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专题06 数列一基础题组1. 【2005江苏，理3】在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189【答案】C.【解析】设等比数列an的公比为q(q0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0, 求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C.2. 【2009江苏，理14】设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= .3. 【2009江苏，理17】设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项【答案】（1）（2）【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设，w.w.w.c.o.m 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有.4. 【2010江苏，理8】函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_5. 【2011江苏，理13】设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为 【答案】【解析】由题意得，要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，所以，.6. 【2013江苏，理14】在正项等比数列an中，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_【答案】12【解析】设正项等比数列an的公比为q，则由a6a7a5(qq2)3可得q2，于是an2n6，则a1a2an.，q2，a61，a1a11a2a101.a1a2a111.当n取12时，a1a2a1227a1a2a11a12a1226成立；当n取13时，a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a132627213.当n13时，随着n增大a1a2an将恒小于a1a2an.因此所求n的最大值为12.7. 【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 .【2016年高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是 .【答案】【解析】由得，因此【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及二能力题组1. 【2008江苏，理19】（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求. 2. 【2010江苏，理19】设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列(1)求数列an的通项公式(用n，d表示)；(2)设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式SmSncSk都成立求证：c的最大值为.SmSnd22ak2aSk.所以满足条件的c，从而cmax.因此c的最大值为.3. 【2013江苏，理19】设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即0，b1d1a0，cd10.若d10，则由0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又因为cd10，所以c0.三拔高题组1. 【2005江苏，理23】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.所以数列为等差数列。方法2.由已知，S1=a1=1,又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,所以数列是惟一确定的。设bn=5n-4,则数列为等差数列，前n项和Tn=于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)由惟一性得bn=a,即数列为等差数列。（）由（）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了 只要证 5amn1+aman+2 因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证 5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因为 =20m+20n-37,所以命题得证. 2. 【2006江苏，理21】设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)， 3. 【2007江苏，理20】已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2a1，记Sn为数列bn的前n项和.（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1;（4分）（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中的每一项都是数列an中的项。（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析.（2）详见解析.（3）q=【解析】解：（1）设等差数列的公差为d，则由题设得a1+d=a1q，d=a1(q-1)，且q1.由bk=am得b1qk-1=a1+(m-1)d，所以b1(qk-1-1)=(m-1)d，Sk-1=(m-1)a1.故等式成立。（2）（i）证明q为整数：由b3=ai得b1q2=a1+(i-1)d，即a1q2=a1+(i-1)a1(q-1)，移项得a1(q+1)(q-1)=a1(i-1)(q-1).因a1=b10，q1，得q=i-2.故q为整数。（ii）证明数列bn中的每一项都是数列an中的项：设bn是数列bn中的任一项，只要讨论n3的情形。令b1qn-1=a1+(k-1)d，即a1qn-1a1=(k-1)a1(q-1)，得k=1+=2+q+q2+qn-2.因q=i-2，当i=1时，q=-1，q+q2+qn-2为-1或0，则k为1或2；而i2，否则q=0，矛盾。当i3时，q为正整数，所以k为正整数，从而bn=ak。故数列bn中的每一项都是数列an中的项。（3）取q=，b2=b1q，b4=b1q3.b1+b4=b1(1+q3)=b11+()3=b1(-1)=2b2.所以b1，b2，b4成等差数列.4. 【2011江苏，理20】设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立（1）设，求的值；（2）设，求数列的通项公式 ，当时，从而由式知，故，从而，于是。因此，对任意都成立。又由（可知，故且。解得，从而，。因此，数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为.5. 【2012江苏，理20】已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：，nN*.(1)设bn11，nN*，求证：数列是等差数列；(2)设，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值设等比数列an的公比为q，由an0知q0.下证q1.若q1，则，故当时，an1a1qn，与(*)矛盾；若0q1，则a1a21，故当时，an1a1qn1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以1a1.又(nN*)，所以bn是公比为的等比数列若，则，于是b1b2b3.又由得，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以，从而.所以a1b1.6. 【2014江苏，理20】设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 和，使得成立. ，则，而数列，都是“数列”，证毕7. 【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得：所以.【考点定位】数列通项，裂项求和8. 【2015江苏高考，20】（本小题满分16分） 设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说 明理由.试题解析：（1）证明：因为（，）是同一个常数，所以，依次构成等比数列（2）令，则，分别为，（，）假设存在，使得，依次构成等比数列，且再将这两式相除，化简得（）令，则令，则令，则令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程9. 【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：.由（2）得.试题解析：（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因此，.故，所以，即.综合得，. 【考点】等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利用放缩法求证不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质，以算代征；三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.
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