刚度矩阵的性质

平 面 问 题单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 Institute of Mechanical Engineering and Automation结 点 力 ,单 元 结 点 力二 、 位 移 模 式 与 形 函 数 一 、 离 散 化 将 连 续 体 用 假 想 的 线 或 面 分 割 成 有 限 个 部 分 ， 各 部 分 之间 用 有 限 个 点 相 连 。每 个 部 分 称 为 一 个 单 元 ， 连 接 点 称 为 结 点 。 三 角 形 网 格 划 分y x0 TTkTjTieTiiii vu TTkTjTieTiiii RRRRYXRR TyxeTyxe FFF ， 表 面 力体 积 力结 点 位 移 ,单 元 结 点 位 移yaxaav yaxaau 654 321 kkkkkk jjjjjj iiiiii yaxaavyaxaau yaxaavyaxaau yaxaavyaxaau 654321 654321 654321 iuiv jujvkY ),( kk yxk kX),( ii yxi ),( jj yxjiY iX jY jXkukv xFyF 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 平 面 问 题 中 ， 离 散 化 的 单 元 组 合 体 极 为 相 似 ， 单 元 组 合 体在 节 点 载 荷 的 作 用 下 ， 节 点 对 单 元 、 单 元 对 节 点 都 有 作 用 力 与反 作 用 力 存 在 ， 大 小 相 等 方 向 相 反 ， 统 称 为 节 点 力 。节 点 力 和 节 点 位 移 的 关 系 前 面 已 经 求 出 ： ee eF K 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 写 成 分 块 矩 阵 写 成 普 通 方 程 其 中 表 示 节 点 S(S=i,j,m)产 生 单 位 位 移 时 ， 在 节 点r(r=i,j,m)上 所 需 要 施 加 的 节 点 力 的 大 小 。 i ii ij im ij ji jj jm jm mi mj mm mF K K K F K K K F K K K i ii i ij j imi mj ji i jj j jm mi mi i mj j mm mF K K K F K K K F K K K eF rsK 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 节 点 力 列 矩 阵 与 节 点 位 移 列 矩 阵 均 展 开 成(6*1)阶 列 矩 阵 ， 单 元 刚 度 矩 阵 相 应 地 展 开 成 (6*6)阶 方 阵 ： 元 素 K的 脚 码 ， 标 有 “ -” 的 表 示 水 平 方 向 ， 没 有 标 “ -”的 表 示 垂 直 方 向 。 eF e ii juvu xi ii ii ij ij im imii ij im imyi ii ijxj ji ji jj jj jm jmji jj jm jmyj ji jj jmi mj mm mmxm mi mj mmi mj mm mmym mi mj mK K K K K KF K K K K K KF K K K K K KF K K K K K KF vK K K K K KF uK K K K K KF v 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 单 元 刚 度 矩 阵 的 每 一 个 元 素 都 有 明 显 的 物 理 意 义 。 表 示 节 点 S(S=i,j,m)在 水 平 方 向 、 垂 直 方 向产 生 单 位 位 移 时 ， 在 节 点 r(r=i,j,m)上 分 别 所 要 施 加 的 水 平 节点 力 和 垂 直 节 点 力 的 大 小 。 例 如 表 示 节 点 j在 垂 直 方 向 产生 单 位 位 移 时 ， 在 节 点 i所 需 要 施 加 的 水 平 节 点 力 的 大 小 。F xr rs s rs sS i,j,m (K u K v )(r i,j,m)F yr rs s rs sS i,j,m (K u K v )(r i,j,m) rs rs rs rsK ， K ， K ， K ijK 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 1） 单 元 刚 度 矩 阵 是 对 称 阵 ， (只 要 证 明 ) 2） 单 元 刚 阵 主 对 角 线 元 素 恒 为 正 值 ； 因 为 主 对 角 元 素 表 示 力 的 方 向 和 位 移 方 向 一 致 ， 故 总 为 正 值 。 3） 单 元 刚 阵 是 奇 异 阵 ， 即 |K|=0， 这 是 因 为 计 算 单 元 刚 阵时 没 有 对 单 元 的 节 点 加 以 约 束 ， 虽 然 ， 单 元 处 于 平 衡 状 态 ，但 容 许 单 元 产 生 刚 体 位 移 ， 故 从 单 元 刚 度 平 衡 方 程 不 可 能得 到 唯 一 位 移 解 ， 只 能 得 到 唯 一 的 节 点力 解 。 4） 单 元 刚 阵 所 有 奇 数 行 的 对 应 元 素 之 和 为 零 ， 所 有 偶 数 行的 对 应 元 素 之 和 也 为 零 。 由 此 可 见 ， 单 元 刚 阵 各 行 元 素 的总 和 为 零 。 由 对 称 性 可 知 ， 各 列 元 素 的 总 和 也 为 零 。 ( )e e TK K iik 1( )ee K F