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57 带电粒子在交变电场、磁场中的运动方法点拨(1)先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响；(2)画出粒子运动轨迹，分析轨迹在几何关系方面的周期性1如图1甲所示，两平行金属板A、B长L8 cm，两极板间距d6 cm，A、B两极板间的电势差UAB100 V一比荷为1106 C/kg的带正电粒子(不计重力)从O点沿电场中心线垂直电场线以初速度v02104 m/s飞入电场，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，已知两界面MN、PS间的距离为s8 cm.带电粒子从PS分界线上的C点进入PS右侧的区域，当粒子到达C点开始计时，PS右侧区域有磁感应强度按图乙变化的匀强磁场(垂直纸面向里为正方向)求： 图1(1)PS分界线上的C点与中心线OO的距离y；(2)粒子进入磁场区域后第二次经过中心线OO时与PS分界线的距离x.2如图2甲所示，在平行边界MN、PQ之间存在宽度为L的匀强电场，电场周期性变化的规律如图乙所示，取竖直向下为电场正方向；在平行边界MN、EF之间存在宽度为s、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域，在PQ右侧有宽度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域.在区域中距PQ为L的A点，有一质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子以初速度v0沿竖直向上方向开始运动，以此作为计时起点，再经过一段时间粒子又恰好回到A点，如此循环，粒子循环运动一周，电场恰好变化一个周期，已知粒子离开区域进入电场时，速度恰好与电场方向垂直，sin 530.8，cos 530.6.图2(1)求区域的磁场的磁感应强度大小B1.(2)若E0，要实现上述循环，确定区域的磁场宽度s的最小值以及磁场的磁感应强度大小 B2.(3)若E0，要实现上述循环，求电场的变化周期T.3如图3甲所示，在平面直角坐标系xOy区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场，磁场随时间的变化规律如图乙所示，磁场方向垂直坐标平面向里为正方向，磁场变化周期T0.t0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以某一初速度由坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，在tT0时到达坐标为(a,0)的P点(未画出) 图3(1)求粒子运动的初速度v0；(2)若磁场的变化规律如图丙所示，求粒子从t0时刻起第一次到达y轴的位置与原点O的距离；(3)在第(2)问的条件下，粒子是否可以返回原点？如果可以，求粒子从原点出发到返回原点的时间；如果不可以，请说明理由4如图4甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角45.在第象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C1、C2，两板间距为d10.6 m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C1与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L0.72 m在第象限垂直于x轴放置一块平行于y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板C3，平板C3在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距d20.18 m现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v04 m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C1板上的M孔，进入磁场区域已知小球可视为质点，小球的比荷20 C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s m，不考虑空气阻力 图4(1)求匀强电场的场强大小；(2)要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C3上，求磁感应强度的取值范围；(3)若t0时刻小球从M点进入磁场，磁场的磁感应强度如图乙随时间周期性变化(取竖直向上为磁场正方向)，求小球从M点打在平板C3上所用的时间(计算结果保留两位小数)答案精析1(1)4 cm(2)12 cm解析(1)粒子在电场中的加速度a粒子在电场中运动的时间t1粒子离开电场时竖直方向分速度vyat1粒子在MN与PS间运动时间t2粒子在电场中偏转位移y1at cm出电场后：y2vyt2联立解得：y2 cm所以C点与中心线OO的距离yy1y24 cm(2)粒子运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时，设速度与水平方向夹角为，tan 所以30粒子进入磁场时的速度v104 m/s设粒子在磁场中运动轨道半径为R则qvB所以R4 cm粒子在磁场中运动的周期T2106 s在t106 s内粒子的偏转角t120竖直向上偏移h1Rcos 302 cm在106106 s内通过OO，这段时间内竖直向上偏移h2h12 cm因为h1h2y4 cm则粒子在t106 s时刚好第二次到达OO此时，粒子距PS距离x2(RRsin 30)12 cm.2(1)(2)(3)L解析(1)粒子在区域做圆周运动的半径RL由洛伦兹力提供向心力知qv0B1联立解得B1(2)粒子在电场中做类平抛运动，离开电场时沿电场方向的速度vyatv0，离开电场时速度的偏转角为，tan ，53所以粒子离开电场时的速度vv0粒子在电场中偏转的距离yat22L画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，粒子在区域做圆周运动的圆心O2与在区域做圆周运动的圆心O1的连线必须与边界垂直才能完成上述运动，由几何关系知粒子在区域做圆周运动的半径rL所以sr(1sin 53)即s的最小值为根据r解得B2(3)电场变化的周期等于粒子运动的周期粒子在区域中运动的时间t1粒子在电场中运动的时间t2粒子在区域中运动的时间t3所以周期Tt1t2t3L.3(1)(2)a(3)见解析解析(1)设粒子在磁场中运动的周期为T，轨迹半径为r则TT0t0时粒子从O点射入磁场中，在0时间内，粒子做逆时针方向的匀速圆周运动，接着在T0时间内做顺时针方向的匀速圆周运动，最后在T0T0时间内做逆时针方向的匀速圆周运动到达x轴上的P点，粒子运动轨迹如图甲所示甲则4ra根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B0m联立解得v0(2)比较粒子在磁场中做圆周运动的周期T和磁场变化周期可知，粒子在0时间内运动圆周，其圆心为O1，运动轨迹对应的圆心角为120；在时间内运动圆周，圆心为O2，对应圆心角为60；在时间内运动圆周，其圆心为O3，对应圆心角为120.作出粒子在磁场中运动的轨迹如图乙所示乙由几何关系可知OO1rO1O32rO3Qr则粒子第一次到达y轴的位置与原点O的距离y1OO1O1O3O3Qa(3)粒子可以回到原点由于粒子在磁场中做周期性运动，根据对称性和周期性，作出粒子的运动轨迹如图丙所示丙其中以O1、O3、O5、O7、O9、O11为圆心的运动轨迹所对应的圆心角为120，每段轨迹对应时间为t1以O2、O4、O6、O8、O10、O12为圆心的运动轨迹所对应的圆心角为60，每段轨迹对应时间为t2由图丙中几何关系知，粒子从原点出发到回到原点的时间为t6n(t1t2)3nT0(n1,2,3，)4(1)8 V/m(2) TB1 T(3)0.15 s解析(1)小球在第象限内做类平抛运动有：sv0tatv0tan 由牛顿第二定律有：qEma代入数据解得：E8 V/m(2)设小球通过M点时的速度为v，由类平抛运动规律：v8 m/s小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示，由牛顿第二定律有：qvBm解得：B小球刚好能打到Q点时，磁感应强度最大，设为B1，此时小球的轨迹半径为R1由几何关系有：解得R10.4 m，B11 T小球刚好不与C2板相碰时磁感应强度最小，设为B2，此时小球的轨迹半径为R2由几何关系有：R2d1解得：B2 T综合得磁感应强度的取值范围： TB1 T(3)小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为R3，周期为T，有：R30.18 mT s再综合分析易知小球在磁场中运动的轨迹如图乙所示，一个磁场周期内小球在x轴方向的位移为3R30.54 m，L3R30.18 m即：小球刚好垂直y轴方向离开磁场则小球在磁场中运动的时间t1TTT s0.13 s离开磁场到打在平板C3上所用的时间t20.02 s小球从M点到打在平板C3上所用总时间tt1t20.15 s.
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