连续时间信号的抽样与量化

第第5 5章章 连续时间信号的抽样与量化连续时间信号的抽样与量化5.7 5.7 连续时间信号的量化连续时间信号的量化5.1 5.1 引言引言 连续时间信号在进入数字系统之前，有一个如何将模拟信号转化为数字信号的问题，即信号的数字采集，这种转化应是以不丢失模拟信号的信息为原则，本章基于这样的原则，讨论模拟信号数字采集的有关问题。研究如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复原来的连续时间信号。讨论与时域抽样完全对偶的频域抽样。研究如何对一个连续时间信号进行均匀量化问题。上图是通常信号的数字采集与分析、处理系统。模拟信号经抗混叠滤波器预处理，变成带限信号（这是为后面信号的抽样做准备的），经模数转换器后变成数字信号，在送入计算机或数字信号分析仪完成信号的分析和处理。如果需要，再由数模转换器将处理后的数字信号转换成模拟信号。模数转换器的功能是将模拟信号先进行抽样，后对抽样信号进行量化和编码，从而完成模拟信号转换成数字信号的过程。抽样过程方框图如下图所示，其中为输入的连续时间信号，为周期的抽样脉冲序列，为抽样后的信号。5.5.2 2 时域抽样定理时域抽样定理 时域抽样就是利用抽样脉冲序列 从时域连续信号 中抽取一系列的离散样值，即抽样信号 信号的抽样可通过抽样器来实现。抽样器本质上是一开关，如图（b）所示，开关每隔时间 接通输入信号，接通时间是 。显然，抽样器输出的信号 只包含开关接通时间内输入信号 的一些小段，这些小段就是原输入信号 的取样，如图（c）所示。(a)(b)(c)抽样过程实际是相乘过程，可用连续信号抽样过程实际是相乘过程，可用连续信号 与开关函数与开关函数 （即抽样脉冲序列）相乘来表示，（即抽样脉冲序列）相乘来表示，抽样以后的信号（即抽样信号）的表示式为抽样以后的信号（即抽样信号）的表示式为1抽样信号抽样信号 5.2.15.2.1矩形脉冲序列抽样矩形脉冲序列抽样限带限带信号信号关系关系频谱结构的数学表示频谱结构的数学表示频谱结构频谱结构 2 2举例说明抽样信号与原信号频谱的关系举例说明抽样信号与原信号频谱的关系()()()sss331332213w ww ww ww ww wmmFFnF-=-=LL)3(31)(1 )(21)(1)3(31)(sssssw ww ww ww ww ww ww ww ww ww w-+-=FFFFFF3 3讨论讨论 的影响的影响()td dt t矩形脉冲矩形脉冲理想抽样理想抽样,0不变不变不变不变因为因为ssss ,2 w ww wTT=，离原点越远。，离原点越远。，第一个零点，第一个零点脉冲宽度脉冲宽度=t tt tw wt tt tt tssss22TTT限带限带信号信号1抽样信号抽样信号5.2.2 5.2.2 冲激序列抽样冲激序列抽样()()(mmw ww ww ww w -Ftf()(),w wPtp()()w wss Ftf -=-=)()()()(sssTw ww wd dw wd dd dnnTtttpn -=-=nnTtnTfttftf)()()()()(ssTsd dd d()()()()()()-=-=*=nnFTFttfFFssTTs1 21 w ww ww wd dw wd dw w2 2冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号的频谱3 3几点认识几点认识()()()倍。倍。差差幅度幅度含原信号的全部信息含原信号的全部信息包包时时s ss ss s ,1 1,0 0 1 1T TF FT TF Fn nw ww w=()()()性延拓。