ： vv A uuA 由 此 可 见 ， 用 位 移 法 求 解 平 面 应 力 问 题 ， 归结 为 求 解 平 衡 微 分 方 程 ， 并 在 边 界 上 满 足 边界 条 件 。 122 如 果 所 求 的 问 题 直 接 给 出 了 边 界 上 的 位 移 ， 则应 使 得 到 的 位 移 分 量 满 足 位 移 边 界 条 件。 求 出 位 移 分 量 后 ， 即 可 用 几 何 方 程 求 得 应 变 分 量 ，再 由 物 理 方 程求 出 应 力 分 量 。 xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（ vvA uuA u v对 于 平 面 应 变 问 题 ， 只 需 将 上 面 各 方 程 中 的 E换为 ， 将 换 为 。 21 E 1 123 2. 应 力 法对 于 弹 性 力 学 平 面 问 题 ， 往 往 已 知 构 件 所 承 受 的 载荷 。 一 般 以 应 力 作 为 基 本 未 知 量 较 为 方 便 ， 因 此 应力 法 应 用 较 为 广 泛 。 在 这 里 以 三 个 应 力 分 量 、 和 为 基 本 未 知 函 数 ， 需 要 运 用 平 衡微 分 方 程变 形 连 续 方 程 共 同 决 定 这 三 个未 知 函 数 。 yxx , yx y , yxxy , 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy yxxy xyyx 22222 124 在 这 三 个 方 程 中 ， 两 个 平 衡 方 程 已 经 用 应 力 表示 了 ， 尚 需 将 应 变 表 示 的 变 形 连 续 方 程 改 为 用应 力 来 表 示 ， 为 此 ， 将 物 理 方 程 121 )(1 )(1 xyxyxy xyy yxx EG EE xyxyxy xyy yxx EGEE 121 11 11 或 yxxy xyyx 22222代 入 变 形 连 续 方 程 即 可 。 125 进 一 步 可 由 物 理 方 程 求 应 变 ， 再 通 过 几 何 方 程xux yvy yuxvxy Yml yxy Xml yxx 把 所 得 结 果 再 与 平 衡 方 程 联 立 求 解 ， 即 可 得 出三 个 应 力 分 量 ， 同 时 使 它 们 满 足 边 界 条 件求 位 移 ， 使 其 满 足 位 移 边 界 条 件 。 126 第 三 章 有 限 元 分 析 的 数 学 基 础 3.1 简 单 问 题 的 解 析 求 解3.1.1 1D拉 压 杆 问 题一 个 左 端 固 定 的 拉 杆 在 其 右 端 承 受 一 外 力 P， 该拉 杆 的 长 度 为 l， 横 截 面 积 为 A， 弹 性 模 量 为 E，如 图 所 示 。 128 （ 1） 基 本 变 量由 于 该 问 题 是 为 沿 x方 向 的 一 维 问 题 ， 因 此只 有 沿 x方 向 的 变 量 ， 而 其 它 变 量 为 零 。 即129 （ 2） 基 本 方 程对 原 三 维 问 题 的 所 有 基 本 方 程 进 行 简 化 ，只 保 留 沿 x方 向 的 方 程 ， 有 该 问 题 的 三 大 基本 方 程 和 边 界 条 件 如 下 ： 0 xx 130 xux 131 （ 3） 求 解对 方 程 进 行 直 接 求 解 ， 可 得 到 以 下结 果 132 其 中 c和 c1为 待 定 常 数 ， 由 边 界 条 件 BC和 ， 可 求 出 中 的 常 数 c1=0，因 此 ， 有 最 后 的 结 果 ： 133 （ 4） 讨 论 1若 用 经 验 方 法 求 解 （ 如 材 料 力 学 的 方 法 ） ，则 需 先 作 平 面 假 设 ， 即 假 设 为 均 匀 分布 ， 则 可 得 到 再 由 虎 克 定 律 可 算 出 134 再 计 算 右 端 的 伸 长 量 为 经 验 方 法 求 解 的 结 果 与 弹 性 力 学 解 析的 结 果 完 全 一 致 。 