极值与凹凸性

o xya b)(xfy 1x 2x 3x 4x 5x 6xo xy o xy0 x 0 x3.4 极 值 与 凹 凸 性 定 义 3.1 )()( 0 xfxf 或)()( 0 xfxf 为 函 数则 称 )()( 0 xfxf 的 一 个 极 大 值 (或 极 小 值 ), 如 果 在 x0的 函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值 , 使 函 数取 得 极 值 的 点 x0称 为 极 值 点 .设 在 x0 附 近 有 定 义 , )(xf某 个 空 心 邻 域 内 , 恒 有注 意 : 极 值 的 概 念 是 一 个 局 部 性 的 概 念 , 它 仅 涉及 函 数 在 一 点 附 近 的 性 质 . 定 理 3.4 (极 值 的 必 要 条 件 )注 意 : 可 导 函 数 的 极 值 点 必 定 是 驻 点 ,例 如 , ,3xy ,00 xy但 驻 点 不 一 定 是 极 值 点 .则 必 有 .0)( 0 xf设 在 点 处 可 导 , 且 在 处 取 得 极 值 , )(xf 0 x 0 x )(,)( xfxf 称 为 函 数为 零 的 点使 得 导 数 的 驻 点 .0不 是 极 值 点但 x另 外 : 连 续 函 数 的 不 可 导 点 , 也 可 能 是 极 值 点 .例 如 , ,xy .,0 但 是 极 小 值 点处 不 可 导在 x 设 函 数 在 x0 处 连 续 ,)(xf定 理 3.5 (极 值 的 第 一 充 分 条 件 )在 x0的 某 个 空 心邻 域 内 可 导 , 则 ，0)( xf(1) 如 果 有),( 00 xxx ),( 00 xxx而,0)( xf有 则 在 处 取 得 极 大 值 ;)(xf 0 x ，0)( xf(2) 如 果 有),( 00 xxx ),( 00 xxx而,0)( xf有 则 在 处 取 得 极 小 值 ;)(xf 0 x(3) 如 果 当 及 时 ,),( 00 xxx ),( 00 xxx )(xf 符 号 相 同 ,则 在 处 无 极 值 .0 x)(xf xyo xyo0 x 0 x 是 极 值 点 情 形xyo xyo0 x 0 x 不 是 极 值 点 情 形 求 函 数 极 值 的 基 本 步 骤 :(3) 求 出 各 极 值 点 处 的 函 数 值 , 得 到 相 应 的 极 值 .(1) 求 出 的 所 有 可 能 的 极 值 点 , 即 的 不 可 导的 点 和 的 点 ;)(xf 0)( xf(2) 对 (1)中 求 得 的 每 个 点 , 根 据 在 其 左 、右 是 否 变 号 , 确 定 该 点 是 否 为 极 值 点 . 0)( xf 如 果 是 极 值 点 , 进 一 步 确 定 是 极 大 值 点 还 是极 小 值 点 ; x例 1 求 函 数 的 极 值 .解 3 2)1()( xxxf ，令 0)( xf .31x得 驻 点)0,( 1,31 31,00 31)(xf )(xf 0 极大值 极小值)1,0(,)1(3 31)( 3 2 xxx xxf函 数 在 其 定 义 域 内 连 续 .),( ,10 时与当 xx 导 数 不 存 在 ; 1 ),1( 不存在无极值 不存在 .0)1( f,3431 3f定 理 3.6 (极 值 的 第 二 充 分 条 件 ) 注 意 : ,)(,0)( 00 处 不 一 定 取 得 极 值在 点时 xxfxf ,0)( 0 xf 则 ,0)( 0 xf设 在 处 具 有 二 阶 导 数 , 且)(xf 0 x(1) 当 时 , 函 数 在 处 取 得 极 大 值 ;)(xf 0 x0)( 0 xf(2) 当 时 , 函 数 在 处 取 得 极 小 值 .)(xf 0 x0)( 0 xf此 时 仍 需 用 定 理 3.5. 