性延拓。的周期的周期即即新的频率成分新的频率成分有有为周期的连续谱为周期的连续谱以以w ww ww wF FF F ,2 2s ss s()现原信号。现原信号。滤除高频成分，即可重滤除高频成分，即可重截止频率截止频率为为其增益其增益器，器，若接一个理想低通滤波若接一个理想低通滤波 3 3m ms sc cm ms sw ww ww ww w-理想低通滤波器理想低通滤波器滤除高频成分，即可恢复原信号滤除高频成分，即可恢复原信号由抽样信号恢复原信号由抽样信号恢复原信号()()()()()()thtftfHFF*=ssw ww ww w()=ccs0w ww ww ww ww wTH5.2.3 5.2.3 时域抽样定理时域抽样定理()()。或者说最低抽样率为或者说最低抽样率为，即，即其抽样间隔必须不大于其抽样间隔必须不大于惟一地表示。惟一地表示。可用等间隔的抽样值来可用等间隔的抽样值来的范围，则信号的范围，则信号，若频谱只占据，若频谱只占据一个频带受限的信号一个频带受限的信号mmmmsmmm222121)(fffTftftf=+-w ww ww w重建原信号的必要条件：重建原信号的必要条件：不满足此条件，就会发生不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。频谱混叠现象。奈奎斯特奈奎斯特(NyquistNyquist)抽样频率和抽样间隔抽样频率和抽样间隔。隔隔是必要条件，或抽样间是必要条件，或抽样间抽样频率抽样频率即即msms212 fTff 隔隔”。称为称为“奈奎斯特抽样间奈奎斯特抽样间是最大抽样间隔是最大抽样间隔,21msfT=特抽样频率特抽样频率”称为称为“奈奎斯奈奎斯是最低允许的抽样频率是最低允许的抽样频率 ,2 msff=5.3 5.3 频率混叠效应和信号抽样频率频率混叠效应和信号抽样频率的选择的选择 由时域抽样定理可知，为了保证不因抽样而造成信号信息的丢失，被抽样的信号应是带限的，且要求抽样频率 （）。当这两个条件得不到满足，抽样信号频谱的频谱将由相互重叠的 （）进行叠加而成，如图所示，显然，在这种情况下无论采用什么样的滤波器也不可能从 中完整地提取出原始信号 。这种由于信号在时域上的抽样而造成信号在频域上的频谱混叠称作频率混叠效应。（a）频率混叠效应 （b）频率混叠时信号频谱的畸变二是对被抽样的信号 预先进行抗混叠滤波处理将非带限信号变成带限信号，然后按抽样定理抽样。后一种方法虽然使信号丢失了部分高频分量，但可以有效地保护信号 中低频分量将不因抽样而受到干扰。同时，也可以有效地减少抽样点数。一是提高信号的抽样频率，即缩小抽样周期由于一般信号的高频分量是以大于频率倒数衰减，提高抽样频率但它是以抽取更多的数据为代价的。减小频率混叠效应有两种途径：一次方的对减小频率混叠是很有效的 通常，将旨在减小抽样频率混叠效应的滤波器称抗混叠滤波器，它实际上是一种具有较好截止特性的低通滤波器，一般具有-50-60dB/倍频程衰减。图5.3.2是一个具有-66dB/倍频程衰减特性的截止频率 =5 的低通滤波器。当用这样的滤波器对信号 进行抗混叠滤波时，只要取抽样频率 ，既=15 ，就可以保证信号 不因抽样而使=05kHz的低频分量受到干扰。考察图5.3.2，此时尽管 的频率分量折叠到 的低频段上，但在 =5 的通带之内混入的频率分量已是信号 中为滤波器衰减了-66dB以上的高频分量了。所以认为在=05kHz的频段上不存在混叠。图5.3.2 抗混叠滤波器 从上述分析，当信号有效带宽 已知时，若取抗混叠滤波器截止频率 ，当滤波器具有-50-60dB/倍频程衰减率，那么滤波后的信号以 抽样即可。