形函数、刚度矩阵

4.5单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 与 物 理 意 义假 设 单 元 的 结 点 位 移 如 下 ： Te 000001 ixmy ixmx ixjy ixjx ixiy ixixymxmyjxjyixi KKKKKKFFFFFF ,得 到 结 点 力 如 下 ： 2.5单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 与 物 理 意 义 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 写 成 分 块 矩 阵 写 成 普 通 方 程 其 中 表 示 结 点 S(S=i,j,m)产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点r(r=i,j,m)上 所 需 要 施 加 的 结 点 力 的 大 小 。 mjimmmjmi jmjjji imijiimji KKK KKK KKKFFF K K KF K K KF K K KF mmmjmjimii mjmjjjijij mimijijiiii eF rsK i ii i ij j im mj ji i jj j jm mi mi i mj j mm mF K K K F K K K F K K K rsK 2.5单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 与 物 理 意 义 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 结 点 力 列 矩 阵 与 结 点 位 移 列 矩 阵 均 展 开 成(6*1)阶 列 矩 阵 ， 单 元 刚 度 矩 阵 相 应 地 展 开 成 (6*6)阶 方 阵 ： 元 素 K的 脚 码 ， 标 有 “ -” 的 表 示 水 平 方 向 ， 没 有 标 “ -”的 表 示 垂 直 方 向 。 eF e mmjjiimmmmmjjmmiim mmmmjmjmimim jmmjjjjjjiij mjmjjjjjijij immiijjiiiii mimijijiiiiimmjjii vuvuvu KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKKVUVUVU eii ii ij ij im imi ii ij im imii iji ji ji jj jj jm jmj ji jj jm jmji jjj mi mj mm mmmi mjm mi mj mm mmmi mjm K K K K K KU K K K K K KV K K K K K KU K K K K K KV K K K K KU K K K K KV e 2.5单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 与 物 理 意 义 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 单 元 刚 度 矩 阵 的 每 一 个 元 素 都 有 明 显 的 物 理 意 义 。 表 示 结 点 S(S=i,j,m)在 水 平 方 向 、 垂 直 方 向产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 r(r=i,j,m)上 分 别 所 要 施 加 的 水 平 结点 力 和 垂 直 结 点 力 的 大 小 。 例 如 表 示 结 点 j在 垂 直 方 向 产生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 i所 需 要 施 加 的 水 平 结 点 力 的 大 小 。 mj,i,S ssrssrr m)j,i,)(rvKu(K U r rs s rs sS i,j,mV (K u K v )(r i,j,m) rssrsrsr ， K， K， KK jiK r s srs rsS i,j,mr rs s rs sS i,j,mU (K u K v )(r i,j,m)V (K u K v )(r i,j,m)rs rs rs rsK ， K ， K ， K ijK 2.5单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 与 物 理 意 义 单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 ： 1)对 称 性 ： 是 对 称 矩 阵 2)奇 异 性 ： 是 奇 异 矩 阵 ， 单 元 刚 度 矩 阵 所 有 奇 数 行 的 对 应 元 素 之 和 为 零 ， 所 有 偶 数行 的 对 应 元 素 之 和 也 为 零 。 由 此 可 见 ， 单 元 刚 度 矩 阵 各 列 元 素的 总 和 为 零 。 由 对 称 性 可 知 ， 各 行 元 素 的 总 和 也 为 零 。 eK eK 0 eK eK eK 0 表 示 s结 点 在 水 平 方 向 产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 r的垂 直 方 向 上 需 要 施 加 的 结 点 力 。sxryK ,sxrxK , 表 示 s结 点 在 水 平 方 向 产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 r的水 平 方 向 上 需 要 施 加 的 结 点 力 。选 择 不 同 的 单 元 结 点 位 移 ， 可 以 得 到 单 元 刚 度 矩阵 中 每 个 元 素 的 物 理 含 义 ：syrxK , 表 示 s结 点 在 垂 直 方 向 产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 r的水 平 方 向 上 需 要 施 加 的 结 点 力 。syryK , 表 示 s结 点 在 垂 直 方 向 产 生 单 位 位 移 时 ， 在 结 点 r的垂 直 方 向 上 需 要 施 加 的 结 点 力 。单 元 刚 度 矩 阵 中 每 个 元 素 都 可 以 理 解 为 刚 度 系 数 ，即 在 结 点 发 生 单 位 位 移 时 所 需 要 施 加 的 结 点 力 。 