桁架摩擦重心

第 六 章 桁 架 、 摩 擦 、 重 心 61 平 面 简 单 桁 架 的 内 力 分 析 62 摩 擦 63 滑 动 摩 擦 64 考 虑 滑 动 摩 擦 时 的 平 衡 问 题 65 滚 动 摩 擦 66 平 行 力 系 的 中 心 、 物 体 的 重 心 由 物 系 的 多 样 化 ， 引 出 仅 由 杆 件 组 成 的 系 统 桁 架 6-1 平 面 简 单 桁 架 的 内 力 分 析 工 程 中 的 桁 架 结 构 工 程 中 的 桁 架 结 构 工 程 中 的 桁 架 结 构 工 程 中 的 桁 架 结 构 桁 架 ： 由 杆 组 成 ， 用 铰 联 接 ， 受 力 不 变 形 的 系 统 。 桁 架 的 优 点 ： 轻 ， 充 分 发 挥 材 料 性 能 。桁 架 的 特 点 ： 直 杆 ， 不 计 自 重 ， 均 为 二 力 杆 ； 杆 端 铰 接 ； 外 力 作 用 在 节 点 上 。力 学 中 的 桁 架 模 型( 三 角 形 有 稳 定 性 (c) 工 程 力 学 中 常 见 的 桁 架 简 化 计 算 模 型 ,0X 0BX,0)( FmA ,0)( FmB 024 PYB 042 ANP kN 5 ,0 BAB YNX解 ： 研 究 整 体 ， 求 支 座 反 力一 、 节 点 法 例 已 知 ： 如 图 P=10kN， 求 各 杆 内 力 ？ 依 次 取 A、 C、 D节 点 研 究 ， 计 算 各 杆 内 力 。0X 030cos 012 SS0Y 030sin 01 SNA )(kN10,kN66.8 12 表 示 杆 受 压解 得 SS 0X 0Y 030cos30cos 0104 SS 030sin30sin 04013 SSS11 SS 代 入 kN 10 ,kN 10 : 43 SS解 得 kN 66.75S解 得 0X 025 SS后代 入 22 SS 节 点 D的 另 一 个 方 程 可 用 来 校 核 计 算结 果 0Y 0 3 SP ,kN 103解 得 S恰 与 相 等 ,计 算 准 确 无 误 。 3S 解 ： 研 究 整 体 求 支 反 力 0X 0AX0 BM 023 aPaPaY PYA 0 Am由 04 aYhS AhPaS 40Y 0sin5 PSYA 05S0X 0cos 456 AXSSS hPaS 6 二 、 截 面 法 例 已 知 ： 如 图 ， h， a， P 求 ： 4， 5， 6杆 的 内 力 。选 截 面 I-I ， 取 左 半 部 研 究I IA 说 明 ：节 点 法 ： 用 于 设 计 ， 计 算 全 部 杆 内 力截 面 法 ： 用 于 校 核 ， 计 算 部 分 杆 内 力 先 把 杆 都 设 为 拉 力 ,计 算 结 果 为 负 时 ,说 明 是 压力 ， 与 所 设 方 向 相 反 。 三 杆 节 点 无 载 荷 、 其 中 两 杆 在一 条 直 线 上 ， 另 一 杆 必 为 零 杆 21 SS 且四 杆 节 点 无 载 荷 、 其 中 两 两 在一 条 直 线 上 ， 同 一 直 线 上 两 杆内 力 等 值 、 同 性 。 21 SS 43 SS 两 杆 节 点 无 载 荷 、 且 两 杆 不 在一 条 直 线 上 时 ， 该 两 杆 是 零 杆 。三 、 特 殊 杆 件 的 内 力 判 断 021 SS 例 3 已 知 P d,求 ： a.b.c.d四 杆 的 内 力 ？ 解 ： 由 零 杆 判 式 0 adc SSS研 究 A点 ： 0Y由 045cos PS ob PSb 2 前 几 章 我 们 把 接 触 表 面 都 看 成 是 绝 对 光 滑 的 ，忽 略 了 物 体 之 间 的 摩 擦 ， 事 实 上 完 全 光 滑 的 表 面 是不 存 在 的 ， 一 般 情 况 下 都 存 在 有 摩 擦 。例 6-2 摩 擦 平 衡 必 计 摩 擦 一 、 为 什 么 研 究 摩 擦 ？ 二 、 怎 样 研 究 摩 擦 ， 掌 握 规 律 利 用 其 利 ， 克 服 其 害 。 