数学分析华师大

一、极值二、 条件极值拉格朗日乘数法 一、极值若函数 在点 的某个邻域内成立不等式),( yxf ),( 000 yxM ),(),( 00 yxfyxf 则称 在点 取到极大值 ，点 称为函数 的极大点；),( yxf 0M 0M),( 00 yxf),( yxf 类似地，若函数 在点 的某个邻域内成立不等式),( yxf ),( 000 yxM ),(),( 00 yxfyxf 则称 在点 取到极小值 ，点 称为函数 的极小点；),( yxf 0M0M ),( 00 yxf),( yxf 极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定在 取相同的极值。),( yxf ),( 00 yx0yy ),( 0yxf 0 xx同理，一元函数 在 也取相同的极值。于是由一元函数极值的必要条件，可得),( 0 yxf 0yy 0),(,0),( 00 00 yyxx y yxfxyxf 上述条件不是充分的，例如函数 在原点 （0，0）有xyz 0)0,0(,0)0,0( )0,0()0,0( xfyf yx但此函数的图形是一马鞍面，因而在原点没有极值。0),(,0),( 0000 yxfyxf yx设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在 取得极值，则),( yxf ),( 000 yxM0M ),( yxf于是得到二元函数取得极值的必要条件如下：称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。),( yxf),( 00 yx 此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如： 0, 0, xx xx这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， 的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。0 x0 x综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。 如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式),(),( 00 yxfyxff 为此我们考察),(),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxfyxff 当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。),( 00 yx),( yx的符号。 设 的二阶偏导数连续，且 ，由泰勒公式有),( yxf 0 yx ff ),( ),(2 ),(21 ),( ),(2 ),(21 ),(),( ),(),( 200 00 200 200 00 200 0000 00002 22 2 yyyxxf yxyyxxf xyyxxf yyyxxf yxyyxxf xyyxxf yyxfxyxf yxfyyxxff y xyxy xyx yx 由于 的二阶偏导数连续，所以),( yxf )0,0(0,),( )0,0(0,),( )0,0(0,),( 00 00 0022 yxCyyxxf yxByyxxf yxAyyxxfyxyx 记),(),(),( 000000 22 yxfAyxfByxfA yxyx ).,(),(lim ),(),(lim ),(),(lim 00000,0 00000,0 00000,0 22 22 yxfyyxxf yxfyyxxf yxfyyxxf yyyx xyxyyx xxyx 从而 于是)2(21)2(21 2222 yyxxyCyxBxAf 因为当 时， 都是无穷小量，所以当0,0 yx , 02 22 yCyxBxAKf时，存在点 的一个邻域，使得 的符号与 的符号相同，而当 ， 的符号便取决于 的符号了。),( 000 yxM Kff0Kf f 22 2 yyxx 对于二次型22 2 yCyxBxAKf 它的判别式为2BACCB BAH 实二次型 为正定的必要条件是行列式AXX 0| A实二次型 为正定的充要条件是矩阵 A 的顺序主子式都大于零。AXX实二次型 为负定的充要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。AXX 那末有以下结论： 当 时，函数有极值；0H若 ，则函数有极大值。0A若 ，则函数有极大值。0A 当 时，函数没有极值；0H 当 时，函数有无极值还需进一步考察判定。0H 例 1 求 的极值。61065),( 22 yxyxyxf解分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组x y 01010 062 yf xfyx解方程组得 的稳定点f )1,3( 再求 的二阶偏导数在 的值：f )1,3( 10,0,2 yyxyxx fff 02001022 xyyyxx fff因为且02 xxf所以 有极小值：f 8)1,3( f 例 2 讨论 是否存在极值。