单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 ：1） 对 称 性2） 奇 异 性3） 对 角 线 上 的 主 元 恒 正首 先 证 明 单 元 刚 度 矩 阵 的 对 称 性 ， 即 Tee KK )( )( sTTrTrTsTsr BDBBDBK rssTrTsr KBDBK TDD 假 定 单 元 产 生 了 x方 向 的 单 位 位 移 的 刚 体 移 动 ，Te 010101 再 证 明 单 元 刚 度 矩 阵 是 奇 异 的 ， 即 0eK TeT K 010101000000 对 应 的 单 元 结 点 力 为 零 ，可 以 得 到 ， 在 单 元 刚 度 矩 阵 中 1， 3， 5列 中 对 应行 的 系 数 相 加 为 零 ， 由 行 列 式 的 性 质 可 知 ， 单 元刚 度 矩 阵 是 奇 异 的 。如 何 说 明 单 元 刚 度 矩 阵 对 角 线 上 的 元 素 恒 正 ？ 4.6整 体 分 析整 体 分 析 包 括 以 下 4个 步 骤 ：1） 建 立 整 体 刚 度 矩 阵 ，2） 根 据 约 束 条 件 修 改 整 体 刚 度 矩 阵 ，3） 解 方 程 组 ， 求 出 结 点 的 位 移 ，4） 根 据 结 点 位 移 ， 求 出 单 元 的 应 变 和 应 力 。建 立 整 体 刚 度 矩 阵 的 基 本 方 法 是 刚 度 集 成 法 ，即 整 体 刚 度 矩 阵 是 单 元 刚 度 矩 阵 的 集 成 。 刚 度 集 成 法 的 物 理 意 义 结 构 中 的 结 点 力 是 相 关 单 元 结 点 力 的 叠 加 ，整 体 刚 度 矩 阵 的 元 素 是 相 关 单 元 的 单 元 刚 度 矩阵 元 素 的 集 成 。 刚 度 矩 阵 集 成 的 规 则 ：1） 将 单 元 刚 度 矩 阵 中 的 每 个 分 块 放 到 在 整 体刚 度 矩 阵 中 的 对 应 位 置 上 ， 得 到 单 元 的 扩 大 刚度 矩 阵 。2） 将 全 部 单 元 的 扩 大 矩 阵 相 加 得 到 整 体 刚 度矩 阵 。单 元 刚 度 矩 阵 元 素 取 决 于 单 元 结 点 的 局 部 编 号顺 序 ， 必 须 知 道 单 元 结 点 的 局 部 编 号 与 该 结 点在 整 体 结 构 中 的 总 体 编 号 之 间 的 关 系 。 例 2.7、 图 示 结 构 的 单 元 结 点 的 局 部 编 号 与 整 体 的 对 应 关系 如 下 ： 求 结 构 的 整 体 刚 度 矩 阵 。 单 元 （ 2） 的 单 元 扩 大 刚 度 矩 阵 的 分 块 矩 阵 形式 如 下 ， 只 列 出 非 零 的 分 块 ： 整 体 刚 度 矩 阵 编 程 实 现 整 体 刚 度 矩 阵 集 成NEC(i,1)， 表 示 单 元 (i)中 I结 点 的 整 体 编 号 ；NEC(i,2)， 表 示 单 元 (i)中 J结 点 的 整 体 编 号 ；NEC(i,3)， 表 示 单 元 (i)中 M结 点 的 整 体 编 号 。分 块 矩 阵 Krs中 的 系 数 按 以 下 地 址 加 入 整 体 刚度 矩 阵 ： 在 编 制 有 限 元 程 序 时 ， 可 以 用 一 个 二 维 数 组 来 保存 单 元 结 点 的 局 部 编 号 与 该 结 点 在 整 体 结 构 中 的总 体 编 号 之 间 的 关 系 。 假 定 最 大 单 元 数 目 为NELEM， 用 Fortran语 言 可 以 定 义 以 下 数 组 ，DIMENSION NEC(NELEM,3)数 组 的 行 与 单 元 对 应 ， 数 组 的 第 1列 为 单 元 中 I结点 的 整 体 编 号 ， 第 2列 为 单 元 中 J结 点 的 整 体 编 号 ，第 一 列 为 单 元 中 M结 点 的 整 体 编 号 。 例 如 ，NEC(2,1)=5， 表 示 单 元 (2)中 I结 点 的 整 体 编 号 为 5；NEC(2,2)=2， 表 示 单 元 (2)中 J结 点 的 整 体 编 号 为 2；NEC(2,3)=4， 表 示 单 元 (2)中 M结 点 的 整 体 编 号 为 4。 例 2.8、 对 于 例 2.6给 出 的 有 限 单 元 网 格 ， 单 元 结 点 的 局 部编 号 顺 序 如 下 ： e1(1,2,3)， e2(2,4,5)， e3(2,5,3)。试 给 出 整 体 刚 度 矩 阵 。 单 元 1的 扩 大 刚 度 矩 阵 ， 00000 00000 00 00 00 )1()1()1( )1()1()1( )1()1()1( mmmjmi jmjjji imijii KKK KKK KKK 单 元 2， 0ib abj abm aci acj 0mc 2102121021 0110 212321121 211212321 0110 2102121021)1(2 2)2( EtK单 元 2的 单 元刚 度 矩 阵单 元 2的 扩 大刚 度 矩 阵 ， )2()2()2( )2()2()2( )2()2()2( 00 00 00000 00 00000 mmmjmi jmjjji imijii KKK KKK KKK abi 0jb abm 0ic acj acm单 元 3， 232112121 212321211 1100 2121021210 2121021210 1001)1(2 2)3( EtK单 元 3的 单 元刚 度 矩 阵单 元 3的 扩 大刚 度 矩 阵 ， )3()3()3( )3()3()3( )3()3()3( 00 00000 00 00 00000 jjjmji mjmmmi ijimii KKK KKK KKK 假 定 弹 性 体 总 共 划 分 为 m个 单 元 ， n个 结 点 。 单 元 刚 度 矩 阵 ik 总 体 结 点 位 移 f单 元 结 点 位 移 总 体 载 荷 if R单 元 结 点 力 iQ外 力 总 虚 功 等 于 各 单 元 结 点 力 虚 功 之 合)( 1 iTimiT QfRf )()()( 11 fTkfTfkfRf iiTimiiiTimiT )( 1 fTkTfRf iiTimiTT Ti是 6 x 2n 的 矩 阵 fTf ii