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专题03 导数一基础题组1. 【2005江苏，理14】曲线在点（1,3）处的切线方程是 .【答案】4x-y-1=0.2. 【2006江苏，理15】对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 .【答案】2n+1-2【解析】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2.3. 【2007江苏，理9】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x，有f（x）0，则的最小值为A.3 B. C.2 D.【答案】C.【解析】f（x）=2ax+b，f（0）=b0；对于任意实数x都有f（x）0，a0且b2-4ac0，b24ac，c0；当a=c时取等号故选C4. 【2007江苏，理13】已知函数f（x）=x312x+8在区间一3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.【答案】32【解析】解：令f（x）=3x2-12=0，得x=-2或x=2，列表得：可知M=24，m=-8，M-m=32故答案为：32.5. 【2008江苏，理8】设直线是曲线的一条切线，则实数的值是_.【答案】ln21【解析】 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以bln216. 【2009江苏，理3】函数f(x)x315x233x+6的单调减区间为_.【答案】(1,11)【解析】f(x)3x230x333(x11)(x+1),当x1或x11时,f(x),f(x)单调递增;当1x11时,f(x)0,f(x)单调递减. 7. 【2009江苏，理9】在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:yx310x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为_.8. 【2014江苏，理11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .【答案】【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得所以9. 【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）定义域为，千米解得（2）由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，则的方程为，由此得，故，设，则令，解得二能力题组1. 【2008江苏，理17】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykmBCDAOP（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.【答案】（1）（i）（ii）（2）点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处.令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，.这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处.2. 【2011江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【答案】【解析】设点坐标为，由得，的方程为，令得，过点的的垂线方程为，令得，所以，令，对函数求导，当时，函数的最大值为.3. 【2011江苏，理17】请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【答案】(1) 15 ，(2) x20时，包装盒的高与底面边长的比值为.4. 【2012江苏，理18】若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)f(f(x)c，其中c2,2，求函数yh(x)的零点个数【答案】(1) a0，b3. (2) 2. (3) 9【解析】解：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.5. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）又，所以当时，或当时，设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，从而，且，因此此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得综上【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点三拔高题组1. 【2010江苏，理20】设f(x)是定义在区间(1，)上的函数，其导函数为f(x)如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1，)都有h(x)0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a)(1)设函数f(x)lnx (x1)，其中b为实数求证：函数f(x)具有性质P(b)；求函数f(x)的单调区间(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2(1，)，x1x2，设m为实数，mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1，1，若|g()g()|g(x1)g(x2)|，求m的取值范围当b2时，解方程x2bx10得x1，x2.因为x11，x21.所以当x(1，x2)时，f(x)0；当x(x2，)时，f(x)0；当xx2时，f(x)0.从而函当m(0,1)时，有mx1(1m)x2mx1(1m)x1x1，mx2(1m)x2x2，得(x1，x2)，同理可得(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g()，g()(g(x1)，g(x2)，从而有|g()g()|g(x1)g(x2)|，符合题设当m0时，mx1(1m)x2mx2(1m)x2x2，(1m)x1mx2(1m)x1mx1x1，于是由1，1及g(x)的单调性知g()g(x1)g(x2)g()，所以|g()g()|g(x1)g(x2)|，与题设不符当m1时，同理可得x1，x2，进而得|g()g()|g(x1)g(x2)|，与题设不符因此，综合得所求的m的取值范围为(0,1)2. 【2011江苏，理19】已知a，b是实数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数若f(x)g(x)0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a0，若f(x)和g(x)在区间1，)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a0且aB若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值【答案】(1) 2，)， (2) .【解析】解：f(x)3x2a，g(x)2xB(1)由题意知f(x)g(x)0在1，)上恒成立因为a0，故3x2a0，进而2xb0，即b2x在区间1，)上恒成立，所以b2.因此b的取值范围是2，)(2)令f(x)0，解得x.若b0，由a0得0(a，b)又因为f(0)g(0)ab0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上单调性不一致因此b0.现设b0.当x(，0)时，g(x)0；当x(，)时，f(x)0.因此，当x(，)时，f(x)g(x)0.故由题设得a且b，从而a0，于是b0.因此|ab|，且当a，b0时等号成立又当a，b0时，f(x)g(x)6x(x2)，从而当x(，0)时f(x)g(x)0，故函数f(x)和g(x)在(，0)上单调性一致因此|ab|的最大值为.3. 【2013江苏，理20】设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论另外，当x0时，f(x)a0，故f(x)在(0，)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点当0ae1时，令f(x)a0，解得xa1.当0xa1时，f(x)0，当xa1时，f(x)0，所以，xa1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a1)ln a1.当ln a10，即ae1时，f(x)有一个零点xe.当ln a10，即0ae1时，f(x)有两个零点实际上，对于0ae1，由于f(e1)1ae10，f(a1)0，且函数f(x)在e1，a1上的图象不间断，所以f(x)在(e1，a1)上存在零点另外，当x(0，a1)时，f(x)a0，故f(x)在(0，a1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a1)上只有一个零点4. 【2014江苏，理19】已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，当时，当时，【解析】（1）证明：函数定义域为，是偶函数（2）由得，由于当时，因此，即，所以，令，设，则，（时等号成立），即，所以5,【2016年高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ （第17题） 【答案】（1）312（2）【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函令，得 或（舍）.当时， ，V是单调增函数；当时，V是单调减函数.故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当m时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.
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