有限元非线性

第 八 章 非 线 性 问 题 8.2 非 线 性 问 题 基 本 解 决 思 路 材 料 非 线 性 ： 方 程 形 式 不 变 ， 将 材 料 本 构 关 系 线 性 化 ，分 段 求 解 ， 将 线 性 问 题 的 方 程 推 广 用 于 非 线 性 问 题 。 几 何 非 线 性 ： 通 常 采 用 增 量 分 析 法 ， 建 立 变 化 位 的 平 衡方 程 。 有 两 种 表 达 格 式 ： （ 1） 在 整 个 分 析 过 程 中 参 考位 保 持 不 变 ， 始 终 取 初 始 位 ， 称 为 完 全 Lagrange格 式 ；（ 2） 在 整 个 分 析 过 程 中 参 考 位 不 断 被 更 新 ， 参 考 前 面每 一 步 荷 载 步 开 始 的 位 形 ， 称 为 修 正 Lagrange格 式 。 求 解 方 法 ： 直 接 迭 代 法 (割 线 刚 度 法 )、 N-R法 或 mN-R法(切 线 刚 度 法 ) 、 初 应 力 法 、 初 应 变 法 和 增 量 法 （ 切 线 、初 应 力 、 初 应 变 增 量 ， 主 要 用 于 弹 塑 性 分 析 ） 。 8.3 非 线 性 方 程 求 解 方 法结 构 整 体 平 衡 方 程 ： 0)( RK （ 1） 假 定 初 始 近 似 解 ： 00 可 令 ： 00)( KK RK 101 RKKK nnnn 11)( （ 2） 由 本 构 关 系 求 出 （ 3） 由 平 衡 方 程 求 得 下 一 步 近 似 解 ：（ 4） 重 复 （ 2） 和 （ 3） ， 直 到 两 次 结 果 非 常 接 近 。1、 直 接 迭 代 法 （ 割 线 刚 度 ） 初 始 线弹 性 解 dVBDBK DB T )( )( R P-凸 时 收 敛 ， 凹时 可 能 发 散 。 2、 N-R法 （ 切 线 刚 度 ） nnn dxdxx /)(1 0)()( nnn xxdxdx 任 何 具 有 一 阶 导 数 的 连 续 函 数 (x)， 在 xn点 的一 阶 Taylor展 开 ： )()()( nnn xxdxdxx 非 线 性 方 程 (x)=0在 xn附 近 的 近 似 方 程 是 线 性 方 程 11 nnn xxx Newton-Raphson迭 代 公 式 针 对 结 构 平 衡 方 程 ： ()=K-R=F () -R= 0利 用 N-R公 式 ， 有 ： 11 1 1 )( )( nnn nnnT T nnnK Kddd d 每 次 迭 代 需 要 修 改 K。 迭 代 过 程 00 假 设 0100 TK 001 B 0 dDd T )( 0 TD dVBDBK TTVT )( 0 TK 修 正 N-R方 法 (等 刚 度 法 )， 每 次 迭 代 不 改 变 它 的 刚 度 值 始 终 取 初 始 刚 度 ， 计 算量 小 ， 但 收 敛 慢 些 。 N-R法 的 另 一 种 改 进荷 载 增 量 法 ： 把 荷载 分 成 很 多 小 的 荷载 步 ， 在 每 一 个 荷载 步 上 使 用 一 次 或都 多 次 N-R方 法 。实 质 上 是 分 段 线 性化 。 11 1 nnn nnnT RK 3、 初 应 力 法 如 果 材 料 的 应 力 -应 变 关 系 可 以 表 示 成 )( f即 由 应 变 确 定 应 力 ， 设 想 用 具 有 初 应 力 的 线 弹 性 物理 方 程 代 替 上 式 ： 0 D eDf )(0 调 整 初 应 力 值 ， 可 以 做 到 上 述 两 式 得 到 的 应 力 相 同 。 V T TVT dVBF dVBDBK 00 )( )(0 00FFK FdVBdVBDB FdVDBT V TV TV T 式 中 ： KT0为 结 构 的 起 始 切 线 刚 度 矩 阵 ， F为 与 初 应 力 等 价 的 节 点 荷 载 改 写 平 衡 方 程 迭 代 过 程 101 FKT 1110 )( Df dVBF TV 101 1101 FK 11 B 112 弹 性 解 8.4 材 料 非 线 性 本 构 关 系 8.4.1 材 料 弹 塑 性 行 为弹 塑 性 ： 卸 载 后 存在 不 可 恢 复 的 残 余 变形 。 它 与 非 线 性 弹 性材 料 有 显 著 区 别 ： 加载 同 ， 卸 载 不 同 。 硬 化 ： 屈 服 后 应 力 随 应 变 继 续 增 加 ； 卸 载 后 再 加 载屈 服 应 力 提 高 ， 一 般 等 于 卸 载 时 的 应 力 。 各 种 硬 化 塑 性 特 征各 项 同 性 硬 化 ： 反向 加 载 的 屈 服 应 力与 正 向 卸 载 点 应 力数 字 上 相 等 。随 动 硬 化 ： 卸 载 点应 力 与 反 向 加 载 的屈 服 应 力 绝 对 值 之和 等 于 2倍 初 始 屈服 应 力 。混 合 硬 化 ： 介 于 上二 者 。 