矢量分析与场论

电 磁 场 与 电 磁 波鞠 秀 妍 课 程 体 系 电 磁 理 论电 磁 基 本 理 论 电 磁 工 程电 磁 场 源 与 场的 关 系 电 磁 波 在 空 间传 播 的 基 本 规 律 产 生 、 辐 射 、传 播 、 接 收电 磁 干 扰 电 磁 兼 容 各 方 面 的 应 用 l 抽 象 看 不 见 、 摸 不 着l 复 杂 时 域 、 频 域 、 空 域 、 极 化l 要 求 具 有 较 浓 厚 的 数 学 功 底 和 较 强 的 空 间 想 像力l 应 用 广 泛课 程 特 点 电 磁 场 理 论 的 发 展 史l 1785年 法 国 库 仑 (17361806)定 律l 1820年 丹 麦 奥 斯 特 (17771851)发 现 电 流 的 磁 场l 1820年 法 国 安 培 (17751836)电 流 回 路 间 作 用 力l 1831年 英 国 法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 变 化 的 磁 场 产 生 电 场l 1873年 英 国 麦 克 斯 韦 (18311879) 位 移 电 流 时 变 电 场 产 生 磁 场 麦 氏 方 程 组l 1887年 德 国 赫 兹 (18571894) 实 验 证 实 麦 氏 方 程 组 电 磁 波 的 存 在 l 近 代 俄 国 的 波 波 夫 和 意 大 利 的 马 可 尼 电 磁 波 传 消 息l 无 线 电l 当 今 电 信 时 代 “电 ” 、 “ 光 ” 通 信 电 磁 应 用l 射 线l 医 疗 上 用 射 线 作 为 “ 手 术 刀 ” 来 切 除 肿 瘤 l x 射 线l 医 疗 、 飞 机 安 检 ， X射 线 用 于 透 视 检 查l 紫 外 线l 医 学 杀 菌 、 防 伪 技 术 、 日 光 灯l 可 见 光 l 七 色 光 (红 、 橙 、 黄 、 绿 、 青 、 蓝 、 紫 ） l 红 外 线l 在 特 定 的 红 外 敏 感 胶 片 上 能 形 成 热 成 像 （ 热 感 应 ）l 微 波l 军 事 雷 达 、 导 航 、 电 子 对 抗l 微 波 炉l 无 线 电 波l 通 信 、 遥 感 技 术 本 章 主 要 内 容l 1、 矢 量 及 其 代 数 运 算l 2、 圆 柱 坐 标 系 和 球 坐 标 系l 3、 矢 量 场l 4、 标 量 场l 5、 亥 姆 霍 兹 定 理 1.1矢 量 及 其 代 数 运 算l 1.1.1标 量 和 矢 量 电 磁 场 中 遇 到 的 绝 大 多 数 物 理 量 ， 能 够 容 易 地 区 分为 标 量 （ Scalar） 和 矢 量 (Vector)。 一 个 仅 用 大 小 就 能够 完 整 描 述 的 物 理 量 称 为 标 量 ， 例 如 ， 电 压 、 温 度 、时 间 、 质 量 、 电 荷 等 。 实 际 上 ， 所 有 实 数 都 是 标 量 。 一 个 有 大 小 和 方 向 的 物 理 量 称 为 矢 量 ， 电 场 、 磁 场 、力 、 速 度 、 力 矩 等 都 是 矢 量 。 例 如 ， 矢 量 A可 以 表 示成 A=aA 其 中 ， A是 矢 量 A的 大 小 ; a代 表 矢 量 A的 方 向 ， a=A/A其 大 小 等 于 1。 一 个 大 小 为 零 的 矢 量 称 为 空 矢 （ Null Vector） 或 零 矢（ Zero Vector） ， 一 个 大 小 为 1的 矢 量 称 为 单 位 矢 量（ Unit Vector） 。 在 直 角 坐 标 系 中 ， 用 单 位 矢 量 ax、ay、 az表 征 矢 量 分 别 沿 x、 y、 z轴 分 量 的 方 向 。 空 间 的 一 点 P(X,Y,Z)能 够 由 它 在 三 个 相 互 垂 直 的 轴 线上 的 投 影 唯 一 地 被 确 定 ， 如 图 1-1所 示 。 