高数-微分方程总结

1 基 本 概 念一 阶 方 程 类 型1.直 接 积 分 法2.可 分 离 变 量3.齐 次 方 程4.全 微 分 方 程5.线 性 方 程 可 降 阶 方 程线 性 方 程解 的 结 构二 阶 常 系 数 线 性方 程 解 的 结 构特 征 方 程 的 根及 其 对 应 项f(x)的 形 式 及 其特 解 形 式 高 阶 方 程待定系数法 特 征 方 程 法一 、 主 要 内 容6.伯 努 利 方 程 2 微 分 方 程 解 题 思 路一 阶 方 程高 阶 方 程 分 离 变 量 法全 微 分 方 程常 数 变 易 法特 征 方 程 法待 定 系 数 法 非全微分方程非变量可分离降阶作变换 作 变 换 3dxxfdyyg )()( 形 如 (1) 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程解 法 dxxfdyyg )()( 分 离 变 量 法1、 一 阶 微 分 方 程 的 解 法 )(xyfdxdy 形 如(2) 齐 次 方 程解 法 xyu作 变 量 代 换 4 )()( xQyxPdxdy 形 如(3) 一 阶 线 性 微 分 方 程,0)( xQ当 上 方 程 称 为 齐 次 的 上 方 程 称 为 非 齐 次 的 .,0)( xQ当 齐 次 方 程 的 通 解 为 .)( dxxPCey（ 使 用 分 离 变 量 法 ）解 法 5 非 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 为 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( （ 常 数 变 易 法 ）伯 努 利 (Bernoulli)方 程 nyxQyxPdxdy )()( 形 如 )1,0( n方 程 为 线 性 微 分 方 程 .时 ，当 1,0n 方 程 为 非 线 性 微 分 方 程 .时 ，当 1,0n 6 解 法 需 经 过 变 量 代 换 化 为 线 性 微 分 方 程 ,1 nyz 令 .)1)( )()1()()1(1 CdxenxQezy dxxPndxxPnn 0),(),( dyyxQdxyxP 其 中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( 形 如(4) 全 微 分 方 程 7 xQyP 全 微 分 方 程注 意 ：解 法 yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0,),(),( 00 0 xdyxPdyyxQ xxyy .),( Cyxu 用 直 接 凑 全 微 分 的 方 法 .通 解 为 8 (7) 可 化 为 全 微 分 方 程 ).( xQyP 非 全 微 分 方 程 0),(),( dyyxQdxyxP形 如 若 0),( yx 连 续 可 微 函 数 ， 且 可 使 方 程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成 为 全 微 分 方 程 .则 称 ),( yx 为 方 程 的 积 分 因 子 . 9 公 式 法 : )(1 xQyPQ 若 )(xf ;)( )( dxxfex则)(1 yPxQP 若 )(yg .)( )( dyygey则观 察 法 :熟 记 常 见 函 数 的 全 微 分 表 达 式 ， 通 过 观 察直 接 找 出 积 分 因 子 10 常 见 的 全 微 分 表 达 式 2 22 yxdydyxdx xydx ydxxdy 2 xydyx ydxxdy arctan22 xydxy ydxxdy ln )ln(21 2222 yxdyx ydyxdx yx yxdyx ydxxdy ln2122可 选 用 积 分 因 子 .,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx 11 3、 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 的 解 法解 法 ),(xPy 令特 点 .y不 显 含 未 知 函 数 0),()2( )()1( nn yyxF 型)()1( )( xfy n 接 连 积 分 n次 ， 得 通 解 型解 法代 入 原 方 程 , 得 .0)(),(,( xPxPxF ,Py 12),(xPy 令 特 点 .x不 显 含 自 变 量0),()3( yyyF 型解 法代 入 原 方 程 , 得 .0),( dydpPPyF ,dydpPy 、 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构（ 1） 二 阶 齐 次 方 程 解 的 结 构 : )1(0)()( yxQyxPy形 如 13 定 理 1 如 果 函 数 )(1 xy 与 )(2 xy 是 方 程 (1)的 两 个解 ,那 末 2211 yCyCy 也 是 (1)的 解 .（ 21, CC 是 常 数 ）定 理 2： 如 果 )(1 xy 与 )(2 xy 是 方 程 (1)的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 , 那 么 2211 yCyCy 就 是 方 程 (1)的 通解 .（ 2） 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 的 解 的 结 构 :)2()()()( xfyxQyxPy 形 如 14 定 理 3 设 *y 是 )2( 的 一 个 特 解 , Y 是 与 (2)对 应 的 齐 次 方 程 (1)的 通 解 , 那 么 *yYy 是 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 (2)的 通 解 . 