关注数学表达促进有效教学

关注数学表达关注数学表达 促进有效教学促进有效教学立足平凡，享受超越立足平凡，享受超越引言：数学思维之数学表达引言：数学思维之数学表达数学思维三个环节：视域、表达、理解；米山国藏：数学是“人类思想表达的经济化”数学精神、思想与方法；张景中：提高数学素养，重视数学思维；斯托利亚尔：数学教学也就是数学语言的教学；（数学表达是数学思维的细胞）黑格尔：越是熟悉的东西，越是不知道的东西！（一般地、显然、不难得到-）一一.数学的表达方式数学的表达方式界定视域在讨论问题时，习惯于确定性思考，强调定义，强调问题存在的条件。这是数学活动的表达方式之一。推理表达合情推理与演绎推理。日常语言与数学特有的符号语言是其主要的表达形式，在表达中既是内在的也外在的。表达中介指数学思维与数学推理发展序列的中间环节，表达的是数学思维不同阶段的过渡。如：一般地、显然、不难得到等等。三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释1.一般地(综上、一般的-）表达功能：用于数学抽象过程的概括性提示.“一般地”是合情推理由具体到抽象、特殊到一般的特征性表述.教学思考：“一般地”常常在数学定义的描述中呈现.教学重点不是定义，而是数学抽象过程，是数学对象的“不变性”概括性表述.既然是“一般地”，还要关注“概括”中的“不一般”的.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释2.当表达功能：用于表述数学的特称命题，常用于数学的分类讨论.教学思考：用“当”表述数学推理，一般用于问题的分类处理，那么寻求分类的标准是教学的重点.寻求“标准”的过程是合情推理的过程.教学的难点是演绎推理过程中“标准”的同一性与清晰性.例例4.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释3.不难发现表达功能：用于数学直观推理、直观猜想.教学思考：“不难发现”常用于几何直观、数列猜想.虽然表达的内容比较浅显，但不是对所有的学生都感到“自明性”，要问“可靠吗？”理性判断是必须的.例如，根据函数的图像判断函数的单调性，就要追问可靠性.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释4.任取（一个点、一个值-）表达功能：处于数学推理过程中的变项的确定性表达.这种表达呈现的是数学推理的简约性.教学思考：教学的困难在于“任取-”的必要性与必然性的揭示.“任取-”是思维过程的浓缩、是变化性的确定性把握、是无限性与有限性的辩证统一.数学的魅力就在于通过变项的设定，有效地“控制”事物无限的变化.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释5.当且仅当-表达功能：逻辑用语，表达充要条件.教学思考：“当且仅当”表述的命题其原命题与逆命题均为正确的，一般均需要证明，不可顾此失彼.数学定义“当且仅当”是幕后的；数学定理“当且仅当”是前台的.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释6.设x=-表达功能：变量代换.教学思考：变量代换是一种思维的转化机制.换元法、整体代换、构造性.等价性是基础.本质上是建立新的一种映射.代换来自合情推理.演绎推理要满足同一性.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释7.不妨设-表达功能：表达命题的等价化归与转换.教学思考：“不妨设”不是心血来潮，而是演绎推理前的合情推理的结果.教学的重点是“不妨设”的前思维过程，重在分析问题的等价性特征，形成预期的等价性命题.问题：教师简单化处理，学生冷漠性对待.三三.数学基本数学基本“表达中介表达中介”诠释诠释8.显然-表达功能：表达思维的直觉或者简单的推理，或者通常认为熟知的数学结论.教学思考：“显然”的内容具有反思与领悟的空间，也具有非常大的迷惑性.“显然”不同群体在认识上具有相对性.“显然”也是一部分教师回避问题的“杀手锏”.主题延伸主题延伸发现感发现感数学活动需要经验。好的经验其价值在于渗透到未知的、未经验到的东西中去。演绎推理关注封闭的数学事实，我们的数学活动则是在发现的经验中渡过的。一当我们失去了发现感，我们的心灵就会失去数学思维的鲜活方式。善于发现才能克服思维定势，才能使我们的数学经验不至于沉落成协调的雕虫小技的枯燥积累。结束语：结束语：体验平凡的力量，享有教育是智慧体验平凡的力量，享有教育是智慧.数学教育说不完的“任取”，道不尽的“假设”，理不清的“不妨”，讲不服的“显然”，玩不够的“X”-数学教育的魅力就在这 平凡的“故事”中.