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本章知识结本章知识结构图构图乘乘方方开开方方开平方开平方开立方开立方平方根平方根立方根立方根有理数有理数无理数无理数实数实数互为逆运算互为逆运算算术平方根算术平方根负的平方根负的平方根平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质1.算术平方根的定义：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。特殊：0的算术平方根是0。一般地，如果一个数的一般地，如果一个数的平方等于平方等于a a ，那，那么这个数就叫做么这个数就叫做a a 的平方根的平方根（或二次方（或二次方根）根）这这就是说，如果就是说，如果x x 2 2 =a a，那么，那么 x x 就叫做就叫做 a a 的平方根的平方根a a的平方根记为的平方根记为 a2.平方根的定义：平方根的定义：3.平方根的性质：平方根的性质：正数有正数有2个个平方根，它们平方根，它们互为相反数互为相反数；0的平方根是的平方根是0；负数负数没有平方根没有平方根。平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质4.立方根的定义：立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于一般地，如果一个数的立方等于a a，那，那么这个数就叫做么这个数就叫做a a的的立方根立方根，也叫做，也叫做a a的的三次方根三次方根记作记作 .其中其中a是被开方数，是根指数，符号是被开方数，是根指数，符号“”读做读做“三次根号三次根号”5.立方根的性质：立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。零的立方根是零。平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质你知道算术平方根、平方根、立方根联你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？系和区别吗？算术平方根算术平方根 平方根平方根 立方根立方根表示方法表示方法的取值的取值性性质质开开方方正数正数0负数负数正数（一个正数（一个）0没有没有互为相反数（两个互为相反数（两个）0没有没有正数（一个正数（一个）0负数（一个）负数（一个）求一个数的平方根求一个数的平方根的运算叫开平方的运算叫开平方求一个数的立方根求一个数的立方根的运算叫开立方的运算叫开立方是本身是本身0,100,1,-1=1.1.求下列各数的算术平方根求下列各数的算术平方根:(1)0.04;(2)1;(3)56;(4)(-3)2;(5)494964643.3.求下列各数的立方求下列各数的立方根根:(1)121;(2)16;(3)0;(4)(-3)2;(5)9 94 42.2.求下列各数的平方根求下列各数的平方根:(1)-0.008;(2)43;(3)-64;(4)(-3)3;(5)27278 84.4.求下列各式的值求下列各式的值:求根也好求根也好,求值也好求值也好,关键要弄清它是什么意关键要弄清它是什么意思思,然后可以选择定义和性质来求然后可以选择定义和性质来求.不要搞错了6488-4.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3一、平方根和立方根一、平方根和立方根1.16的平方根是的平方根是_,符号表示为符号表示为_;16的算术平方根是的算术平方根是_,符号表示为符号表示为_.2.27的立方根是的立方根是_,符号表示为符号表示为_.3.下列数中的无理数是下列数中的无理数是_1，0.3，0，0.101 001 000 1(相邻两个相邻两个1之间之间0的个数逐次加的个数逐次加1).3 4 0.101 001 000 1 （3）=2 =2利用定义利用定义无理数也有乘除运算，在后面的章节里将会学无理数也有乘除运算，在后面的章节里将会学习，也满足先定符号，再计算习，也满足先定符号，再计算.三、实数的运算三、实数的运算不要遗漏哦！解下列方程：解下列方程：当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解当方程中出现立方时，一般都有一个解当方程中出现立方时，一般都有一个解1.解解:2.解解:掌握规律 注意平方根和立方根的移位法则注意平方根和立方根的移位法则1、无限不循环的小数 叫做无理数.有理数和无理数统称实数.4 4、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样6、在进行、在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性实数的运算时，有理数的运算法则及运算性实数的运算时，有理数的运算法则及运算性实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。质同样适用。质同样适用。质同样适用。实数的有关实数的有关概念和性质概念和性质2、实数与数轴上的点是一一对应的、实数与数轴上的点是一一对应的.3、同样的、同样的,平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的.5、实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利、实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对值比较、求平方比较、求差比较、求商比用绝对值比较、求平方比较、求差比较、求商比较和计算近似值比较等方法。