定 理 4 设 非 齐 次 方 程 (2)的 右 端 )(xf 是 几 个 函 数 之 和 , 如 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 而 *1y 与 *2y 分 别 是 方 程 , )()()( 1 xfyxQyxPy )()()( 2 xfyxQyxPy 的 特 解 , 那 么 *2*1 yy 就 是 原 方 程 的 特 解 . 15 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn 形 如 n阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程0 qyypy 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程)(xfqyypy 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程解 法 由 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根 确定 其 通 解 的 方 法 称 为 特 征 方 程 法 . 16 02 qprr 0 qyypy 特 征 根 的 情 况 通 解 的 表 达 式 实 根 21 rr 实 根 21 rr 复 根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 2)( 21 )sincos( 21 xCxCey x 特 征 方 程 为 17 01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特 征 方 程 为 0111 nnnn PrPrPr 特 征 方 程 的 根 通 解 中 的 对 应 项rk重 根若 是 rxkk exCxCC )( 1110 ik 复 根 重 共 轭若 是 xkk kk exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1110 1110 推 广 ： 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法n 18 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 解 法)(xfqyypy 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程型)()()1( xPexf mx解 法 待 定 系 数 法 . ,)(xQexy mxk 设 是 重 根是 单 根不 是 根2 ,10k 19 型sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy mmxk 设 次 多 项 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max .1 ;0 是 特 征 方 程 的 单 根 时不 是 特 征 方 程 的 根 时 iik 20 7、 欧 拉 方 程 欧 拉 方 程 是 特 殊 的 变 系 数 方 程 ， 通 过 变 量 代 换 可 化 为 常 系 数 微 分 方 程 .xtex t ln 或 )(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn 的 方 程 (其 中 nppp 21,形 如 叫 欧 拉 方 程 .为 常 数 )， 21 当 微 分 方 程 的 解 不 能 用 初 等 函 数 或 其 积 分表 达 时 , 常 用 幂 级 数 解 法 .8、 幂 级 数 解 法 22 二 、 典 型 例 题 .)cossin()sincos( dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求 通 解例 1解 原 方 程 可 化 为 ),cossin sincos( xyxyxy xyxyxyxydxdy 23 ,xyu令 ., uxuyuxy 代 入 原 方 程 得),cossin sincos( uuu uuuuuxu ,cos2 cossin xdxduuu uuu 分 离 变 量两 边 积 分,lnln)cosln( 2 Cxuu ,cos 2xCuu ,cos 2xCxyxy 所 求 通 解 为 .cos Cxyxy 24 .32 343 yxyyx 求 通 解例 2解 原 式 可 化 为 ,32 342 yxyxy ,32 23134 xyxyy 即 ,31 yz令 原 式 变 为 ,323 2xzxz ,32 2xzxz 即对 应 齐 方 通 解 为 ,32Cxz 一 阶 线 性 非 齐 方 程伯 努 利 方 程 25 ,)( 32xxCz 设 代 入 非 齐 方 程 得,)( 232 xxxC ,73)( 37 CxxC 原 方 程 的 通 解 为 .73 323731 xCxy 利 用 常 数 变 易 法 26 .032 4 223 dyy xydxyx求 通 解例 3解 )2( 3yxyyP ,6 4yx )3( 4 22 y xyxxQ ,6 4yx )0( y,xQyP 方 程 为 全 微 分 方 程 . 