135 （ 5） 讨 论 2该 问 题 有 关 能 量 的 物 理 量 的 计 算 为应 变 能外 力 功势 能 136 3.1.2 平 面 梁 的 弯 曲 问 题受 分 布 载 荷 的 简 支 梁 如 图 所 示 ， 由 于 简 支 梁 的厚 度 较 薄 ， 外 载 沿 厚 度 方 向 无 变 化 ， 该 问 题 可以 认 为 是 一 平 面 问 题 （ xoy） 137 （ 1） 基 本 方 程 的 建 立描 述 该 变 形 体 同 样 应 有 三 大 方 程 和 两 类 边 界条 件 ， 有 以 下 两 种 方 法 来 建 立 基 本 方 程 。 用 弹 性 力 学 中 dxdy微 体 建 模 方 法 推 导 三 大方 程 用 简 化 的 “ 特 征 建 模 ” 方 法 推 导 三 大 方 程 。(a)下 面 给 出 简 化 的 “ 特 征 建 模 ” 方 法 的 推 导过 程 ， 其 思 想 是 用 工 程 宏 观 特 征 量 进 行 描述 。 138 基 本 变 量 139 下 面 取 具 有 全 高 度 梁 的 dx ”微 段 ” 来 推 导 三大 方 程 140 针 对 图 中 “ 微 段 ” ， 应 有 三 个 平 衡 方 程 ，由 ， 有其 中 ， y为 距 梁 中 性 层 的 坐 标 。由 ， 有 ， 即- 141 由 ， 有 ， 即由 变 形 后 的 几 何 关 系 ， 可 得 到其 中 ， y为 距 中 性 层 的 坐 标 ， 为 梁 挠 度 的曲 率 ， 即 142 由 虎 克 定 律对 以 上 方 程 进 行 整 理 ， 有 描 述 平 面 梁 弯 曲 问 题 的基 本 方 程将 原 始 基 本 变 量 定 为 中 性 层 的 挠 度 v(x)， 则 可 求 出 其它 参 量 。 143 该 简 支 梁 的 边 界 为 梁 的 两 端 ， 作 用 在 梁 上 的 q(x)已在 平 衡 方 程 中 考 虑 ， 因 此 不 作 为 力 的 边 界 条 件 。两 端 位 移两 端 力 （ 弯 矩 ） 144 将 弯 矩 以 挠 度 的 二 阶 导 数 来 表 示 ， 即（ 2） 求 解若 用 基 于 dxdy微 体 所 建 立 的 原 始 方 程 （ 即 原 平 面应 力 问 题 中 的 三 大 类 方 程 ） 进 行 直 接 求 解 ， 比 较麻 烦 ， 并 且 很 困 难 ， 若 用 基 于 以 上 简 化 的 “ 特 征建 模 ” 方 法 所 得 到 的 基 本 方 程 进 行 直 接 求 解 则 比较 简 单 ， 对 本 例 问 题 （ 如 为 均 匀 分 布 ） ， 其 方 程为 ： 145 这 是 一 个 常 微 分 方 程 ， 其 解 的 形 式 有 146 其 中 c0c3为 待 定 系 数 ， 可 由 四 个 边 界 条 件BC求 出 ， 最 后 有 结 果（ 3） 讨 论该 问 题 有 关 能 量 的 物 理 量 计 算 为 ：应 变 能 147 外 力 功势 能 148 第 四 章 杆 梁 结 构 的 有 限 元 分 析 原 理 本 章 提 到 的FEM即 有 限 元 方 法 (Finite Element Method)FEA即 有 限 元 分 析 (Finite Element Analysis)4.1 一 个 简 单 结 构 FEA求 解 的 完 整 过 程一 个 阶 梯 形 状 的 二 杆 结 构 如 图 所 示 ， 其 材 料 的 弹 性模 量 和 结 构 尺 寸 如 下 ： 150 该 结 构 由 两 根 杆 件 组 成 ， 作 为 一 种 直 觉 ， 需要 研 究 相 应 的 “ 特 征 结 构 ” ， 即 杆 单 元 ， 将该 “ 特 征 结 构 ” 抽 象 为 具 有 两 个 结 点 的 单 元 ，如 下 图 所 示 。 151 e下 面 考 察 该 简 单 问 题 的 FEA求 解 过 程 。