较和计算近似值比较等方法。实实数数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数 0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测1、判断下列说法是否正确：、判断下列说法是否正确：1.实数不是有理数就是无理数。实数不是有理数就是无理数。（）2.无限小数都是无理数。无限小数都是无理数。（）3.无理数都是无限小数。无理数都是无限小数。（）4.带根号的数都是无理数。带根号的数都是无理数。（）5.两个无理数之积一定是无理数。（两个无理数之积一定是无理数。（）6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（数轴上所有的点都表示有理数。（）有理数集合：有理数集合：；1、把下列各数填在相应的大括号内：、把下列各数填在相应的大括号内：整数集合：整数集合：；奇数集合：奇数集合：；无理数集合：无理数集合：。-1，0，-1-1，3.14，0，3.33，,2.1010010001 2 2、把下列各数分别填入相应的集合内：、把下列各数分别填入相应的集合内：、把下列各数分别填入相应的集合内：、把下列各数分别填入相应的集合内：有理数集合有理数集合 无理数集合无理数集合是负数是负数等于它的相反数等于它的相反数是正数是正数等于它本身等于它本身是负数是负数里里面面的的数数的的符符号号化化简简绝绝对对值值要要看看它它等于它的相反数等于它的相反数要学会计算哟！1计算：计算：2、（结果保留、（结果保留3个有效数字）个有效数字）注意：计算过程中要多保留一位注意：计算过程中要多保留一位!01-12 如图是两个边长如图是两个边长1的正方形的正方形拼成的长方形拼成的长方形,其面积是其面积是2.现剪下两个角重新拼成一个现剪下两个角重新拼成一个 正方形正方形,新正方形的边长是新正方形的边长是_ 2 2 22 下图数轴中下图数轴中,正方形的对角线长正方形的对角线长为为_,以原点为圆心以原点为圆心,对角线长为对角线长为2 半径画弧截得一点半径画弧截得一点,该点该点与原点的距离是与原点的距离是_,2 该点表示的数是该点表示的数是_.2 实数与数轴上的点是一一对应关系实数与数轴上的点是一一对应关系.2-0132-1-2问题问题:边长为边长为1的正方形的正方形,对角线长为多少对角线长为多少?平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的.-3123-1-2xyABCD2 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。全一样。（1）a是一个实数，它的相反数为是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为绝对值为 ；（2）如果）如果a 0，那么它的倒数为，那么它的倒数为 .实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法比较大小的方法比较大小的方法比较大小的方法比较大小的方法适用范围适用范围 主要的依据主要的依据 举例举例利用数轴比较利用数轴比较利用数轴比较利用数轴比较所有所有所有所有实数实数实数实数 实数与数轴上的点是一一对实数与数轴上的点是一一对实数与数轴上的点是一一对实数与数轴上的点是一一对应关系，有大小顺序排列。应关系，有大小顺序排列。应关系，有大小顺序排列。应关系，有大小顺序排列。（略）（略）（略）（略）利用绝对值比较利用绝对值比较利用绝对值比较利用绝对值比较 负负负负实数实数实数实数两负实两负实两负实两负实数比较，绝对值大的数比较，绝对值大的数比较，绝对值大的数比较，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大。反而小，绝对值小的反而大。反而小，绝对值小的反而大。反而小，绝对值小的反而大。-5-5、-3-3求平方比较求平方比较求平方比较求平方比较 正正正正实数实数实数实数两正数两正数两正数两正数比较，平方值大的数比较，平方值大的数比较，平方值大的数比较，平方值大的数大，平方值小的数小。大，平方值小的数小。大，平方值小的数小。大，平方值小的数小。课本课本课本课本求差比较求差比较求差比较求差比较同号同号同号同号实数实数实数实数 对于同号实数对于同号实数对于同号实数对于同号实数a a、b b，若若若若a-ba-b0 0，则，则，则，则a a b b （略）（略）（略）（略）求商比较求商比较求商比较求商比较同号正同号正同号正同号正实数实数实数实数 对于对于对于对于同号正同号正同号正同号正实数实数实数实数a a、b b，若若若若abab1 1，则，则，则，则a a b b （略）（略）（略）（略）计算近似值比较计算近似值比较计算近似值比较计算近似值比较含含含含无理数无理数无理数无理数的的的的实数实数实数实数牢牢记住牢牢记住牢牢记住牢牢记住的近似值，直接计算比较的近似值，直接计算比较的近似值，直接计算比较的近似值，直接计算比较 课本课本课本课本通过这节课的学习通过这节课的学习,你有何收获你有何收获?我们大家来总结！我们大家来总结！
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