在实际工作中，选择信号抽样频率 或抽样周期 是一个很重要的问题。盲目地提高抽样频率，不但会给数据采集系统提出一系列苛刻的要求，而付出昂贵的设备经济代价，而且由于采集的数据量大，为后续的数据处理也带来许多困难，如分析处理工作量增大，分析、处理机存贮容量不够等。但是不适当地减小抽样频率 ，又会使已获得的信号产生信息丢失、畸变。5.4 5.4 利用内插从样本值重建信号利用内插从样本值重建信号 所谓内插是一个在样本值之间插值的方法。利用内插从样本值重建信号也就是如何从抽样信号恢复连续时间信号的问题，它是重建某一个函数的过程，重建的结果可以是近似的，也可以是完全准确的。一个理想低通滤波器应对截止频率以下的所有频率成分都能够无失真地通过，而对于以上的频率成分全部衰减掉，即5.4.15.4.1理想内插理想内插 它的单位冲激响应为设抽样信号经过低通滤波器的输出为，则该信号的频谱为变换为时域为由于(5.4.7)所以 上式说明连续时间信号上式说明连续时间信号 可以展开成正交抽样函数可以展开成正交抽样函数 函数）的无穷级数函数）的无穷级数,级数的系数等于抽样值级数的系数等于抽样值。并且为从抽样信号并且为从抽样信号恢复原连续信号恢复原连续信号提供了一个抽样内插函数提供了一个抽样内插函数.被恢复信号 在抽样点的值等于 ，即原信号 等于在相应抽样时刻 上的样本值，而在样本点之间的信号则是由各抽样值的内插函数波形叠加完成。所以，当 通过理想低通滤波器时,抽样序列的每一个抽样信号会产生一个响应,将这些响应叠加就可以完全恢复原连续时间信号。像在式(5.4.7)中那样利用 函数的内插通常称为带限内插。因为这种内插只要 是带限的，并且抽样频率能满足抽样定理，那么就可以实现信号的真正重建。在 的条件下，不满足抽样定理 ,的频谱发生混叠现象，在时域图形中，由于 过大使得冲激响应 函数的各个波形在时间轴上相隔较远，无论如何选择 都不能使叠加以后的波形恢复 。阶梯内插是指在两个抽样点间的任意时刻，恢复信号等于前一个抽样点，并不取决于任何将来值。阶梯内插得到的输出具有阶梯形状，是对原始信号的一种近似。实现阶梯内插的系统就是一个零阶保持系统。图5.4.2示出了零阶保持框图和波形。图5.4.2零阶保持内插5.4.2 5.4.2 零阶保持内插零阶保持内插 由于经过零阶保持系统得到的输出信号 具有阶梯形状，并且 本身可以认为是一种对原信号的近似，是一种很粗糙的近似，因此零阶保持可以看作是在样本之间进行内插的一种形式，内插函数就是冲激响应 。抽样信号 经过冲激响应为 的保持系统后，输出信号 为式中 的傅立叶变换为又因为 所以 （5.4.12）由式（5.4.12）可以看出零阶保持信号 频谱的基本特征是 的频谱以 为周期进行重复，但是要乘以 ，此外还附加了延迟项 。当 的频带受限且满足抽样定理时，为了复原 频谱，需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器（5.4.13）它的幅频特性 和相频特性 曲线如图5.4.3所示。当 通过此补偿滤波器以后，即可恢复原来信号 。从频域上解释，将 和 相乘就可得到 。图5.4.3补偿低通特性 另外，需要注意的是阶梯内插可以把分段常数信号完全地恢复出来。线性内插就是把相邻的样本点用直线连接起来，也称为一阶保持。它是利用内插函数来产生抽样值之间 的线性近似，构成折线状波形。如图5.4.4所示。采用线性内插的情况下，要重建的信号是连续的，尽管它的导数不一定连续。