等离子体物理学二

等离子体物理学（二）李毅2011.10等离子体中，电场、磁场、速度、密度、压力、温度等任何一个物理量 一般会随空间和时间变化。扰动量原则上它可以分解为各个平面波的叠加，即：其中 为波的幅度，是物理量的Fourior分解：对于其中任意一支平面波来说，k为波矢，w为频率。这里我们用复数来表示波是方便的，取其实部就是实际的值。等离子体中的线性波波的速度可以用相速度和群速度来描述。相速度是波在保持相位不变的情况下的运动速度。相位为：相位不变的条件下：得到相速度：波的相速度波的群速度描述波包整体运动的速度，而波包是由满足一定色散关系的各种频率的波组成。假设该波包的色散关系为只有频率满足此关系的波才存在，可以表示为：因而由式积分，在波沿x方向直线传播情况下得：波包假设波包的主要波数为k0，对应的频率近似有：其中群速度定义为：代入可得：可见波包的包络以群速度vg的速度前进。波的相速度可以超过光速。但群速度一定不能超过光速，因为群速度可以传递信息和能量，否则会违背爱因斯坦的狭义相对论原理。波的群速度一支波沿x方向传播，在y、z两个垂直方向上，电场矢量的分量Ey和Ez一般可以表示成：其中，Ey0和Ez0，a，b均为常数。在yz平面上的电场分量满足：波的旋转与偏振这表明，电场矢量端点在yz平面内的轨迹是椭圆（二次曲线中只有椭圆离原点距离有限），因而是椭圆偏振。特殊情况下，可以是线偏振（a=b或|a-b|=p），偏振方向与y轴夹角为也可以是圆偏振（Ey0=Ez0且|a-b|=p/2）。当 a-b=p/2 时，例如a=0 而 b=-p/2，此时随着波沿着x方向前进，相位增加，E矢量做右手旋转。所以是波是右旋的。波的旋转与偏振当 a-b=-p/2 时，例如，当 a=0 而 b=p/2 时：随着波沿着x方向前进，E矢量按左手旋转。所以这时波是左旋的。一般情况下，不妨取|a-b|p，当a-b 0时，是右旋；而a-b0 时，是左旋；a-b=0或p时，是线偏振。波的旋转与偏振xyz将等离子体中的扰动作Fourior分解，也即化为多个平面波的线性叠加。如果方程组是线性的，对于所有满足方程组的平面波来说，其线性叠加也满足方程组。因此，从研究最简单的平面波入手，我们就可以研究扰动在等离子体中的传播和发展。方程组中的非线性项应该被忽略，这是由方程的线性特性所决定的。另外，非线性项都是二阶或二阶以上的小量，在解线性波动问题时，可以忽略。波的线性化和平面波分解一般来说，对于等离子体中的波动来说，其频率和波长有一定的对应关系。或者说，对于一个给定的频率，只有对应波长的波动才能存在。这种对应关系即为波的色散关系：波的群速度的计算需要用到波的色散关系：更重要的是有了色散关系，就知道了初始的扰动 在随后的发展变化：线性波的色散关系 等离子体中，电子的运动会引起电荷分离，使得等离子体偏离电中性，从而产生静电场。在这个静电场的作用下，电子会改变运动状态，力图使等离子体恢复电中性，但是在等离子体恢复了电中性之后，电子仍然具有一定的动能，其运动又会使等离子体产生非电中性。我们称电子的这种振荡为电子静电波，也叫Langmuir波。这种波维持了等离子体的准电中性。电子静电波在冷等离子体中，这种波动可以用一维方程组描述：将方程组进行线性化和平面波分解，得到方程组：冷等离子体中的电子静电波经过化简成为：这表明，如果要 ，即波动存在，必须有在电子热压力不可忽略的情况下，方程改写为这里g为多方指数，而对于电子做1维运动的电子静电波情况，取 g=3。而对于普通电子做3维运动的情况，取我们熟知的 g=5/3。电子静电波的频率方程组经过线性化和平面波分解，成为：得到色散关系，也即这组方程存在非0解的条件为：这里vse是电子的声波速度。热等离子体中的电子静电波在 的冷等离子体近似的条件下，回到冷等离子体时的电子静电波色散表达式，此时对应的Langmuir波的群速度为0，因而是不传播的局域震荡。