函数的最大最小值与导数今天

3.3.3函 数 的 最 大 （ 小 ） 值 与 导 数 a by=f(x) xoy y=f(x) xoy a bf (x)0 f (x)0复 习 :一 、 函 数 单 调 性 与 导 数 关 系如 果 在 某 个 区 间 内 恒 有 ,则 为 常 数 .0)( xf )(xf设 函 数 y=f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 ，f(x)为 增 函 数 f(x)为 减 函 数 二 、 函 数 的 极 值 定 义设 函 数 f(x)在 点 x0附 近 有 定 义 ，如 果 对 X0附 近 的 所 有 点 ， 都 有 f(x)f(x0), 则 f(x0) 是 函 数 f(x)的 一 个 极 小 值 ， 记 作 y极 小 值 = f(x0)；o x y o xy0 x 0 x 函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的点 x0称 为 极 值 点 (1) 求 导 函 数 f (x)； (2) 求 解 方 程 f (x)=0； (3) 检 查 f (x)在 方 程 f (x)=0的 根 的 左右 的 符 号 ， 并 根 据 符 号 确 定 极 大 值 与 极小 值 .口 诀 ： 左 负 右 正 为 极 小 ， 左 正 右 负 为 极 大 。 三 、 用 导 数 法 求 解 函 数 极 值 的 步 骤 ： 在 社 会 生 活 实 践 中 ， 为 了 发 挥 最 大 的 经 济 效 益 ，常 常 遇 到 如 何 能 使 用 料 最 省 、 产 量 最 高 ， 效 益 最 大等 问 题 ， 这 些 问 题 的 解 决 常 常 可 转 化 为 求 一 个 函 数的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 函 数 在 什 么 条 件 下 一 定 有 最 大 、 最 小 值 ？ 他 们与 函 数 极 值 关 系 如 何 ？新 课 引 入极 值 是 一 个 局 部 概 念 ， 极 值 只 是 某 个 点的 函 数 值 与 它 附 近 点 的 函 数 值 比 较 是 最大 或 最 小 ,并 不 意 味 着 它 在 函 数 的 整 个的 定 义 域 内 最 大 或 最 小 。 l 教 学 目 的 ：l 使 学 生 理 解 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 的 概念 ， 掌 握 可 导 函 数 在 闭 区 间 上 所 有 点 （ 包括 端 点 ） 处 的 函 数 中 的 最 大 （ 或 最 小 ） 值必 有 的 充 分 条 件 ；l 使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值的 方 法 和 步 骤 l 教 学 重 点 ： 利 用 导 数 求 函 数 的 最 大 值 和 最小 值 的 方 法 l 教 学 难 点 ： 函 数 的 最 大 值 、 最 小 值 与 函 数的 极 大 值 和 极 小 值 的 区 别 与 联 系 知 识 回 顾 一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果存 在 实 数 M满 足 ： 1 最 大 值 （ 1） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2） 存 在 x0 I， 使 得 f(x0) = M那 么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 大 值 2 最 小 值 一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果存 在 实 数 M满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2） 存 在 x0 I， 使 得 f(x0) = M那 么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 小 值 xy0a bx1 x2 x3 x4f(a) f(x3) f(b)f(x1) f(x2) gg 讲 授 新 课 观 察 下 列 函 数 ， 作 图 观 察 函 数 最 值 情 况 ：（ 1） f（ x） =|x| （ -2x1)1)x(0 x1xf(x)(2) （ 3） f（ x） = X （ 0 x2）0 （ x=2） -2 120 12 归 纳 结 论 ：（ 1） 函 数 f（ x） 的 图 像 若 在 开 区 间 （ a， b） 上 是 连 续 不断 的 曲 线 ， 则 函 数 f（ x） 在 （ a， b） 上 不 一 定 有 最 大 值 或最 小 值 ； 函 数 在 半 开 半 闭 区 间 上 的 最 值 亦 是 如 此（ 2） 函 数 f（ x） 若 在 闭 区 间 a， b上 有 定 义 ， 但 有间 断 点 ， 则 函 数 f（ x） 也 不 一 定 有 最 大 值 或 最 小 值 总 结 ： 一 般 地 ， 如 果 在 区 间 a， b上 函 数 f（ x） 的 图 像是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 那 么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值 。 如何 求 最 值 ？只 要 把 连 续 函 数 的 所 有 极 值 与 端 点 的 函 数 值 进 行 比 较 ， 就可 求 最 大 值 、 最 小 值 例 1、 求 函 数 f(x)=x2-4x+3在 区 间-1， 4内 的 最 大 值 和 最 小 值 解 :f (x)=2x- 4令 f (x)=0， 即 2x 4=0， 得 x =2x -1 （ -1,2） 2 （ 2， 4） 40 0 0- +8 3-1 故 函 数 f (x) 在 区 间 -1， 4内 的 最 大值 为 8， 最 小 值 为 -1 )(xf )(xf例 题 讲 解 一 般 地 ， 求 函 数 y=f(x)在 a,b上 的最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 如 下 ： (2)将 y=f(x)的 各 极 值 与 端 点 处 函 数 值f(a)、 f(b)比 较 ,其 中 最 大 的 一 个 为 最 大 值 ，最 小 的 一 个 最 小 值 .(1)求 f(x)在 区 间 (a,b)内 极 值 (极 大 值 或极 小 值 ) 1、 求 函 数 f(x)=x2-4x+6在 区 间 1， 5内 的 最 大 值 和 最 小 值 法 一 、 将 二 次 函 数 f(x)=x2-4x+6配 方 ， 利 用二 次 函 数 单 调 性 处 理练 习 1、 求 函 数 f(x)=x2-4x+6在 区 间 1， 5内 的 最 值 故 函 数 f(x) 在 区 间 1， 5内 的 最 大 值为 11， 最 小 值 为 2 法 二 、 解 、 f (x)=2x-4令 f (x)=0， 即 2x- 4=0， 得 x=2x 1 （ 1,2） 2 （ 2,5） 5y， 0 0 0y - +3 112 2、 函 数 y=x3-3x2， 在 2， 4 上 的最 大 值 为 ( )A.-4 B.0 C.16 D.20C练 习 4153.已 知 函 数 y=-x2-2x+3在 区 间 a,2上 的 最 大 值 为 ， 则 a等 于 （ ）A. B. C. D. 或23 21 21 23 21 4.已 知 函 数 f(x)=2x3-6x2+a在 区 间 -2， 2上 有 最 小 值 -37，（ 1） 求 实 数 a的 值 ；（ 2） 求 f(x)在 区 间 -2， 2上 的 最 大值 . 知 识 要 点 ： .函 数 的 最 大 与 最 小 值 设 y = f(x)是 定 义 在 区 间 a , b上 的 函 数 ,y = f(x)在 (a , b)内 有 导 数 ,求 函 数 y = f(x) 在 区 间 a , b上 的 最 大 最 小 值 ,可 分 两 步 进 行 : 求 y = f(x)在 区 间 (a,b)内 的 极 值 ; 将 y = f(x)在 各 极 值 点 的 极 值 与 f(a), f(b)比 较 ，其 中 最 大 的 一 个 为 最 大 值 ,最 小 的 一 个 为 最 小 值 。 若 函 数 f(x)在 区 间 a , b上 单 调 递 增 (减 ),则 f(a) 为 最 小 (大 )值 ,f(b)为 最 大 (小 )值 。 小 结 作 业1:求 函 数 y=x4-2x2+5在 区 间 -2,2上 的 最 大 值 与 最 小 值 .课 本 P99第 6题 的 （ 1） 、 （ 2）