极 大 值 极 小 值 解 xxxf 63)( 2 ，令 0)( xf .2,0 21 xx得 驻 点 66)( xxf ,06)0( f ,1)0( f故 极 大 值,06)2( f .3)2( f故 极 小 值).,( 定 义 域 为例 2 求 函 数 的 极 值 .13)( 23 xxxf )(xfy )(xfy 1x 2x 1x 2x2 21 xx 2 21 xx 图 形 上 任 意 弧 段位 于 所 张 弦 的 上 方xyO xyO3.4.2 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 点问 题 : 如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ?图 形 上 任 意 弧 段位 于 所 张 弦 的 下 方 恒 有 2 )()(2 2121 xfxfxxf 2 )()(2 2121 xfxfxxf ;,)( 或 称 凹 的上 是 向 下 凸 的在 区 间则 称 Ixf 设 在 区 间 I 上 连 续 , )(xf定 义 3.2 , 21 Ixx 如 果 恒 有 .,)( 或 称 凸 的上 是 向 上 凸 的在 区 间则 称 Ixf , 21 Ixx 如 果 则内 可 导在上 连 续在 ,),(,)( babaxf定 理 3.7 设 ;,)(,0)(),()1( 上 是 凹 的在则内若 在 baxfxfba .,)(,0)(),()2( 上 是 凸 的在则内若 在 baxfxfba 解 ,3 2xy xy 6时 ，当 0 x ,0y ;0,(, 上 是 凸 的曲 线 在所 以 时 ，当 0 x ,0y .),0, 上 是 凹 的曲 线 在所 以 定 义 3.3 连 续 曲 线 上 凹 凸 性 发 生 变 化 的 点 称 为 曲 线的 拐 点 .例 3 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 .3xy 定 理 3.8 (拐 点 的 第 一 充 分 条 件 ) 设 函 数 在 x0的 某 邻 域 内 连 续 ，)(xfy )( 0 xU在 空 心 邻 域 内 存 在 , )( 0 xU )(xf (1) ,)(0 异 号两 侧若 在 xfx ;)(,( 00 即 为 拐 点则 点 xfx(2) ,)(0 同 号两 侧若 在 xfx .)(,( 00 不 是 拐 点则 点 xfx定 理 3.9 (拐 点 的 第 二 充 分 条 件 ) ,0)(,0)( 00 xfxf若 是则 点 )(,( 00 xfx曲 线 的 拐 点 .)(xfy 解 ,3235 3132 xxy )0(,9 )15(2 34 xxxy .51,0 xy 得令x 51, ),0( 0,5151 0)(xf )(xf 0 凹 的凸 的 凹 的拐 点 不 是拐 点例 4 求 曲 线 的 拐 点 及 凹 凸 区 间 . 函 数 在 其 定 义 域 内 连 续 .),( 3 2)1( xxy ;,0 均 不 存 在处在 yyx 不存在 3 25156,51 例 5 证 明 ).,0,0(,2ln2lnln yxyxyxyxyyxx 证 令 22 )()( yxfyfxf ).0(,ln)( ttttf ,),0(, yxyx .2ln2lnln yxyxyyxx ,1ln)( ttf 01)( ttf所 以 曲 线 在 上 是 严 格 向 下 凸 的 .),0( 有即 .,)( 且 其 图 形 是 凸 的上 连 续在如 果 baxf性 质 ),2,1(0, nipbax ii ,121 nppp )( 22211 xpxpxpf n .21 时 成 立等 号 仅 当 nxxx )()()( 2211 nn xfpxfpxfp 有则 其 中 证 .2,0,2sin)( xxxxf ,2cos)( xxf .)( 的 图 形 是 凸 的xf ,0)0( f又,20 时因 此 当 x .2sin xx .2sin,20 xxx 时例 6 证 明 当 0sin)( xxf设 则 ,02 f即,02)1()0()( ftftxf ,2)1(0 ttx使),1,0(t 沿 着 曲 线上 的 一 动 点当 曲 线 Pxfy )(1. 铅 直 渐 近 线 (垂 直 于 x 轴 的 渐 近 线 ),)(lim)(lim 00 xfxf xxxx 或 3.4.3 函 数 图 形 的 描 绘一 条 渐 近 线 . .)