27 (1) 利 用 原 函 数 法 求 解 : ,2),( 3yxxuyxu 则设 原 函 数 为 ),(),( 32 yyxyxu ,求 导两 边 对 y),(331 42422 yyxyxyyu ,1)( 2yy 解 得,1)( yy 故 方 程 的 通 解 为 .1232 Cyyx 28 (2) 利 用 分 项 组 合 法 求 解 :原 方 程 重 新 组 合 为 ,0)1()( 32 ydyxd即 得 ,01)32( 2423 dyydyyxdxyx故 方 程 的 通 解 为 .1232 Cyyx 29 (3) 利 用 曲 线 积 分 求 解 : ,32 4 22),( )1,0( 3 Cdyy xydxyxyx ,312 1 4 220 3 Cdyy xydxx yx 即 .1 13212 Cyxyx yy 故 方 程 的 通 解 为 .1232 Cyyx 30 .0)2()2( 2222 dyxyxdxyyx 求 通 解例 4解 ,22 yyP ,22 xxQ,xQyP 非 全 微 分 方 程 .利 用 积 分 因 子 法 :原 方 程 重 新 组 合 为 ),(2)( 22 xdyydxdydxyx 31 222 yx xdyydxdydx ,)(1 )(2 2xyxyd ,ln11ln Cxyxyyx 故 方 程 的 通 解 为 .yx yxCe yx 32 .21 2yyy 求 通 解例 5解 .x方 程 不 显 含 , dydPPyPy 令 代 入 方 程 ， 得,21 2yPdydPP ,1 12 yCP 解 得 ，,11 yCP ,11 yCdxdy即故 方 程 的 通 解 为 .12 211 CxyCC 33 .1)1()1(,2 yyexeyyy xx求 特 解例 6解 特 征 方 程 ,0122 rr特 征 根 ,121 rr对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 .)( 21 xexCCY 设 原 方 程 的 特 解 为 ,)(2* xebaxxy ,2)3()( 23* xebxxbaaxy 则 ,2)46()6()( 23* xebxbaxbaaxy 34 代 入 原 方 程 比 较 系 数 得将 )(,)(, * yyy ,21,61 ba原 方 程 的 一 个 特 解 为 ,26 23* xx exexy 故 原 方 程 的 通 解 为 .26)( 2321 xxx exexexCCy ,1)1( y ,1)31( 21 eCC ,6)1()( 3221 xexxCCCy 35 ,1)1( y ,1)652( 21 eCC,31121 eCC ,6512 21 eCC由 解 得 ,121 ,61221 eC eC所 以 原 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 为 .26)121(612 23 xxx exexexeey 36 ).2cos(214 xxyy 求 解 方 程例 解 特 征 方 程 ,042 r特 征 根 ,22,1 ir 对 应 的 齐 方 的 通 解 为 .2sin2cos 21 xCxCY 设 原 方 程 的 特 解 为 .*2*1* yyy ,)1( *1 baxy 设 ,)( *1 ay 则 ,0)( *1 y， 得代 入 xyy 214 ，xbax 2144 37 由 ，04 b ，214 a 解 得 ，0b ，81a ;81*1 xy ),2sin2cos()2( *2 xdxcxy 设 ,2sin)2(2cos)2()( *2 xcxdxdxcy 则 ,2sin)44(2cos)44()( *2 xdxcxcxdy ， 得代 入 xyy 2cos214 38故 原 方 程 的 通 解 为 .2sin81812sin2cos 21 xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4 xxcxd 由 ，04 c ，214 d 即 ，81d ，0c ;2sin81*2 xxy 39.)(),( 1)()( 2此 方 程 的 通 解（ ） 的 表 达 式 ；（ ） ， 试 求 ：的 齐 次 方 程 有 一 特 解 为 ， 对 应有 一 特 解 为设 xfxp x xxfyxpy 例 解 （ ） 由 题 设 可 得 ： ),()1)(2 ,02)(2 23 xfxxpx xxp 解 此 方 程 组 ， 得 40 .3)(,1)( 3xxfxxp （ ） 原 方 程 为 .31 3xyxy ，的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 程是 原 方 程 对 应 的 齐 次 方显 见 221 ,1 xyy 是 原 方 程 的 一 个 特 解 ，又 xy 1* 由 解 的 结 构 定 理 得 方 程 的 通 解 为.1221 xxCCy 41 .ln53 22 xxyyxyx 求 解 方 程解例 这 是 一 个 欧 拉 方 程 ,ln xt 令 dxdtdtdyy 则 ,1 tyx dxdtyxyxy tt 112 ),(12 tt yyx 代 入 原 方 程 得 ,54 2ttt teyyy (1),tex 42 和 (1)对 应 的 齐 次 方 程 为 ,054 yyy tt (2)(2)的 特 征 方 程 为 ,0542 rr特 征 根 为 ,1,5 21 rr(2)的 通 解 为 .251 tt eCeCY 设 (1)的 特 解 为 ,)( 2* tebaty ),22()( 2*1 baatey t 则 ),444()( 2* baatey t 43 代 入 原 方 程 比 较 系 数 得将 )(,)(, * yyy ,99 tbat ,0,91 ba,91 2* ttey 得 (1)的 通 解 为 .91 2251 ttt teeCeCy 故 原 方 程 的 通 解 为 .ln91 2251 xxxCxCy 44 间 链 条 滑 过 钉 子 需 多 少 时下 垂 米 ， 试 问 整 个 边的 一 边 下 垂 米 ， 另 一上 ， 运 动 开 始 时 ， 链 条 一 无 摩 擦 的 钉 子一 质 量 均 匀 的 链 条 挂 在解例 10 oxm8 m10, ,米链 条 下 滑 了经 过 时 间设 