图5.4.4线性内插5.4.35.4.3线性内插线性内插线性内插使用的内插函数是三角形脉冲，表达式为（5.4.14）它的傅立叶变换为（5.4.15）抽样信号 作用于冲激响应是 的系统后，输出信号 为变换为频域得（5.4.17）由式（5.4.17）可以看出一阶保持信号 频谱的基本特征是 频谱以 周期重复，但是要乘以 。当 的频带受限且满足抽样定理时，为了复原 频谱，需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器（5.4.18）当 通过此补偿滤波器以后，即可恢复原来信号 。在更为复杂的内插公式中，样本点之间可以用高阶多项式或其它的数学函数来进行拟合。5.5 5.5 频域抽样定理频域抽样定理的冲激序列应满足设连续时间信号对应的频谱为。若在频域中被间隔为那么抽样以后的函数抽样，其中对应的时间函数为根据时域卷积定理得所对应的时间函数 表明若的频谱被间隔为的冲激序列抽样,所得到的信号在时域中表现为以为周期进行重复。相相乘乘卷卷积积频域抽样定理频域抽样定理由于在频域中对进行抽样，等效于在时域中重复形成周期信号间隔不大于抽样频谱并且可利用矩形脉冲选通信号，从周期信号中选出单个脉冲来恢复。，所以只要抽样在时域中信号波形就不会发生混叠，能够完全保留原信号频谱的信息，5.6 信号的截断与时窗 按频域抽样定理的要求，信号必须是时限的。否则，当对信号的频谱抽样时，将会出现时域波形的混叠，如图5.6.1所示。这种混叠现象也出现在对时限信号频谱抽样、抽样周期 的条件下(为时限信号持续的时间)。它是由于频率抽样不足产生的误差在时域中的反映，如图5.6.1(c)所示,由于波形的混叠，从抽样后信号 中已不可能恢复出原始信号 了。图5.6.1 频域抽样引起的时域波形混叠 为了减小因频域抽样而产生的时域波形混叠，一种途径是提高抽样频率，即减小频率抽样周期 ，这意味着在频域要采集更多的数据。另一种途径是对原始信号 加以截取、变成时限信号，再按频域抽样定理对其抽样。图5.5.2(a)的信号 ，当从 将其尾部截去，就是图5.5.2(b)所示的信号 。此时，按抽样定理取 对它的频谱 抽样，便可消除时域上波形的混叠，从而可保证 区间上 波形可无失真地得到恢复。上述信号的截断，实际上是用下述的矩形函数与信号 相乘，即相当于通过一个“时间窗”观察 ，因此又将 称作时窗函数。值得注意的是，由于截断使得信号丢失了一部分信息，将截断信号 的频谱 同原始信号 的频谱 相比，如图5.5.2所示，这种信息的丢失反映到频域上，频谱的波形变“皱”了，故又称“皱波”效应。皱波效应的产生是不难理解的，将（5.6.2）式转换到频域，则截断后信号的频谱为 对于图5.6.3所示的余弦信号的截断，在频域上 与 卷积的结果，如图5.6.3(c)所示，使得原来集中在 处的频率分量呈现出向两侧“泄漏”的状态。因此，皱波效应又称频率泄漏效应。图5.6.3 频率泄露效应 从(5.6.3)式看出，减小频率泄漏效应除了增大截断时窗窗宽之外，还可以选绎合适的时窗函数 ，使时窗函数的频谱 ，具有尽过能窄的主瓣(如图5.6.3(b)上对应 的部分)和相对主瓣具有幅值尽可能小的旁瓣，从而使截掉后信号 的频谱与原始信号 的频谱有最佳的近似。下面介绍时窗函数的设计。对一个时窗的设计，对主瓣和旁瓣的上述要求是相互矛盾的，即主瓣窄的时窗总是对应着幅值较大的旁瓣，而旁瓣幅值小的时窗又总是具有较宽的主瓣。所以选择和设计时窗时只能在主瓣和旁瓣要求方面进行某种折中。一般地讲，矩形时窗并非是好的时窗，因为它具方较大幅值的旁瓣。在图5.6.4上给出了几种常用的时窗。由于时窗函数均是偶函数，故在图上只画出了时窗和它频谱的右半边。