(0 的 一 条 铅 直 渐 近 线就 是那 么 直 线 xfyxx 的就 称 为 曲 线那 么 直 线 )(xfyL 移 向 无 穷 点 时 , 如 果 点 P到 某 定 直 线 L 的 距 离趋 向 于 零 ,如 果 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 两 条 铅 直 渐 近 线 : .3,2 xx 2. 水 平 渐 近 线 (平 行 于 x 轴 的 渐 近 线 ) ),()(lim)(lim 为 常 数或 bbxfbxf xx 例 如 ,arctan xy 有 两 条 水 平 渐 近 线 : .2,2 yy .)( 的 一 条 水 平 渐 近 线就 是那 么 直 线 xfyby xy O22如 果 3. 斜 渐 近 线 ,0)()(lim baxxfx斜 渐 近 线 求 法 ,)(lim axxf x .)(lim baxxfx .)( 的 一 条 斜 渐 近 线就 是 曲 线则 xfybaxy .)( 的 一 条 斜 渐 近 线就 是那 么 xfybaxy 如 果 ),(,0)()(lim 为 常 数babaxxfx 或若 且 注 意 : xxfx )(lim)1( )(lim,)(lim)2( axxfaxxf xx 但解 如 果 ).,1()1,( 定 义 域 为例 7 求 的 渐 近 线 .1 )3)(2(2)( x xxxf 不 存 在 ; 不 存 在 ;可 以 断 定 不 存 在 斜 渐 近 线 .)(xfy )(lim1 xfx xxfx )(lim )1( )3)(2(2lim xx xxx 2 xx xxx 21 )3)(2(2lim 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx 4所 以 , 是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线 .1x所 以 , 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 . 42 xy (1) 确 定 函 数 的 定 义 域 、 间 断 点 、 奇 偶 性 和 周 期 性 .和 拐 点 .(2) 确 定 曲 线 的 渐 近 线 , 把 握 函 数 的 变 化 趋 势 . 确 定 曲 线 的 凹 凸 性 (4) 适 当 计 算 曲 线 上 一 些 点 的 坐 标 ,如 极 值 , 拐 点的 坐 标 , 注 意 曲 线 是 否 与 坐 标 轴 是 否 有 交 点 .函 数 作 图 的 具 体 步 骤 可 归 纳 如 下 : (3) 求 出 函 数 的 单 调 性 和 极 值 , 例 8 描 绘 函 数 的 图 形 .2)1(4)( 2 xxxf解 ),0()0,( 函 数 非 奇 非 偶 .,)2(4)( 3xxxf 4 )3(8)( xxxf ,0)( xf令 ,2x得 驻 点,0)( xf令 .3x得 2)1(4lim)(lim 2xxxf xx 2.2y 定 义 域 为水 平 渐 近 线 : 2)1(4lim)(lim 200 xxxf xx , .0 xx )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2()(xf )(xf 00)(xf 2 0 不 存 在拐 点 极 小 值 间断点3 926,3无 斜 渐 近 线 . ,)2(4)( 3xxxf 4 )3(8)( xxxf ,2)1(4)( 2 xxxf 列 表 确 定 函 数 单 调 区 间 ,凹 凸 区 间 及 极 值 点 和 拐 点 :铅 直 渐 近 线 ),0,31( ),2,1( ),6,1( ).1,2( 作 图2)1(4)( 2 xxxf拐 点 926,3极 小 值 3)2( f补 充 点 ),0,31( x )(xf )(xf )(xf )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2(2 0 0 不 存 在 0 拐 点 极 小 值 间断点2y 0 x水 平 渐 近 线 :垂 直 渐 近 线 : xyO 316 2 21123