链 条 的 线 密 度 为 xt 则 由 牛 顿 第 二 定 律 得 ,)8()10(22 gxgxdtxdm .0)0(,0)0(,99 xxgxgx即 45 解 此 方 程 得 ,1)(21)( 3131 tgtg eetx ,8, x即整 个 链 条 滑 过 钉 子代 入 上 式 得 )().809ln(3 秒 gt 46 一 、 选 择 题 :1、 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 )()( xQyxPy 的 通 解 是 ( ). (A) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (B) dxexQey dxxPdxxP )()( )( ； (C) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (D) dxxPcey )( .2、 方 程 yyxyx 22 是 ( ). (A)齐 次 方 程 ； (B)一 阶 线 性 方 程 ； (C)伯 努 利 方 程 ； (D)可 分 离 变 量 方 程 . 测 验 题 47 3、 2)1(,022 yxdxydy 的 特 解 是 ( ). (A) 222 yx ； (B) 933 yx ； (C) 133 yx ； (D) 133 33 yx .4、 方 程 xy sin 的 通 解 是 ( ). (A) 322121cos CxCxCxy ； (B) 322121sin CxCxCxy ； (C) 1cos Cxy ； (D) xy 2sin2 . 48 5、 方 程 0 yy 的 通 解 是 ( ).(A) 1cossin Cxxy ； (B) 321 cossin CxCxCy ；(C) 1cossin Cxxy ； (D) 1sin Cxy . 6、 若 1y 和 2y 是 二 阶 齐 次 线 性 方 程 0)()( yxQyxPy 的 两 个 特 解 ,则 2211 yCyCy (其 中 21,CC 为 任 意 常 数 )( )(A)是 该 方 程 的 通 解 ； (B)是 该 方 程 的 解 ； (C)是 该 方 程 的 特 解 ； (D)不 一 定 是 该 方 程 的 解 . 49 7、 求 方 程 0)( 2 yyy 的 通 解 时 ,可 令 ( ). (A) PyPy 则, ； (B) dydPPyPy 则, ； (C) dxdPPyPy 则, ； (D) dydPPyPy 则, .8、 已 知 方 程 02 yyxyx 的 一 个 特 解 为 xy ,于 是 方 程 的 通 解 为 ( ). (A) 221 xCxCy ； (B) xCxCy 121 ； (C) xeCxCy 21 ； (D) xeCxCy 21 . 50 9、 已 知 方 程 0)()( yxQyxPy 的 一 个 特 1y解 为 , 则 另 一 个 与 它 线 性 无 关 的 特 解 为 ( ). (A) dxeyyy dxxP )(2112 1 ； (B) dxeyyy dxxP )(2112 1 ； (C) dxeyyy dxxP )(112 1 ； (D) dxeyyy dxxP )(112 1 . 51 10、 方 程 xeyyy x 2cos23 的 一 个 特 解 形 式 是 ( ). (A) xeAy x 2cos1 ； (B) xxeBxxeAy xx 2sin2cos 11 ； (C) xeBxeAy xx 2sin2cos 11 ； (D) xexBxexAy xx 2sin2cos 2121 . 二 、 求 下 列 一 阶 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 )1(lnln xaxyxyx ； 2、 033 yxxydxdy ； 3、 022 yx xdyydxydyxdx . 52 三 、 求 下 列 高 阶 微 分 方 程 的 通 解 :1、 012 yyy ； 2、 )4(2 xexyyy . 四 、 求 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 :1、 0)(2 223 dyxyxdxy , 11 yx 时 ， ； 2、 xyyy cos2 , 23,00 yyx 时 ， . 五 、 已 知 某 曲 线 经 过 点 )1,1( ,它 的 切 线 在 纵 轴 上 的 截 距 等 于 切 点 的 横 坐 标 ,求 它 的 方 程 . 53 六 、 设 可 导 函 数 )(x 满 足 1sin)(2cos)( 0 xtdttxx x , 求 )(x . 七 、 我 舰 向 正 东 海 里1 处 的 敌 舰 发 射 制 导 鱼 雷 ,鱼 雷 在 航 行 中 始 终 对 准 敌 舰 .设 敌 舰 以 0v常 数 沿 正 北 方 向直 线 行 驶 ,已 知 鱼 雷 速 度 是 敌 舰 速 度 的 两 倍 ,求 鱼 雷 的 航 行 曲 线 方 程 ,并 问 敌 舰 航 行 多 远 时 ,将 被 鱼 雷 击中 ? 54 测 验 题 答 案一 、 1、 A； 2、 A； 3、 B； 4、 A； 5、 B； 6、 B； 7、 B； 8、 B； 9、 A； 10、 C.二 、 1、 xcaxy ln ； 2、 1212 2 xeCy x ； 3、 Cxyyx arctan222 . 三 、 1、 )cosh(1 211 CxCCy ； 2、 xxexxeCeCCy xxx 222321 )9461( . 55 四 、 1、 0)ln21( 2 yyx ； 2、 xxey x sin21 . 五 、 xxxy ln .六 、 xxx sincos)( . 七 、 )10(32)1(31)1( 2321 xxxy . 敌 舰 航 行 32海 里 后 即 被 击 中 .