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课时作业45空间向量及其运算一、选择题1已知点A(3,0，4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(D)A12 B9C25 D10解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|AB|10.2已知向量a(2，3,5)，b，且ab，则等于(C)A. B.C D解析：abakb3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值为(D)A1B.C.D.解析：kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由题意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三个向量共面，则实数等于(D)A. B.C. D.解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足0，0，0，则BCD的形状是(C)A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D无法确定解析：()()220，同理0，0，故BCD为锐角三角形故选C.6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|MN|等于(A)A.a B.aC.a D.a解析：()，|a.故选A.7在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为A(2,2,1)，B(2,2，1)，C(0,2,1)，D(0,0,1)，则该四面体外接球的表面积是(B)A16 B12C4 D6解析：通过各点坐标可知，A，B，C，D四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应的正方体有共同的外接球，其半径R为正方体体对角线的一半，则R，故该四面体外接球的表面积是4R212.故选B.8在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1和AB上，且C1EEF，则AF的最大值为(B)A. B1C. D2解析：以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C1(4,4,4)设E(0,0，z)，z0,4，F(x,0,0)，x0,4，设AFx.故(4,4,4z)，(x,0，z)因为C1EEF，所以0，即z24x4z0，则xzz2(z2)21，所以当z2时，x取得最大值1.所以AF的最大值为1.故选B.二、填空题9已知点P在z轴上，且满足|OP|1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为或.解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA|.或|PA|.10已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量(bca)解析：如图，()()()(2)()(bca)11已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是.解析：由题意，设，即OQ(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时有最小值，此时Q点坐标为.三、解答题12已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2，1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为(，)13.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为，因为，且0，又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.14如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内若D1MCP，则BCM面积的最小值为(D)A8 B4C8 D.解析：以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,2)，C(4,4,0)，D1(0,4,4)设M(a,0，b)，则(a，4，b4)，(4，4,2)D1MCP，4a162b80，即b2a4.取AB的中点N，连接B1N，则点M的轨迹即为线段B1N.过B作BQB1N于点Q，则BQ，又BC平面ABB1A1，故BCBQ，SBCM的最小值为SBCM4.15如图，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AFDE，AFFE，AFAD2DE2.(1)求证：EF平面BAF；(2)若二面角ABFD的余弦值为，求AB的长解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，BAAD，平面ABCD平面ADEF，又平面ABCD平面ADEFAD，BA平面ABCD，BA平面ADEF.又EF平面ADEF，BAEF.又AFEF，且AFBAA，EF平面BAF.(2)设ABx(x0)以F为坐标原点，AF，FE所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系Fxyz，如图则F(0,0,0)，E(0，0)，D(1，0)，B(2,0，x)，(1，0)，(2,0，x)由(1)知EF平面ABF，平面ABF的一个法向量可取n1(0,1,0)设n2(x1，y1，z1)为平面BFD的一个法向量，则即令y11，则n2.cosn1，n2，解得x(负值舍去)，AB.
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