而在热等离子体中，Langmuir波的群速度与电子热运动速度可达同样的量级，类似于电子压力引起的纵波。电子静电波的频率必须不小于电子等离子体频率 wpe，通常这是较高的频率。在这个频率下，离子由于其质量远大于电子质量，它来不及响应这么高的频率变化。其运动可以忽略。热电子静电波的讨论对于长波情况，色散关系可近似为其群速度远小于电子的热速度vthe：对于短波情况，当 时，群速度为 与电子热速度相当，这时会产生强烈的波与电子的相互作用，需要用动力学才能加以研究。热电子静电波的讨论离子的运动可以产生频率较低的波动。在研究较低频率的等离子体波动时，需要同时考虑电子和离子的运动（其中，a代表等离子体中的所有粒子，即电子和各种离子）：考虑离子成分时的静电波将以上做过线性化和平面波分解之后的方程组再进行消元化简，得到色散方程：其中wpa和vsa分别是a类粒子对应的等离子体振荡频率和声速。由于离子质量远大于电子质量，则因此在高频时wwpe，色散关系公式中的求和的各项中，离子项远小于电子项，因而可以忽略。只保留电子项，此色散关系回到电子静电波的色散关系式。考虑离子时的静电波色散关系考虑低频情况（为简化分析起见，不妨假设只有一种氢离子成份）。离子声波：对于低频长波，klDe1，色散关系公式中的电子项和离子项均远大于1（因为它们的分母均很接近于0），因此可以忽略第一项（常数1），得到离子声波色散关系：离子声波这很像在普通气体中传播的声波。由于波长很长，在这种长尺度条件下等离子体可以很好地保持电中性，因此引起的扰动类似于中性气体中产生的压缩波。但由于离子和电子必须保持电中性，当离子运动时，电子必须跟随，两者牢牢地结合在一起。这时电子的压力影响也通过这种结合传递给离子，即使离子温度为0，因为有电子压力的存在，也可以产生离子声波。事实上，在以后的动力论中我们知道，如果离子热运动速度与离子声波的速度相当的时候，会产生阻尼现象，离子声波不能存在，因此离子声波大多在Tivs情况vAvA情况下，可忽略位移电流，与MHD结果一致。平行传播的右旋圆偏振波右旋圆偏振波。色散关系为：偏振关系为右旋圆偏振：频率较高时，右旋圆偏振波的色散关系又能写为截止频率为（也是垂直传播的X模的截止频率）平行传播的右旋圆偏振波讨论 接近电子回旋频率、波长较短时，是电子回旋波：在电子回旋频率上共振。共振时，电子可持续从右旋圆偏振波中获得或失去能量。频率极低时，成为右旋圆偏振Alfven波：在cvA情况下，可忽略位移电流，与MHD结果一致。哨声波 右旋偏振波在频率远低于电子回旋频率但又远高于离回旋频率时，成为哨声波：它的群速度为会随着频率升高：当扰动发生时，高频成分的波群速度较快，会先被观测到，而低频成分的波随后才能被观测到。在地球表面，雷电引起的电磁脉冲扰动在电离层激发低频的哨声波，可以收到沿地球磁场传播到另一端，可以听到由高到低的类似哨声的信号。Alfven波 线性的Alfven波是左旋和右旋圆偏振波的叠加：反之，圆偏振波也能看成是两个相互垂直、相位差为90度、振幅相同的线偏振波的叠加。左旋或右旋圆偏振Alfven波，线偏振Alfven波，它们都具有相同的色散关系。Alfven波是沿磁场传播的左旋和右旋偏振波的低频长波极限情况。在频率趋于0时，波数k也趋于0，但与普通的截止情况不同，这不是通带与阻带的分界点。平行磁场和垂直磁场传播的波的色散关系图kww=kcWeWikww=kcwHHwLHwRwLw=kvAwRwLwpew=kvAkB0k|B0哨声波离子回旋波电子回旋波电磁波X模O模AlfvenAlfven电磁波X模高混杂低混杂法拉第旋转高频电磁波在等离子体中沿磁场传播时，左旋的波和右旋的波遵守不同的色散关系，他们的相速度也不同。假设初始时一个线偏振的电磁波，可以分解为 左 旋 波 和 右 旋 波 的 叠 加。设 电 磁 波 在 z=0处 为 ，则在等离子体中传播之后，波场为这两支波在等离子体中传播相同一段距离之后，由于旋转的角度不同，从而两者叠加之后的线偏振波的偏振方向就会有所改变。