三 、 按 接 触 面 的 运 动 情 况 看 ： 摩 擦 分 为 滑 动 摩 擦 滚 动 摩 擦 1、 定 义 ： 相 接 触 物 体 ， 产 生 相 对 滑 动 （ 趋 势 ） 时 ，其 接 触 面 产 生 阻 止 物 体 运 动 的 力 叫 滑 动 摩 擦 力 。 (就是 接 触 面 对 物 体 作 用 的 切 向 约 束 反 力 ) 2、 状 态 ： 静 止 ： 临 界 ： （ 将 滑 未 滑 ） 滑 动 ： PF )( 不 固 定 值 FPNfF max NfF 6-3 滑 动 摩 擦一 、 静 滑 动 摩 擦 力所 以 增 大 摩 擦 力 的 途 径 为 ： 加 大 正 压 力 N, 加 大 摩 擦 系 数 f （ f 静 滑 动 摩 擦 系 数 ）（ f 动 摩 擦 系 数 ） 二 、 动 滑 动 摩 擦 力 ： 与 静 滑 动 摩 擦 力 不 同 的 是 产 生 了滑 动 大 小 ： （ 无 平 衡 范 围 ）动 摩 擦 力 特 征 方 向 ： 与 物 体 运 动 方 向 相 反 定 律 ： （ f 只 与 材 料 和 表 面 情 况有 关 ， 与 接 触 面 积 大 小 无 关 。 ）max0 FF 0XNfF max NfF NfF 3、 特 征 ： 大 小 ： (平 衡 范 围 )满 足静 摩 擦 力 特 征 ： 方 向 ： 与 物 体 相 对 滑 动 趋 势 方 向 相 反 定 律 ： (f 只 与 材 料 和 表 面 情 况有 关 ， 与 接 触 面 积 大 小 无 关 。 ) maxFm三 、 摩 擦 角 ： 定 义 ： 当 摩 擦 力 达 到 最 大 值 时 其 全 反 力 与 法 线 的 夹 角 叫 做 摩 擦 角 。fNNfNFm maxtg 计 算 ： 四 、 自 锁 定 义 ： 当 物 体 依 靠 接 触 面 间 的 相 互 作 用 的 摩 擦 力与 正 压 力 （ 即 全 反 力 ） ， 自 己 把 自 己 卡 紧 ， 不 会 松开 （ 无 论 外 力 多 大 ） ， 这 种 现 象 称 为 自 锁 。 当 时 ， 永 远 平 衡 （ 即 自锁 ） 自 锁 条 件 ： m 摩 擦 系 数 的 测 定 ： OA绕 O 轴 转 动 使 物 块 刚 开 始 下滑 时 测 出 角 ， tg =f , (该 两 种 材 料 间 静 摩 擦 系 数 )fNNfNFm maxtg 自 锁 应 用 举 例 6-4 考 虑 滑 动 摩 擦 时 的 平 衡 问 题 考 虑 摩 擦 时 的 平 衡 问 题 ， 一 般 是 对 临 界 状 态 求解 ， 这 时 可 列 出 的 补 充 方 程 。 其 它 解 法与 平 面 任 意 力 系 相 同 。 只 是 平 衡 常 是 一 个 范 围 （ 从例 子 说 明 ） 。 NfF max例 1 已 知 ： =30， G =100N， f =0.2 求 ： 物 体静 止 时 ， 水 平 力 Q的 平 衡 范 围 。 当 水 平 力 Q = 60N时 ， 物 体 能 否 平 衡 ？ 解 ： 先 求 使 物 体 不 致 于 上 滑 的 图 (1)maxQNfF GQNY FGQX maxmax maxmax : 0cossin ,0 0sincos ,0 补 充 方 程由 tg1tg : max f fGQ 解 得 tgtg1 tgtg m m G )(tg m G tgtg1 tgtg)(tg : m mm 应 用 三 角 公 式 同 理 ： 再 求 使 物 体 不 致 下 滑 的 图 (2) minQ ) ( tg tg1tgsin cos cossin mmin Gf fGGffQ解 得 ： 平 衡 范 围 应 是 maxmin QQQ 例 2 梯 子 长 AB=l， 重 为 P， 若 梯 子 与 墙 和 地 面 的 静 摩 擦 系 数 f =0.5, 求 多 大 时 ， 梯 子 能 处 于 平 衡 ？解 ： 考 虑 到 梯 子 在 临 界 平 衡 状 态 有 下 滑 趋 势 ， 做 受 力 图 。 )2(0 ,0 )1(0 ,0 PFNY FNX BA AB由 )5()4( BB AA NfF NfF )3( 0sincoscos2 ,0 minminmin lNlFlPm BBA )3(1,1,1: 222 代 入解 得 fPPFffPNfPN BBA 022min 87365.02 5.01arctg21arctg: ff得注 意 ， 由 于 不 可 能 大 于 ， 所 以 梯 子 平 衡 倾 角 应满 足 90 00 908736 由 实 践 可 知 ， 使 滚 子 滚 动 比 使 它 滑 动 省 力 ， 下图 的 受 力 分 析 看 出 一 个 问 题 ， 即 此 物 体 平 衡 ， 但 没有 完 全 满 足 平 衡 方 程 。 )(0,0 0,0 0,0 不 成 立 rQM NPY FQX AQ与 F形 成 主 动 力 偶 使 前 滚 6-5 滚 动 摩 擦 出 现 这 种 现 象 的 原 因 是 ，实 际 接 触 面 并 不 是 刚 体 ， 它 们在 力 的 作 用 下 都 会 发 生 一 些 变形 ， 如 图 ： 此 力 系 向A点 简 化 滚 阻 力 偶 M随 主 动 力 偶 （ Q , F） 的 增 大 而 增 大 ; 有 个 平 衡 范 围 ;滚 动 摩 擦 与 滚 子 半 径 无 关 ; 滚 动 摩 擦 定 律 ： ， d 为 滚 动 摩 擦 系 数 。 max0 MM maxM NM dmax滚 阻 力 偶 与 主 动 力 偶 （ Q,F） 相 平 衡 d 滚 动 摩 擦 系 数 d 的 说 明 ： 有 长 度 量 纲 ， 单 位 一 般 用 mm,cm； 与 滚 子 和 支 承 面 的 材 料 的 硬 度 和 温 度 有 关 。 d 的 物 理 意 义 见 图 示 。根 据 力 线 平 移 定 理 ， 将 N和 M合 成 一 个 力 N ， N=NNMd NdNdM d d 从 图 中 看 出 ， 滚 阻 力 偶 M的 力 偶 臂 正 是 d（ 滚 阻 系 数 ） ，所 以 ， d 具 有 长 度 量 纲 。 由 于 滚 阻 系 数 很 小 ， 所 以 在 工 程 中 大 多 数 情 况 下 滚 阻 力偶 不 计 ， 即 滚 动 摩 擦 忽 略 不 计 。 d 摩 擦 习 题 课 本 章 小 结 一 、 概 念 ： 1、 摩 擦 力 -是 一 种 切 向 约 束 反 力 ， 方 向 总 是 与 物 体 运 动 趋 势 方 向 相 反 。a. 当 滑 动 没 发 生 时 Ff N (F=P 外 力 )b. 当 滑 动 即 将 发 生 时 Fmax=f N c. 当 滑 动 已 经 发 生 时 F =f N (一 般 f 动 f 静 ) 2、 全 反 力 与 摩 擦 角 a.全 反 力 R（ 即 F 与 N 的 合 力 ） b. 当 时 ， 物 体 不 动 （ 平 衡 ） 。3、 自 锁 当 时 自 锁 。m m 二 、 内 容 ： 1、 列 平 衡 方 程 时 要 将 摩 擦 力 考 虑 在 内 ； 2、 解 题 方 法 ： 解 析 法 几 何 法 3、 除 平 衡 方 程 外 ， 增 加 补 充 方 程 (一 般 在 临 界 平 衡 4、 解 题 步 骤 同 前 。 状 态 计 算 ）三 、 解 题 中 注 意 的 问 题 ： 1、 摩 擦 力 的 方 向 不 能 假 设 ， 要 根 据 物 体 运 动 趋 势 来 判 断 。 （ 只 有 在 摩 擦 力 是 待 求 未 知 数 时 ， 可 以 假 设 其 方 向 ） 2、 由 于 摩 擦 情 况 下 ， 常 常 有 一 个 平 衡 范 围 ， 所 以 解 也 常 常 是 力 、 尺 寸 或 角 度 的 一 个 平 衡 范 围 。 （ 原 因 是 和 ） NfF maxm NfF 四 、 例 题例 1 作 出 下 列 各 物 体 的 受 力 图 例 2 作 出 下 列 各 物 体 的 受 力 图 P 最 小 维 持 平 衡 P 最 大 维 持 平 衡状 态 受 力 图 ； 状 态 受 力 图 例 3 构 件 1及 2用 楔 块 3联 结 ， 已 知 楔 块 与 构 件 间 的 摩 擦 系 数 f=0.1, 求 能 自 锁 的 倾 斜 角 。 解 ： 研 究 楔 块 ， 受 力 如 图 0cos)cos(,0 1 RRX由 1: RR由 二 力 平 衡 条 件 时 能 自 锁即 当 极 限 状 态又 26112 )( 26112 4351.0tg ,1.0tg 2 , 00 01 f 例 4 已 知 ： B块 重 Q=2000N， 与 斜 面 的 摩 擦 角 =15 ， A块与 水 平 面 的 摩 擦 系 数 f=0.4， 不 计 杆 自 重 。 