数学分析课程

一 定 积 分 的 元 素 法 (或 微 元 法 ) 通 过 对 不 均 匀 量 （ 如 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 变 速 直线 运 动 的 路 程 ） 的 分 析 ， 采 用 “ 分 割 、 近 似 代 替 、求 和 、 取 极 限 ” 四 个 基 本 步 骤 确 定 了 它 们 的 值 ， 并由 此 抽 象 出 定 积 分 的 概 念 ， 我 们 发 现 ， 定 积 分 是确 定 众 多 的 不 均 匀 几 何 量 和 物 理 量 的 有 效 工 具 。 那么 ， 究 竟 哪 些 量 可 以 通 过 定 积 分 来 求 值 呢 ？ 为 了 说 明 微 元 法 ， 我 们 先 来 回 顾 一 下 曲 边 梯 形面 积 转 化 为 定 积 分 的 计 算 过 程 。(1) 分 割 ： 任 意 划 分 a,b为 n个 小 区 间1 , , 1,2, ,i ix x i n 相 应 地 把 曲 边 梯 形 分 为 n个 小 曲边 梯 形 , 1,2, , iA i n 则 曲 边 梯 形 的 面 积 为1 ,n iiA A (2)求 近 似 值 ： , 1 iii xx 则 有( ) , 1,2, ,i i iA f x i n (3) 取 极 限 ： | | 0 1lim ( )n i iT iA f x 从 而 1 ( ) .n i iiA f x 即 ( ) .baA f x dx 在 上 述 问 题 中 , 所 求 量 (即 面 积 )A满 足 ：1。 与 区 间 a,b及 a,b上 连 续 函 数 f(x)有 关 ;2。 对 a,b具 有 可 加 性 ， ; 1 ini AA 即3。 )( ,)( iiii xoAfA 且 误 差 为局 部 量 一 般 地 ,如 果 所 求 量 分 布 在 某 区 间 a,x上 ,或 者 说 是 区间 端 点 x的 函 数 ,即 = (x),xa,b,而 (b)正 好 为 最 终 所 求的 值 .如 果 在 任 意 小 区 间 x,x+x上 ,能 把 的 微 小 增 量 近似 地 表 示 为 x的 线 性 形 式 f(x) x,其 中 f(x)为 某 一 连 续 函 数 ,且 当 x0时 , -f(x)x=o(x),即 df(x)dx,那 么 只 要计 算 定 积 分 ( ) ba f x dx 就 能 求 出 量 .以 上 方 法 称 为 微 元 法 . 二 旋 转 曲 面 的 面 积设 平 面 曲 线 C的 方 程 为 y=f(x),xa,b(f(x)0),这 一 曲 线绕 x轴 旋 转 一 周 得 到 旋 转 曲 面 ,如 图 xyO a bx x+xy=f(x)S 通 过 x轴 上 的 点 x与 x+x分 别 作 垂 直 于 x轴 的 平 面 ,它 们在 旋 转 曲 面 上 截 下 一 条 狭 带 .当 x很 小 时 ,此 狭 带 的 面 积 近 似 于 一 圆 台 的 侧 面 积 ,即 2 2 ( ) ( )S f x f x x x y 22 ( ) ) 1 ( ) ,yf x y xx 其 中 y=f(x+ x)-f(x).由 于 2 20 0lim 0, lim 1 ( ) 1 ( ),x x yy f xx 旋 转 曲 面 的 面 积 为所 以 22 1 .baS f x f x dx 2 22 ( ) ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ).yf x y x f x f x x o xx 22 ( ) 1dS f x f x dx 故 2 22S y t x t y t dt . 若 光 滑 曲 线 C由 参 数 方 程 x= x(t),y=y(t),t,给 出 ,且 y(t)0,则 由 弧 微 分 知 识 推 知 曲 线 C绕 x轴 转 所 得 曲 面 的 面 积若 曲 线 由 极 坐 标 方 程 r= r (q定 义 , 0 q ,则 旋 转 曲曲 面 的 面 积 2 22S r r r d q q q q qsin . 24 .R 例 1 求 半 径 为 R的 球 面 面 积 .绕 x轴 旋 转 而 成 ,于 是 2 2y R x R x R, 解 :设 球 面 方 程 为 可 看 作 半 圆2 2 2x y R , 22 2 2 22 1RR xA R x dxR x a ao y x例 2 求 由 内 摆 线 )0(sincos33 atay tax绕 x轴 旋 转 而 成 的 旋 转 曲 面 的 面 积 .解 : 由 对 称 性 3 2 2 2 2204 3 3S a t a t t a t t dt sin ( cos sin ) sin cos ) 2 4 220 1212 5a t tdt a sin cos . 作 业 P255： 1， 2， 3.qqqqq qq dA dttytxtyA ttyy txx dxxfxfdxxfA xx bxaxxfybaxfyxfy baba )()(sin)(2 )()( )()()(2 )()( )( )(1)(2)(2 )(,)()( 22 22 2给 出 ， 则 侧 面 积 公 式 为若 曲 线 段 由 极 坐 标 方 程 ：给 出 ， 则 侧 面 积 公 式 为若 曲 线 段 由 参 数 方 程 的 侧 面 积轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体轴 所 围 曲 边 梯 形 绕 及，连 续 ， 则 由 曲 线在及设 三 小 结