(1) 离 散 化 两 个 杆 单 元 ， 即 ： 单 元 和 单 元 152 (2) 单 元 的 特 征 及 表 达对 于 二 结 点 杆 单 元 ， 设 该 单 元 的 位 移 场 为 ， 那么 它 的 两 个 结 点 条 件 为设 该 单 元 的 位 移 场 具 有 模 式 （ 考 虑 两 个 待 定 系 数 ）153 利 用 结 点 条 件 ， 可 以 确 定 系 数 a0和 a1， 即将 系 数 a0和 a1代 入 ， 可 将 表 达 成 结 点 位 移 (u1, u2)的 关 系 ， 即 154 其 中由 一 维 问 题 几 何 方 程 和 物 理 方 程 ， 则 该 单 元的 应 变 和 应 力 为 155 其 中 156 单 元 的 势 能其 中叫 做 单 元 刚 度 矩 阵 。 叫 做 单 元 结 点 外 载 。在 得 到 “ 特 征 单 元 ” 的 单 元 刚 度 矩 阵 和 单 元结 点 外 载 后 ， 就 可 以 计 算 该 单 元 的 势 能 ， 因此 ， 计 算 各 单 元 的 矩 阵 和 是 一 个 关键 ， 下 面 就 本 题 给 出 了 个 单 元 的 和 。 具 体 就 单 元 ， 有单 元 的 结 点 位 移 向 量单 元 的 刚 度 矩 阵单 元 的 结 点 外 载其 中 P 1为 结 点 1的 支 反 力 。 具 体 就 单 元 ， 有单 元 的 刚 度 矩 阵单 元 的 结 点 外 载单 元 的 结 点 位 移 向 量 (3) 装 配 集 成 以 得 到 系 统 的 总 体 势 能计 算 整 体 的 势 能 (4) 处 理 位 移 边 界 条 件 并 求 解由 图 可 知 ， 其 边 界 条 件 为 左 端 固 定 ， 即u1=0， 将 该 条 件 代 入 总 体 势 能 公 式 ， 有这 时 由 全 部 结 点 位 移 0 u2 u3分 段 所 插 值出 的 位 移 场 为 全 场 许 可 位 移 场 。 由 最 小 势 能 原 理 （ 即 针 对 未 知 位 移 u2和 u3求一 阶 导 数 ） ， 有可 解 出 (5) 计 算 每 个 单 元 的 应 变 及 应 力在 求 得 了 所 有 的 结 点 位 移 后 ， 由 几 何 方 程可 求 得 各 单 元 的 应 变 由 方 程可 求 得 各 单 元 的 应 力 (6) 求 结 点 1的 支 反 力就 单 元 的 势 能 ， 对 相 应 的 结 点 位 移 求 极 值 ， 可 以建 立 该 单 元 的 平 衡 方 程 ， 即有则 结 点 1的 外 力 为 ： (7) 讨 论如 果 我 们 在 处 理 位 移 边 界 条 件 之 前 ， 先 对 总 势 能 取极 值 ， 有在 上 述 方 程 的 基 础 上 ， 再 处 理 位 移 边 界 条 件 (BC)，即 令 u 1=0， 即 可 从 上 述 方 程 求 出 u2， u3和 P1， 其 求 解的 值 与 前 面 的 结 果 完 全 相 同 。 这 就 给 我 们 提 供 了 一 个 方 便 ， 即 ， 可 以 先进 行 各 单 元 的 装 配 集 成 ， 以 形 成 该 系 统 的整 体 极 值 方 程 ， 类 似 于 上 页 的 式 子 ， 最 后才 处 理 位 移 边 界 条 件 ， 同 时 也 可 以 通 过 该整 体 方 程 直 接 求 出 支 反 力 。 这 样 可 以 适 应更 多 的 边 界 条 件 工 况 ， 更 具 有 通 用 性 。 4.2 有 限 元 分 析 的 基 本 步 骤 和 表 达 式从 上 面 的 简 单 实 例 中 ， 可 以 总 结 出 有 限 元 分 析 的 基 本 思 路（ 以 杆 单 元 为 例 ） ： 单 元 的 位 移 （ 场 ） 模 式 （ 唯 一 确 定 性 原 则 ，完 备 性 原 则 ）基 本 步 骤 及 相 应 的 表 达 式(1) 物 体 几 何 的 离 散 化 单 元 的 结 点 描 述 为 具 有 特 征