求 ： 使 B块 不 下 滑 ， 物 块 A最 小 重 量 。解 ： 研 究 B块 ， 若 使 B块 不 下 滑 Q QRS RSX QR QRY )(ctg )sin( )cos()cos( 0)cos(,0 )sin( 0)sin(,0 由 )N(500020004.0 )1530(ctg)(ctg ,0 ,0 QffSP PfNfSFSX 再 研 究 A块 练 习 1 已 知 ： Q=10N， f 动 =0.1 f 静 =0.2求 ： P=1 N; 2N, 3N 时 摩 擦 力 F？解 ： N2 ,0 ,N 2 PFXP 由时所 以 物 体 运 动 ： 此 时 N11.010 fNF 动 （ 没 动 ， F 等 于 外 力 ）（ 临 界 平 衡 ）（ 物 体 已 运 动 ）N2102.0 max NfF 静 N1 ,0 ,N 1 PFXP 由时 N2N3 ,N 3 max FPP 时 练 习 2 已 知 A块 重 500N， 轮 B重 1000N， D轮 无 摩 擦 ， E 点 的 摩 擦 系 数 fE=0.2， A点 的 摩 擦 系 数 fA=0.5。求 ： 使 物 体 平 衡 时 块 C的 重 量 Q=？解 ： A不 动 （ 即 i点 不 产 生 平 移 ） 求 Q N2505005.0 11 NfFT A由 于1 N2505005.0 T 0)cos1010(cossin10sin15 QQT分 析 轮 有 0coscossin1015 22 QT )N(208)541(10 25015cos110 15 TQ 0 Em由 E 点 不 产 生 水 平 位 移 )531000(2.02.0: QNfNF E即 Qmi 可 得由 0 )N(3848.73000 : 068.13000 : 0)cos5.0cos(sin10)6.01000(2.015 0)5cos10(cossin10sin15 22 Q QQ QQ QQF即化 简 B轮 不 向 上 运 动 ， 即 N0 ;0sin,0 QGNY B由 )N(16706.01000,0531000sin QQQGN B 显 然 ,如 果 i,E两 点 均 不 产 生 运 动 ,Q必 须 小 于 208N,即)N(208 maxQ 补 充 方 程 fNF 21 QQ Pf 当 时 ， 能 滚 过 去 （ 这 是 小 球 与 地 面 的 f 条 件 ） 21 QQ Pf 练 习 3 已 知 ： P、 D、 d、 Q1、 Q2， P为 水 平 。 求 ： 在 大 球 滚 过 小 球 时 ， f=?解 ： 研 究 整 体 FPX ,0由 fQQP )( 21将 、 代 入 得 ：要 保 证 大 球 滚 过 小 球 ， 必 须 使 大 球 与 小 球 之 间 不 打 滑21,0 QQNY 0cos)90cos(,0 10 NFPX PFDPDFmO ,022,0由 求 大 球 与 小 球 之 间 的 f , 研 究 大 球 0cossin 1 NPP 补 充 方 程 fFNfNF 11 ,将 代 入 得 ： 0cossin fPPP又 dDDddD dDdD dD 2sin1cos,22 22sin 2 当 时 能 滚 过 小 球Ddf结 论 ： 当 和 时 能 保 证 大 球 能 滚 过 小 球 的 条 件 。 Ddf21 QQ Pf Ddf sin1cos解 得 ：注 大 球 与 小 球 间 的 f又 一 种 求 法 ： 1tg QPf 解 ： 作 法 线 AH和 BH 作 A,B点 的 摩 擦 角 交 E,G两 点 E,G两 点 间 的 水 平 距 离 l为 人 的 活 动 范 围练 习 4 水 平 梯 子 放 在 直 角 V形 槽 内 ， 略 去 梯 重 ， 梯 子 与 两 个 斜面 间 的 摩 擦 系 数 （ 摩 擦 角 均 为 ） ， 如 人 在 梯 子 上 走 动 ， 试 分 析不 使 梯 子 滑 动 ， 人 的 活 动 应 限 制 在 什 么 范 围 内 ？