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一、选择题1(2012兰州质检)若函数f(x)axb的零点为2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2 B0，C0， D2，解析：选C.由已知f(2)2ab0可得b2a，则g(x)2ax2ax，令g(x)0可得x0或x，故g(x)的零点是0或，应选C.2(2012石家庄调研)函数yf(x)在区间2,2上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0C等于0 D无法确定解析：选D.由题意，知f(x)在(1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)符号不定，如f(x)x2，f(x)x.3根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：选C.记f(x)exx2，由表格可知，f(1)0，f(2)0，故原方程一个根所在的区间为(1,2)所以选C.4函数f(x)2xx的一个零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B.观察函数y2x和函数yx的图象可知，函数f(x)2xx有一个大于零的零点，又f(1)10，f(2)20，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上5若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是()A(1,1) B1，)C(1，) D(2，)解析：选C.当a0时，函数的零点是x1；当a0时，若0，f(0)f(1)0，则a1；若0，即a，函数的零点是x2，故选C.二、填空题6用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_解析：由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间为(2,2.5)答案：(2,2.5)7若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：即求f(x)x的根，或解得x1，或x1.g(x)的零点为x1，或x1.答案：x1，或x18若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_解析：f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为x|x1答案：x|x1三、解答题9判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x3x1，x1,2；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3解：(1)f(1)10，f(2)50，f(1)f(2)0，故f(x)x3x1在x1,2上存在零点(2)f(1)log2(12)1log231log2210，f(3)log2(32)3log253log2830，所以f(1)f(3)0，故f(x)log2(x2)x在x1,3上存在零点10已知函数f(x)x3x2.求证：存在x0(0，)，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0.又函数g(x)在0，上连续，所以存在x0(0，)，使g(x0)0.即f(x0)x0.11是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由解：若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a.此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解之，得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a1.
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