多元函数概念预备知识

多 元 函 数 微 分 学 一、空间直角坐标系与空间的点1 空 间 直 角 坐 标 系 （ 三 维 空 间 ） 右 手 系 横 轴 纵 轴 竖 轴 坐 标 原 点 坐 标 轴 坐 标 平 面 卦 限ox yz 2 空 间 直 角 坐 标 系 下 点 的 坐 标M（ x,y,z): M (x, y, z) 各 坐 标 平 面 上 的 点 各 坐 标 轴 上 的 点 的 坐 标 有 何特 点 ? ox yzx 0P y0QRz0 M(x0,y0,z0 ) 3 空 间 中 两 点 间 的 距 离 公 式 M1（ x1, y1, z1)、 M2(x2, y2, z2) d=M1M2= 点 M（ x, y, z)到 原 点 o的 距 离 d=oM= 2 1 2 1 2 12 2 2( ) ( ) ( )x x y y z z 2 2 2x y z M1 M2ox yz ox z yM 二空间曲面与方程1 曲 面 方 程 的 概 念（ 1） 曲 面 S和 方 程 F（ x, y, z)=0对 于 曲 面 方 程 曲 面 S和 方 程 F（ x, y, z)=0若 ： 点 M（ x, y, z) S F(x, y, z)=0 点 M（ x, y, z) S F(x, y, z) 0 x yzS .M(x,y,z)o 则 称 F(x, y, z)=0是 S的 方 程 ； S是 F(x, y, z)=0的 图 形(2) 关 于 曲 面 研 究 的 两 个 基 本 问 题 : 已 知 曲 面 建 立 方 程 已 知 方 程 讨 论 曲 面 的 形 状 （ 截 痕 法 或 称 截 口 法 ； 化 为 形 状 已 知 的 曲 面 方 程 ） 例 如 ： 建 立 球 面 的 方 程 设 点 A(1, 2, 3)、 B(2, -1, 4) 求 线 段 AB的 垂 直 平 分 面 的 方 程 方 程 表 示 怎 样 的 曲 面 ？2 2 2 2 4 0 x y z x y 解 ： 设 球 心 为 , 半 径 为 R 则 设 垂 直 平 分 面 上 的 点 M(x,y,z) 则 球 心 在 (1,-2,0)， 半 径 为 的 球 面0 0 0( , , )x y z2 2 2 20 0 0:( ) ( ) ( )S x x y y z z R 2 6 2 7MA MB x y z 2 2 2( 1) ( 2) 5x y z 5 A B。M 2 常 见 的 空 间 曲 面 平面 方 程 ax+by+cz=d (a、 b、 c不 全 为 0） 坐 标 平 面 的 方 程 ： z = 0 x0y面 y = 0 x0z面 x = 0 y0z面o x yz 例 如 ： 方 程 2x + 3y=6 x=A y=B z=C 分 别 表 示 什 么 平 面 ？ (三 元 一 次 方 程 平 面 )ox yz A Bx y yxz zoo Co x yz 2x+3y=63 2 柱面 平 行 于 定 直 线 并 沿 曲 线 C（ 准 线 ） 移 动 的 直 线 L（ 母 线 ） 形 成 的 轨 迹 ， 称 为 柱 面 。 平 面 是 柱 面 的 特 例 （ 当 准 线 为 直 线 ） CL ox yz S已 知直 线 例 如 ： 方 程 都 是 柱 面 的 方 程 2 2 2x y R 2 2 2y z R 2 2 2x z R 2 2y xR R Rz xy x yz oS SSS yz zx y 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 二 次 曲 面常 见 的 二 次 曲 面 ：球面： 2 2 21 2 3 1 23 1 2 3a x a y a z b xz b xzb yz c x c y c z d 2 2 2 2x y z R ( 0)R ox yzS 椭球面： 2 2 22 2 2 1x y za b c ( , , , 0)a b c ox yzS 单叶双曲面：双叶双曲面：二次锥面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：2 2 22 2 2 1 ( , , 0)x y z a b ca b c 2 2 22 2 2 1 ( , , 0)x y z a b ca b c 2 2 22 2 2 0 ( , , 0)x y z a b ca b c 2 2 2 ( , 0) x y z p qp q2 2 2 ( , 0)x y z p qp q 3 截 痕 法 已 知 F（ x， y， z） =0 研 究 所 表 示 的 曲 面 的 形状 常 采 用 截 痕 法 ： 用 坐 标 平 面 和 平 行 于 坐 标 平 面的 平 面 去 截 曲 面 ， 考 察 相 截 而 得 到 的 交 线 的 形 状 ；综 合 各 种 情 况 ， 描 绘 出 曲 面F（ x， y， z） = 0 的 大 致 形 状 ox z y 2 2 22 2 2 1x y za b c ( , , 0)a b c 单叶双曲面S o yzx S2 2z y x 双曲抛物面（马鞍面） 0 0 0( ) ( ( )D P P PP D P 2 20 0 0( ) ( , ) ( ) ( )D P x y x x y y ( )D P E .PE 1( ), ( )D P P D P 1P E2 ( )P D P 2P E PE 1 2O xyE1 2 21 ( , )1 4E x y x y 2 2 1x y 2 2 4x y 1 2,P P D ( , ) 0 x y x y 2 2( , )1 4x y x y 0 x y 1( )E ( , ) 0 x y x y 2 2( , )1 4x y x y 0M P E PA M 2 2( , )1 4x y x y ( , ) 0 x y x y D D是 有界 闭 域 D是 无界 开 域D xyo ( ), ( )D P D P 2 22 ( , )0 1E x y x y 2 20 0( , ) ( , ) 1x y x y x y 。E2 1 2( , , , )nx x x( , , )x y z ( , )x yx nRR 2R 3R. . . 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( )n nPQ y x y x y x