循 环 塑 性 特 征 循 环 硬 松 弛循 环 塑 性一 般 表 现 循 环 硬 化 循 环 蠕 变 8.4.2 塑 性 力 学 的 基 本 法 则 1、 米 赛 斯 （ Von Mises） 屈 服 准 则 材 料 在 复 杂 应 力 状 态 下 的 等 效 应 力 达 到 单 向 拉伸 的 屈 服 极 限 时 ， 材 料 开 始 屈 服 。 于 是 ， 米 赛 斯屈 服 条 件 可 写 成 ： s 式 中 等 效 应 力 为 21213232221 21 几 何 上 以 1 =2=3为 轴 线 的 圆 柱 面 。 或 用 一 般 应 力 表 示 21222 222 622 zxyzxy xzzyyx 等 效 应 力 还 可 用 应 力 偏 量 表 示 为 21 22222 223 zxyzxyzyx 式 中 zxzxcpzz yzyzcpyy xyxycpxx 3 zyxcp 2、 应 变 强 化假 定 材 料 进 入 屈 服 后 ， 总 应 变 增 量 可 分 成 弹 性的 和 塑 性 两 部 分 pe ddd 对 应 于 等 效 应 力 ， 定 义 等 效 应 变 为 21222 222 )(2312 2 zxyzxy xzzyyx 2、 硬 化 法 则各 项 同 性 硬 化 运 动 硬 化 Prager， Zeigler修 正 对 应 于 塑 性 应 增 量 的 等 效 应 变 称 为 塑 性 等 效 应 增量 ， 因 为 塑 性 变 形 不 产 生 体 积 变 化 ， 泊 松比 为 0.5， 故 有pd 21222 2222332 zxpyzpxyp xpzpzpypypxpp ddd ddddddd 材 料 进 入 屈 服 以 后 ， 进 行 卸 载 或 部 分 卸 载 后 在加 载 ， 新 的 屈 服 应 力 仅 与 卸 载 前 的 等 效 塑 性 应 变 总量 有 关 。 新 的 屈 服 只 有 当 等 效 应 力 适 合 pp dHddH 或才 发 生 。 上 式 为 等 向 硬 化 材 料 的 米 赛 斯 准 则 ， 反 映 等向 强 化 材 料 屈 服 和 强 化 之 间 的 关 系 。 H为 强 化 阶 段的 曲 线 斜 率 。 3、 普 朗 特 -路 斯 （ Prandtl-Reuss） 塑 性 流 动 理 论 如 果 将 等 向 强 化 米 赛 斯 准 则 式 写 成 0, pp dHF则 F可 以 看 成 n维 应 力 空 间 的 一 个 曲 面 ， 称 为 屈 服 面 。 对 于 金 属 一 类 材 料 ， 塑 性 应 变 增 量 和 屈 服 面 之 间存 在 如 下 关 系 Pp dFd 上 式 可 以 解 释为 塑 性 应 变 增 量“ 向 量 ” 垂 直 于 n维 应 力 空 间 的 屈服 面 。 称 为 普 朗特 -路 斯 流 动 法 则 3、 应 力 -应 变 关 系 当 应 力 产 生 一 微 小 增 量 时 ， 总 应 变 增 量 可 分 解成 弹 性 的 和 塑 性 的 两 部 分 pe ddd pe ddDd 左 乘 上 式 两 边用 T peTT ddDd 根 据 强 化 材 料 米 赛 斯 准 则 和 普 朗 特 -路 斯 流 动 法则 pT dHdd pp dd上 式 可 化 为 peTETp dDdDdH 等 效 塑 性 应 变 增 量 和 总 应 变 增 量 的 关 系 式 pe ddDd dDH Dd eT eTp dDH DDDd eT eTee pp dd DP 记 增 量 形 式 的 弹 性 应 力 -应 变 关 系 Peep DDD eT eTep DH DDD dDd epDep 通 常 称 为 弹 性 矩 阵 8.5 弹 塑 性 问 题 的 求 解 方 法 采 用 增 量 法 。 假 设 可 以 按 比 例 地 施 加 载 荷 ， 将 结 构的 弹 性 极 限 载 荷 作 为 第 一 个 增 量 ， 其 余 的 载 荷 再 分成 若 干 等 分 ； 如 果 实 际 载 荷 不 是 按 比 例 施 加 的 ， 可根 据 实 际 情 况 确 定 载 荷 增 量 。 当 材 料 进 入 塑 性 后 ，只 要 载 荷 增 量 适 当 小 ， 应 力 增 量 和 应 变 增 量 的 关 系可 视 为 线 性 ， 近 似 地 表 示 成 epD常 用 的 方 法 有 增 量 切 线 刚 度 法 、 增 量 初 应 力 法 等 。 1、 增 量 切 线 刚 度 法 弹 性 阶 段 为 初 值 ， 迭 代 公 式 iii FK 11)( iii iii iii 111 2、 初 应 力 法 )2,1,0( 10 jFFK jnnjn dVDBF j npTjn )(初 应 力 转 化 得 到 的 等 效 节 点 荷 载 ， 矫 正 荷 载 。第 n级 荷 载 增 量 步 的 迭 代 公 式 例 8-1 E， A， L， s 杆 I弹 塑 性 ， 杆 II弹 性 。 求 3 sA作 用 下 2点 位 移 。