法拉第旋转其中，kL和kR分别是左旋波和右旋波的波矢，记：则可知角度j即为偏振方向转动的角度。而：在磁场已知的情况下，可以用测量电磁波偏振方向的旋转角度来得到等离子体的密度。法拉第旋转当等离子体密度随空间变化时，可以测量等离子体电子密度的线积分：电离层电子密度的线积分是地球空间物理的一项重要的探测内容。动理论波动理论动力论方程是描述等离子体分布函数的变化的。对于处理热效应、波与粒子相互作用、多种速度成分的带电粒子等现象时，用磁流体力学的描述显然是不全面的，这时应该选用动力论来处理。对于波动的问题，磁流体描述适合于冷等离子体，且波与粒子相互作用较弱的情况，除此之外，用动力论方程来研究波动问题更加准确全面，且能得到一些流体的波动理论中没有的结果。对于空间等离子体，无碰撞的Vlasov动理论方程为：一维静电波动考虑一维静电波扰动，线性化之后为：注意此时v仅仅是坐标变量，它不是1阶小量。经Fourier变换解得：色散关系为：一维静电波色散方程考虑长波，k很小，相速度很大，展开：取平衡时的分布函数为Maxwellian分布：进而色散方程为：积分展开项因对称性，只有偶次项积分不为0：应用定积分公式：及 ，递推得 因此主值积分的结果取头两项，并考虑主要是电子的贡献，则：进一步近似可得：这个结果和流体理论得到的色散关系完全一致。而朗道认为，以上运算过程中，积分存在奇点问题，即在速度等于波的相速度时，积分的分母为0。以上的处理方法只是主值积分，正确的计算需要沿着奇点下方的路径进行。朗道积分围道如果按照朗道指出的路径积分，结果为：这时，w不再为实数，而是含有虚部的复数。一般对于形如其中虚部是小量，则这里下标r、i对应为实部和虚部。Im(v)Re(v)积分围道朗道阻尼率应用到此处，可以得到电子静电波的阻尼率：至于为什么要使用朗道围道进行积分，还需要从问题本来的物理过程看。静电波动的物理过程如果最初有扰动，可以对Vlasov方程进行时间t的Laplace变换求得以后的扰动电场，而不是做Fourier变换（空间上仍然做Fourier变换）：积分可得代入电场方程朗道围道的数学解释可解出电场：经Laplace反变换这里s是充分大的实数，使得所有积分奇点都在积分线路的左边。而这些奇点（使分母为0）就是经过对应 之后的色散方程。而s是充分大的条件对应于色散方程对速度 v 的积分中，奇点 具有充分大的虚部，因此积分是从奇点下方通过的。朗道阻尼的物理解释有趣的是，朗道阐明了要解决这个物理问题，积分围道需从下方绕过，才能满足数学上的要求。而一些数学家则认为这种做法只是纯数学的东西，没有物理意义。直到后来实验和模拟都证实了朗道阻尼的存在，朗道的处理方法才被普遍的接受。从物理上看，朗道阻尼其实是波与电子的共振相互作用。当电子的运动速度与波的相速度相差不大时，电子就被波的势阱捕获，从而与波一起运动。开始时速度小于波速的粒子得到加速，而开始时速度大于波速的粒子被减速，最后被捕获的粒子平均速度都与波的速度相同。朗道围道的物理解释对于Maxwellian分布，运动速度在波速附近的粒子中，速度慢的比速度快的粒子更多。从而获得加速的粒子多于减速的粒子。总体看来，波失去能量而粒子获得能量。波的幅度就会逐渐减小，形成阻尼。f(v)v通行粒子和波的势阱中捕获粒子被波加速的粒子（绿色）和被波减速的粒子（蓝色）磁化等离子体中波动的动理论设磁场沿z方向，而波矢为：对于动力论方程线性化之后在速度空间的柱坐标系 中，有磁化等离子体波中的分布函数对于Maxwellian的初始分布：代入得解此微分方程：其中，磁化等离子体波中的分布函数利用Fourior展开式：以及此式对 q 和 b 的偏导：可积分得其中，c是对q积分产生的常数，虽然它可以是 的函数，但由于对q 必须有 2p 的周期，应该取为0。动理论伯恩斯坦波利用Fourior展开式：动理论伯恩斯坦波是磁化等离子体中的电子静电波。