xyxyxf 2),(解分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组x y 0 02xf yxfyx解方程组得 的稳定点为原点：f )0,0(0,1,2 yyxyxx fff再求 的二阶偏导数在 的值：f )0,0( 011022 xyyyxx fff因为所以 无极值。f 最大值、最小值问题设函数 在某一有界闭区域 中连续且可导，则必在 上达到最大值（或最小值）。若这样的点 位于区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。 因此，为了找出函数在区域 上的最大值（或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值中的最大者（或最小者）就是函数在闭域 上的最大值（或最小值）),( yxfz DD D 0MD 例 3 有一块薄铁皮，宽 24 厘米，把两边折起，做成一槽，求 和倾角 ，使槽的梯形截面的面积最大。x 解厘米24x x x xx224槽的梯形截面面积为 cossinsin2sin24 sin)cos224( sin)cos2224()224(21),( 22 xxx xxx xxxxxS 问题归结为求 的最大值，先求稳定点 0cossincos2cos24 0cossin2sin4sin24 22222 xxxxS xxxxS解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点S 3,8 x由于在这个问题中，最大值必达到，因此当 060,8 厘米x时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为2833482396厘米S 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 有 附 加 条 件 的 极 值 二 条件极值拉格朗日乘数法 .0),( ,0),( ,0),( ,0),( ,0),( ,0),( tzyx tzyx tzyxF tzyxF tzyxF tzyxFtzyx求 解 方 程 组 解 出 x, y, z, t 即 得可 能 极 值 点 的 坐 标 . 解 )22( )22( )22( xyxyF zxxzF zyyzFzyx 则例 4 求 表 面 积 为 a2 而 体 积 为 最 大 的 长 方 体 的 体 积 . 设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 为 x , y， z. 体 积 为 V .则 问 题 就 是 条 件求 函 数 的 最 大 值 .)0,0,0( zyxxyzV令 ),222(),( 2axzyzxyxyzzyxF ,0 ,0 ,0 .0222 2 axzyzxy 0222 2 axzyzxy 下 ， )22( )22( )22( xyxyF zxxzF zyyzFzyx 则令 ),222(),( 2axzyzxyxyzzyxF ,0 ,0 ,0 .0222 2 axzyzxy即 )4( 0222 )3( )(2 )2( )(2 )1( )(2 2axzyzxy yxxy zxxz zyyz ,0 ,0 ,0 zyx因 由 (2), (1)及 (3), (2)得,zy zxyx ,zx yxzy ,0 ,0 ,0 zyx因 由 (2), (1)及 (3), (2)得,zy zxyx ,zx yxzy 于 是 ， .zyx 代 入 条 件 ， 得 .0222 2 axxxxxx ,6 22 ax 解 得 ,66 ax ,66 ay .66 az .366666666 3max aaaaV 这 是 唯 一 可 能 的 极 值 点 。 因 为 由 问 题 本 身 可 知 ，所 以 ， 最 大 值 就 在 此 点 处 取 得 。故 ， 最 大 值最 大 值 一 定 存 在 ， 解 12 0 02 03 233 22zyx yxF yzxF zyxFzyx 则 )4( ,12 )3( , )2( ,2 )1( ,3 23 3 22 zyx yx yzx zyx 由 (1)， (2) 得 (5) ,32 xy 由 (1)， (3) 得 (6) ,31 xz .6912246 23max u将 (5)， (6) 代 入 (4)： 123132 xxx于 是 ， 得 ,6x ,4y .2z这 是 唯 一 可 能 的 极 值 点 。因 为 由 问 题 本 身 可 知 ， 最 大 值 一 定 存 在 ， 所 以 ，最 大 值 就 在 这 个 可 能 的 极 值 点 处 取 得 。故 ， 最 大 值 解 01 024 02222 yx yyF xxFyx 则2 22 26 ( , ) 21 f x y x yx y 例求函数在方程约束条件下的最大与最小值。)1(2),( 2222 yxyxyxF 构造拉格朗日函数，），（），（），（），（解得可能条件极值点为01,01,10,10 ,1)0,1()0,1( ,2)1,0()1,0( ff ff计算出。，最小值为所以所求得的最大值为上必有最值，在有界闭集由于连续函数121/),( 2 22 22 yxyx yx 多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值三 小 结 条件极值无条件极值