l 090 AGBAEB )60cos()30sin()60cos( )30cos()60sin()30cos( 000 000 ABBGBD ABAEAC所 以 人 在 AC和 BD段 活 动都 不 能 满 足 三 力 平 衡 必 汇交 的 原 理 ， 只 有 在 CD段活 动 时 ， 才 能 满 足 三 力平 衡 必 汇 交 ， 能 交 上（ 有 交 点 ）证 明 ： 由 几 何 关 系 空 间 平 行 力 系 ， 当 它有 合 力 时 ， 合 力 的 作 用 点C就 是 此 空 间 平 行 力 系 的中 心 。 而 物 体 重 心 问 题 可以 看 成 是 空 间 平 行 力 系 中心 的 一 个 特 例 。 6-6 平 行 力 系 的 中 心 、 物 体 的 重 心一 、 空 间 平 行 力 系 的 中 心 、 物 体 的 重 心1、 平 行 力 系 的 中 心由 合 力 矩 定 理 ： )()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr 2211 0110, PFFPRR 令 nnC rFrFrFrR 2211 iiinnC FrFR rFrFrFr 2211 RzFzRyFyRxFx iiCiiCiiC , , :投 影 式 如 果 把 物 体 的 重 力 都 看成 为 平 行 力 系 ， 则 求 重心 问 题 就 是 求 平 行 力 系的 中 心 问 题 。 由 合 力 矩定 理 ： iiC xPxP 物 体 分 割 的 越 多 ， 每 一 小 部 分 体 积 越 小 ， 求 得 的重 心 位 置 就 越 准 确 。 在 极 限 情 况 下 ， ， 常 用积 分 法 求 物 体 的 重 心 位 置 。二 、 重 心 坐 标 公 式 ： n iiC yPyP 根 据 物 体 的 重 心 位 置与 物 体 放 置 的 位 置 无 关 的性 质 ， 将 物 体 与 坐 标 系 统绕 x轴 转 动 力 90， 再 应 用合 力 矩 定 理 对 x 轴 取 矩 得 ： iiC zPPz 综 合 上 述 得 重 心 坐 标 公 式 为 ： P zPzP yPyP xPx iiCiiCiiC ,若 以 Pi= mig , P=Mg 代 入 上 式 可 得 质 心 公 式M zmzM ymyM xmx iiCiiCiiC , 设 i表 示 第 i个 小 部 分 每 单 位 体 积 的 重 量 ， Vi第 i个小 体 积 ， 则 ， 代 入 上 式 并 取 极 限 ， 可 得 ：式 中 ， 上 式 为 重 心 C 坐 标 的 精 确 公 式 。 PdVzzPdVyyPdVxx VCVCVC , iii VP V dVP 对 于 均 质 物 体 ， =恒 量 ， 上 式 成 为 ： VdVzzVdVyyVdVxx VCVCVC ,同 理 对 于 薄 平 面 和 细 长 杆 均 可 写 出 相 应 的 公 式 。 同 理 ： 可 写 出 均 质 体 ， 均 质 板 ， 均 质 杆 的 形 心（ 几 何 中 心 ） 坐 标 分 别 为 ： V zVzV yVyV xVx iiCiiCiiC ,:立 体 A zAzA yAyA xAx ii CiiCiiC ,:平 板 l zlzl ylyl xlx iiCiiCiiC ,:细 杆 解 ： 由 于 对 称 关 系 ， 该 圆 弧 重 心 必 在 Ox轴 ， 即yC=0。 取 微 段 dRdL R dRLdLxx LC 2cos 2 sinRx C 下 面 用 积 分 法 求 物 体 的 重 心 实 例 ：例 求 半 径 为 R， 顶 角 为 2 的 均 质 圆 弧 的 重 心 。O cosRx 三 、 重 心 的 求 法 ： 组 合 法 cm4.6 21 2211 SS ySyS A yAy iiC由解 ： cm248 cm4 21 ,80cm 212 221 )R(y,y,RSS 求 ： 该 组 合 体 的 重 心 ？已 知 ： 0)( FmB由 01 CxPlP称 PlPxC 1 称简 单 图 形 的 面 积 及 重 心 坐 标 公 式 可 由 表 中 查 出 。 实 验 法 ： 悬 挂 法 称 重 法