对于静电波，电场满足：为求色散方程，做k空间的平面波分解，得在对速度空间的q做一个周期的积分之后，的项积分为0，对求和只有 一项不为0。动理论伯恩斯坦波因而化简为：利用定积分公式：这里 In()是n阶修正Bessel函数。进一步得 其中 垂直磁场传播的静电波 考虑垂直磁场传播的静电波，此时，色散方程为：利用 的性质化为在极限情况下，用此考察色散关系的极限情况。垂直磁场传播的静电波因此，在 的极限下，有在 的极限下，有这是动理论伯恩斯坦波。w/Wkwhh/W12345斜向传播的静电波若 ，色散方程中，积分会出现奇点。如同朗道阻尼的处理，需要用朗道围道做积分。即在满足共振条件的情况下，色散方程中会出现虚部。化简其中，是等离子体色散函数。斜向传播的静电波等离子体色散函数的定义如下：其中，s=0,1,2 分别对应着积分围道取从奇点之上（对应于主值积分），穿过奇点，以及从奇点之下穿过（朗道围道）。伯恩斯坦波没有阻尼，而对于斜向传播的静电波，可产生阻尼。等离子体的平衡平衡时，等离子体不运动，满足这表明，磁力线和电流线都是在等压面内。（是沿着等压面的法线方向，j和B都与它垂直，因此他们都平行于等压面）对于平直的磁力线，在垂直方向，有对于柱等离子体，由于对称性，等压面就是柱的同心圆面。磁场既有轴向也有径向分量：jB柱形等离子体的平衡柱对称平衡时，磁力线具有一定的曲率：其中因而，径向的平衡方程为：无力场的平衡在低b等离子体中，磁场力占主导地位，热压力梯度力可以忽略不计。平衡时，必须电流与磁场平行，满足：其中a为常数时，是线性无力场，系统达到整体势能最小的平衡状态。做旋度，得Helmholtz方程：可分别解其中的三个分量。太阳低日冕中常用无力场模型。当a不为常数时，是非线性无力场，求解更困难些。平衡系统的MHD不稳定性 MHD不稳定性能量原理：假设系统中的等离子体各处都有微小位移，如果系统整体的能量有所上升，则系统处于稳定平衡状态，反之，则不平衡。如图所示：设位移速度可以表示为位移之后势能增加，系统稳定位移之后势能减小，系统不稳定扰动对系统的影响 连续性方程得到：作为随体运动，从绝热方程得到从磁场冻结方程得到从牛顿方程得到由于F与x x成正比，系统能量的变化为系统能量的变化其中：注意到 ，即磁场与边界面平行，否则等离子体会沿着磁力线运动，边界无法静止。因而扰动满足的边界条件在边界两边总压力是一样的，即考虑到扰动时，其随体的变化为：在等离子体和真空的边界，在跟随等离子体运动的坐标系中，电场切向分量连续，且都为0，即知边界附近的真空中其中运用了磁场与边界面平行的边界条件。上式可简化为并注意到真空的表面和等离子体的表面的矢量方向相反，且真空中没有电流，即 金属壁包围等离子体的系统运用 化简，上式中，在完全导电的金属壁上，电场切向分量为零，因此在真空中的金属壁边界附近因此可以不考虑真空与金属壁边界面上的积分。系统能量的变化的各项最后化简能量公式得分析式中各项的作用，第一项总是正的，起稳定作用。等离子体形变时，引起真空区间的磁场变化，而真空中的磁场本来处于能量最低状态，任何改变真空磁场状态的变化都要花费能量，因此这项抑制等离子体形变。系统能量的变化各项的作用第二项，如果从等离子体到真空时，总压力（磁压加动压）增大，则这项为正，起稳定作用，反之则是起不稳定作用。因此要想稳定，需要真空中的磁压力要越来越大。第三项，是等离子体内部的磁场起的稳定作用。第四项，经常引起不稳定，即电流驱动的不稳定性。第五项中的前一部分，常常引起压力不均匀导致的不稳定性，后一部分总是正的，是等离子体的可压缩性提供的稳定作用（对于不可压缩等离子体，这项为0）。交换不稳定性普通流体中的Rayleigh-Taylor不稳定性，在等离子体中表现为交换不稳定性。以磁场来平衡等离子体所受到的非电磁力（例如重力），就可能会出现这种不稳定性。设想磁通相同的两束相邻的流管1与2，交换过后体积互变，体积改变的同时，压力变化满足绝热条件，以流管1为例，体积由V1变为V2，压力从P1变为P1，设内能的表达式为交换不稳定性交换之后，内能变化为交换不稳定性由于上式中的第一项总是正的，因此不稳定性仅在于当第二项小于0时才有可能出现。