图5.6.4 典型时窗(a)时窗 (b)时窗的频谱 下面介绍几种典型时窗的函数形式：1)巴特莱特窗（Bartlett Window）巴特莱特窗是一个三角形窗函数，有上式中，为时窗宽。2)汉宁窗（Hanning Window）3)海明窗（Hamming Window）4)帕森窗（Parzen Window）帕森窗是由三角窗按下述的卷积得到的这些窗函数在的滤波器设计经常用到。5.7 连续时间信号的量化 在实际应用中，许多情况下首先把一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，然后对其进行处理，处理完以后再把它转换为连续时间信号。这种处理方式有一个显著的优点，就是可以借助于各种微处理机或任何面向离散时间信号的装置来完成。连续时间输入信号 首先通过一个连续时间的前置取样滤波器，以保证输入信号 的最高频率限制在一定数值内，然后在模拟/数字转换器（）中每隔 （抽样周期）读出一次 的抽样值，对此抽样值进行量化。量化的过程是将此信号转换成离散时间离散幅度的多电平信号。从数学角度理解，量化是把一个连续幅度值的无限数集合映射到一个离散幅度值的有限数集合。在进行 转换时，必须把取样电压表示为某个规定的最小数量单位的整数倍。所取的最小数量单位叫做量化单位，用 表示。显然，数字信号最低有效位（）的1所代表的数量大小就等于 。把量化的结果用代码（可以是二进制，也可以是其他进制）表示出来，这个过程称为编码。这些代码 就是转换的输出结果。既然模拟电压是连续的，那么它就不一定能被 整除，因而量化过程不可避免地会引入误差，这种误差称为量化误差。将连续时间电压信号划分为不同的量化等级时通常有图5.7.1所示的两种方法。图5.7.1 信号的量化 例如要求把01V的模拟电压信号转换成3位二进制代码，则最简单的方法是取 ，并规定凡数值在0 之间的模拟电压都当作对待，用二进制数表示；凡数值在 之间的模拟电压都当 作对待，用二进制数000表示，等等，如图5.11（a）所示。不难看出，这种量化方法可能带来的最大量化误差可达 ，即 。为了减小量化误差，通常采用图5.11(b）的改进方法划分量化电平 。在这种划分量化电平的方法中，取量化电平,并将输出代码000对应的模拟电压范围规定为0 V，即0 ,这样可以将最大量化误差减小到 。因为将每个输出二进制代码所表示的模拟电压值规定为它所对应的模拟电压范围的中间值，所以最大量化误差自然不会超过 。当输入的模拟电压在正、负范围内变化时，一般要求采用二进制补码的形式编码，二进制的最高位通常为符号位。模拟信号的取样、保持、量化以及转化为二进制的过程总称为模数转换（转换）。当然量化越细，量化电平数越多，固然误差减小，但设备复杂，成本变高。一般情况下，信号的动态范围应与 转换器相适应，所用位数应满足精确度的要求。图5.7.2数字信号过程波形图 经转 换器后，在时间和幅度上都量化了的信号称为数字信号。它本质上是一序列的数，为此，我们用 来表示数字信号序列，自变量是n一个整型变量，它表示这个数在序列中的次序，如图5.12(d)所示，图中用一根线段来表示数值 的大小。通常，数字信号序列 按一定要求需要在数字处理器中进行加工。例如通过利用数字滤波器可以达到滤除掉所有不必要的频率成份，数字滤波器利用数字相加、再乘以常数和延时将输入数列按既定要求转换成输出数列，达到处理的目的。数字处理器可以是通用计算机，微型计算机，或专用和通用信号处理器。经数字处理器加工以后，将转换为另一组输出序列 见图5.7.2（e），此输出序列再经数模（）转换器后，会将数码反转变换成模拟电压（或电流），如图5.7.2(f)所示。