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1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法.2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离.3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则. 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为( )CA. a B. aC. a D. a2 632 33 3 6263 如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE.由AB=BC=a,得AC= a.又AA1=2a,所以A1C= a,所以AE= = a.261 1AC AAAC 2 33 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ) BA. B. C. D.34 32 3 34 3 取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC.作AH A1M，垂足为H,则AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM= ,A1M=2,故AH= . 332 3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a, E、F分别是B1C1、BB1的中点，则： (1)直线EF与CD间的距离为 ; (2)直线EF与平面D1AC1的距离是 ; (3)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 .a3 24 a24 a33 (1)取EF的中点G，连接CG，则CG为异面直线EF与CD的公垂线段，且CG= a.(2)易知EF平面D1AC1.过E作EH BC1于H.因为D1C1平面BB1C1C，所以D1C1 EH,故EH平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH= a.(3)因为平面AB1D1平面C1BD,连接A1C,设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O 2,则O1O2为所求距离,且O1O2= A1C= a.3 2424 3313 4.如图，四边形ABCD中，AD BC，AD=AB， BCD=45， BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是( )DA.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC 由已知BA AD,CD BD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.从而CD AB,又BA AD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC. 一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的 的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线， 的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线, . 的长度.线段点到垂足之间线段点到垂足间线段到垂足间线段点 5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线, 的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的 的长度.线段这点到垂足间线段公垂线段 二、求距离的一般方法与步骤1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用 求解.2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求 的距离.3.求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算.平面几何方法点面间 三、折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 .不变 例1 如图，在梯形ABCD中，AD BC， ABC= ,AB=BC= AD=a,PA平面ABCD,且PA=a，点F在AD上，且CF PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD与平面PBC间的距离.2 13 （1）通过论证平面 PAC平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD平面PBC，找到过点A的垂线. (方法一)(1)连接AC.因为PA平面ABCD，所以PA CF.又CF PC，PAPC=P，所以CF平面PAC，所以平面PFC平面PAC.过点A作AH PC于H，所以PH平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=a，所以AC= a,PC= a.在RtPAC中，得AH= a. 2 3 63 (2)因为BC AD，BC 平面PBC，所以AD平面PBC.过A作AE PB于E，又AE BC,PBBC=B,所以AE平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a,所以AE= a. 22 （方法二）(1)建立空间直角坐标系，如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,y,0).则 =(-a,y-a,0), =(-a,-a,a).因为PC CF,所以 ，所以 =(-a)(-a)+(-a)(y-a)+0a=a2-a(y-a)=0.CF CPCF CPCF CP 所以y=2a，即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z), n =-ax+ay=0 x=y n =-ax-ay+az=0 z=2x.取x=1，得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d, =(a,a,0),则d= = = a.则，解得CFCP AC| | | |AC nn 1 1 2 06a a 63 (2)由于 =(-a,0,a), =(0,a,0), =(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0)， n1 =-ax0+az0=0 x0=z0 n1 =ay0=0 y0=0.取x0=1，得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h，因为AD平面PBC，所以h为AD到平面PBC的距离，h= = = a.BP APBC由，得BPBC 11| | |AP nn 2a 22 线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=1， ABC=90.点D、E分别在BB1、A1D上，且B1E A1D，四棱锥CABDA1与直三棱柱的体积之比为3 5.求异面直线DE与B1C1的距离. 因为B1C1 A1B1，且B1C1 BB1，A1B1BB1=B1，故B1C1平面A1ABB1，从而B1C1 B1E.又B1E DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段.设BD的长为x，则四棱锥CABDA1的体积为V1= S四边形ABDA 1BC = (DB+A1A)ABBC = (x+2)BC.131616 而直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V2=SABCAA1= ABBCAA1=BC.由已知条件V1 V2=3 5,故 (x+2)= , 解得x= .