考虑等离子体边界处，等离子体通量管和它相邻的真空通量管交换时，总有dP0，因此稳定条件为dV0，即同样磁通量的真空通量管的体积比相邻的等离子体通量管小，因此式中，F是磁通量，B是磁场强度。Rayleigh-Taylor 不稳定性考虑有重力的情况，在垂直方向（y方向），流体密度不均匀，且上面的流体密度大于下面的密度，可以引发Rayleigh-Taylor不稳定性。设初始扰动：且流体是不可压缩的，即考虑系统扰动之后的受力变化为：Rayleigh-Taylor 不稳定性将方程做旋度运算以便消去压力项，并注意到平衡时的0阶密度只与y有关，则利用不可压缩条件消去得到 在每一种介质里面，密度是常数，方程变为：xykRayleigh-Taylor 不稳定性在边界y=0附近区间对原方程积分得到 若上面的密度大于下面的密度，则得到虚的频率，引发不稳定性，其增长率为 对于有磁场的情况，注意到磁场散度为0，以及边界处磁场法线方向分量为0，因此B0y=0，磁场只有x和z分量。Rayleigh-Taylor 不稳定性旋度作用后的受力方程中增加磁场力一项为 而而代入下式：Rayleigh-Taylor 不稳定性因此，或同样在分界面附近积分，得到频率的表达式：磁场项永远不小于0，在这里起稳定作用。直观地看，磁力线有张力而趋于平直，它与等离子体冻结，起固定等离子体的作用，抑制不稳定性。柱形等离子体不稳定性假设等离子体离开平衡位置的位移可表示为：且等离子体是不可压缩的，即考虑柱形等离子体内部磁场和压力是均匀且电流存在于等离子体柱表面的情况，内部磁场外部磁场受力方程为柱形等离子体不稳定性记总压强：保留一阶扰动小量时而从磁感应方程及不可压缩条件式可知 进而可得取散度，由不可压缩条件可得柱形等离子体不稳定性化为Bessell方程：可解得满足r=0处有限的解：这里Im(x)是修正Bessell函数。对压力梯度式取方向分量，可得柱形等离子体不稳定性在等离子体外部，因为没有电流，故磁场可以用势场表示：因为磁场的散度总是为0，即有 同样满足与类似的Bessell方程，其解为在无穷远处为0，在这个边界条件下，这里Km(x)是修正Bessell函数。因而，柱形等离子体不稳定性等离子体内部和外部的扰动场现在都已经知道，还需要用边界条件将他们联系起来，考虑等离子体内外的边界上的连续条件，一个是压力平衡，即 化为 由于在边界两边磁场的法向分量（即这里的径向分量）连续，则可知这是第二个边界上的连续条件：柱形等离子体不稳定性即对于此式，结合前面的表达式，可以解得：讨论：右式中的各项，若大于0，则起稳定作用，若小于0，则起不稳定作用。右式中的第一项，内部的z方向磁场存在，使得磁力线尽量延z方向伸直，对圆柱起稳定作用。右边第二项，由于 而 因而也总不小于0的，起稳定作用，只有在扰动与磁力线同步时，这一项才为0，此时，不稳定性最容易发生，即产生螺旋不稳定性。腊肠不稳定性发生在 。此时，稳定性判别式为 由于 的极大值为1/2，故稳定性条件是 直观看来，当等离子体柱的半径变化时，内部场因磁通量不变，与横截面面积成反比，即 而外部场当柱的半径变化时，内部磁压强、外部磁压强变化为腊肠不稳定性稳定条件为即可化为与我们之前推导一样的结果：M=0M=1M=2扭曲不稳定性发生在 。此时，稳定性判别式为 对于短波，ka较大的情况，稳定性可以保证；但对于长波情况，此时，两类修正Bessell函数的近似表达式为：扭曲不稳定性特别地在长波极限下，近似有：因此，对于长波扰动，B0z为0的情况总是不稳定的。对于有足够大的 的情况，最容易产生不稳定性的依然是的长波情况。此时，等离子体柱弯曲时，内侧磁场变强，加剧弯曲，而纵向磁场B0z起着阻止弯曲继续加大的趋势，起稳定作用。扭曲不稳定性利用修正Bessell函数的近似展开式 可得：对于不同的k，频率取得的最小值为