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课时作业51椭圆及其几何性质一、选择题1(2019北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则(B)Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析：由题意得，又a2b2c2，4b23a2.故选B.2如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为(B)A. B.C. D.解析：由题图知2b16.4,2a20.5，则，则离心率e.故选B.3(多选题)若方程1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(AD)A若C为椭圆，则1t3或t1C曲线C可能是圆D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t3，则方程可变形为1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t1，则方程可变形为1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2t3，则03tt1，故方程1表示焦点在y轴上的椭圆；若1t2，则0t1b0)和直线l：1，若过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A. B.C. D.解析：因为直线l的斜率为，且过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与直线l平行，所以.又b2c2a2，即2c2a2，即c2a2，所以离心率e.故选A.5已知P是椭圆1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，则F1PF2面积为(A)A3B2C. D.解析：方法1：由椭圆的标准方程可得a5，b3，c4.设|PF1|t1，|PF2|t2，由椭圆的定义可得t1t210.在F1PF2中，F1PF260，根据余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2(2c)264，整理可得ttt1t264.把两边平方得tt2t1t2100 ，由得t1t212，SF1PF2t1t2sinF1PF23.故选A.方法2：由于椭圆焦点三角形的面积公式为Sb2tan，故所求面积为9tan303.故选A.6已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点若的最大值为3，则椭圆C的离心率为(B)A. B.C. D.解析：点P到椭圆C的焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.又的最大值为3，3，椭圆C的离心率e.故选B.7已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(2,0)，过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为(A)A.1 B.1C.1 D.1解析：由左焦点为F1(2,0)，可得a2b24，过点F1作倾斜角为30的直线的方程为y(x2)，圆心(0,0)到直线的距离d1.由直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，可得2b，解得b2，a2，则椭圆方程为1.故选A.8(多选题)如图，椭圆与有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心设椭圆与的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(AB)Aa1c12(a2c2)Ba1c1a2c2Ca1c2a2c1D椭圆比椭圆更扁解析：由椭圆的右顶点为椭圆的中心，可得2a2a1，由椭圆与有公共的左顶点和左焦点，可得a2c2c1；因为a1c12a2a2c2，且a2c2，则a1c12a2a2c22(a2c2)，所以A正确；因为a1c12a2(a2c2)a2c2，所以B正确；因为a1c22a2c2，a2c1a2(a2c2)aa2c2，则有a1c2a2c12a2c2aa2c2a2(c2a2)0，即e1e2，则椭圆比椭圆更扁，所以D错误，故选AB.二、填空题9椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|.解析：F1(，0)，PF1x轴，P，|，|4.10(多填题)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则|MF2|4，M的坐标为(3，)解析：根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)11已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是.解析：因为|PT|，|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得eb0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且e，求k的取值范围解：(1)由题意得c3，所以a2，又因为a2b2c2，所以b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，依题意易知，OMON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2BF2.因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，将其整理为k21.因为e，所以2a3，即12a2b0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2，又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)14如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(B)A. B.C. D.解析：设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为，即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为.15(2019浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.解析：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|OF|2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|4，由椭圆的定义知|PF|PF1|6，所以|PF|2.因为M为PF的中点，所以|MF|1.在等腰三角形OMF中，过O作OHMF于点H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.16(多填题)已知椭圆1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且F1AB的面积为，则椭圆的方程为y21；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是1,4解析：由已知得2b2，故b1，a2c2b21.F1AB的面积为，(ac)b，ac2，a2，c，则椭圆的方程为y21.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14.即的取值范围为1,4
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