从而B1D=B1B-DB= .在RtA1B1D中，A1D= = = .又因为SA 1B1D= A1DB1E= A1B1B1D,故B1E= = . 12 16 3585 25 2 21 1 1AB BD 221 ( )5 29512 121 1 11AB BDAD 2 2929 例2 在直角梯形A B C D中， D= BAD=90，AD=DC= AB=a(如图），将ADC沿AC折起，使D到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为（如图）. 12 （1）若二面角-AC-为直二面角，求二面角-BC-的大小；（2）若二面角-AC-为60，求三棱锥D-ABC的体积. (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，所以AC= a, CAB=45.过点C作CH AB,由AB=2a，可推得AC=BC= a，所以AC BC.取AC的中点E，连接DE，则DE AC.又二面角-AC-为直二面角,所以DE .2 2 又因为BC平面，所以BC DE，所以BC .而DC ，所以BC DC，所以 DCA为二面角-BC-的平面角.由于 DCA=45，所以二面角-BC-的大小为45. (2)取AC的中点E，连接DE，再过点D作DO ，垂足为O，连接OE.因为AC DE，所以AC OE，所以 DEO是二面角-AC-的平面角，所以 DEO=60.在RtDOE中，DE= AC= a，DO=sin60DE= a，所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a 3.12 226413 13 1216 2 2 64 612 分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系. 如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图). (1)证明：AC BO1； (2)求二面角OACO1的正弦值. （方法一）（1）证明：由题设知，OA OO1，OB OO1,所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA OB.从而AO平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影.因为tan OO1B= = ,tan O1OC= = ,所以 OO1B=60， O1OC=30,从而OC BO1，由线面垂直得AC BO1. 1OBOO 3 1 1OCOO 33 (2)由(1)知,AC BO1,OC BO1,知BO1平面AOC.设OCO1B=E,过点E作EF AC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得AC O1F，所以 O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1，所以O1A= =2 ,AC= = ，从而O1F= = .又O1E=OO1sin30= ,所以sin O 1FE= = .32 21OA OO 3 2 21 1O A OC 131 1O A OCAC 2 313 3211OEOF 34 (方法二)(1)证明:由题设知OA OO1,OB OO1.所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图.则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1, )，O1(0,0, ).从而 =(-3,1, ), =(0,-3, ),故 =-3+ =0，所以AC BO1.3 3 AC 3 1BO 3AC 1BO 3 3 (2)因为 =-3+ =0,所以BO1 OC.由(1)知AC BO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，AC1BO 3OC 3 1BO由，得1OC 3 取z= ,得n=(1,0, ).设二面角OACO1的大小为，由n、 的方向可知=n, ，所以cos=cosn， = = = ，则sin= .即二面角OACO1的正弦值为 . 1BO3 3 1BO1BO1 1| | |n BOn BO 32 3 2 34134 134 1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视. 3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法.4.将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力. 5.平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段. 学 例 1 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，AD BC且AD CD；平面CSD平面ABCD，CS DS，CS=2AD=2;E为BS的中点, CE=2,AS=3.求： (1)点A到平面BCS的距离； (2)二面角E-CD-A的大小. (方法一)(1)因为AD BC,且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而点A到平面BCS的距离等于点D到平面BSC的距离.因为平面CSD平面ABCD，AD CD，故AD平面CSD，从而AD DS.由AD BC，得BC DS.又CS DS，故DS平面BSC，从而DS为点D到平面BCS的距离.因此，在R tA D S中，D S = =3-1=2. 2 2AS AD (2)如图所示,过点E作EG CD,交CD于点G,又过点G作GH CD,交AB于H,故 EGH为二面角E-CD-A的平面角,记为.过点E作EF BC,交CS于点F， 连接GF.故= - EGF. 由于E为BS的中点， F为CS的中点故CF= CS=1.在RtCFE中,EF= =2-1=1.2 12 2 2CE CF 因为EF平面CSD，又EG CD，故可证得FG CD，从而又可得CGFCSD，因此 = .而在RtCSD中,CD= = = ,故FG= DS= = .在RtEFG中，tan EGF= = ，可得 EGF= ，故所求二面角的大小为= .GFDS CFCD 2 2CS SD 4 2CFCD 616 2 13 EFFG 3 3 6 (方法二)(1)如图所示，以S(O)为坐标原点，射线SD、SC分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.设A(xA，yA,zA).因为平面COD平面ABCD，AD CD，故AD平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA=0,zA=| |=1.又xA2+12=| |2=3，xA0，解得xA= .ADAS 2 从而A( ，0，1).因AD BC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA= .(2)易知C(0，2，0)，D（ ，0，0）.因为E为BS的中点，BCS为直角三角形，CE= ，知| |=2| |=2 .设B（0，2，zB）,zB0，则zB=2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.所以 =(- ,2,-1), =(0,0,-1),BS2 222 CE 2 AC 2 AD =(0,1,-1), =(- ，-1，-1）.设面平ACD的一个法向量为n1=（x1,y1,z1), n1 =0 - x1+2y1-z=0 n1 =0 0 x1+0y1-z1=0, x1= y1 z1=0同理，平面ECD的一个法向量为n2=( ,1,1).则cosn1,n2= = = .故所求的二面角的大小为 .AC 2EC ED则AD ,即2亦即,令y1=1,则n1=( ,1,0).2 2 2 1 21 2| | |nnn n 2 1 03 2 326 本 节 完 ， 谢 谢 聆 听立足教育，开创未来
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