从 原 点 指 向点 P的 矢 量 r称 为 位 置 矢 量 (Position Vector)， 它 在 直 角坐 标 系 中 表 示 为 r=a xX+ayY+azZ P(X, Y, Z) z Z y x X Y O r az ax ay图 1-1 直 角 坐 标 系 中 一 点 的 投 影 X、 Y、 Z是 位 置 矢 量 r在 x、 y、 z轴 上 的 投 影 。任 一 矢 量 A在 三 维 正 交 坐 标 系 中 都 可 以 给 出 其 三个 分 量 。 例 如 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 矢 量 A的 三 个分 量 分 别 是 Ax、 Ay、 Az， 利 用 三 个 单 位 矢 量 ax、ay、 az 可 以 将 矢 量 A表 示 成 ： A=axAx+ayAy+azAz 矢 量 A的 大 小 为 A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.2矢 量 的 加 法 和 减 法 矢 量 相 加 的 平 行 四 边 形 法 则 ， 矢 量 的 加 法 的 坐标 分 量 是 两 矢 量 对 应 坐 标 分 量 之 和 ， 矢 量 加 法的 结 果 仍 是 矢 量 1.1.3矢 量 的 乘 积矢 量 的 乘 积 包 括 标 量 积 和 矢 量积 。 1） 标 量 积任 意 两 个 矢 量 A与 B的 标 量 积(Scalar Product)是 一 个 标 量 ， 它 等 于 两 个 矢 量 的 大 小 与 它们 夹 角 的 余 弦 之 乘 积 ， 如 图1-2所 示 ， 记 为 AB=AB cos Bcos A B 图 1-2 标 量 积 例 如 ， 直 角 坐 标 系 中 的 单 位 矢 量 有 下 列 关 系式 ： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任 意 两 矢 量 的 标 量 积 ， 用 矢 量 的 三 个 分 量 表示 为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 标 量 积 服 从 交 换 律 和 分 配 律 ， 即 AB=BA A(B+C)=AB+AC 2） 矢 量 积 任 意 两 个 矢 量 A与 B的 矢 量 积 （ Vector Product）是 一 个 矢 量 ， 矢 量 积 的 大 小 等 于 两 个 矢 量 的 大小 与 它 们 夹 角 的 正 弦 之 乘 积 ， 其 方 向 垂 直 于 矢量 A与 B组 成 的 平 面 ， 如 图 1-3所 示 ， 记 为 C=A B=anAB sin an=aA aB （ 右 手 螺 旋 ） C B A a n a B a A O CAB B A (a) (b) 图 1 - 3 矢 量 积 的 图 示 及 右 手 螺 旋 (a) 矢 量 积 (b) 右 手 螺 旋 矢 量 积 又 称 为 叉 积 (Cross Product)， 如 果 两 个 不为 零 的 矢 量 的 叉 积 等 于 零 ， 则 这 两 个 矢 量 必 然相 互 平 行 ， 或 者 说 ， 两 个 相 互 平 行 矢 量 的 叉 积一 定 等 于 零 。 矢 量 的 叉 积 不 服 从 交 换 律 ， 但 服从 分 配 律 ， 即 A B= -B A A (B+C)=A B+A C 直 角 坐 标 系 中 的 单 位 矢 量 有 下 列 关 系 式 ： ax ay=az, ay az=ax, az ax=ay ax ax=ay ay=az az= 0 在 直 角 坐 标 系 中 ， 矢 量 的 叉 积 还 可 以 表 示 为 zyx zyx BBB AAA zyx aaaBA =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)ya 结 论l 矢 量 的 加 减 运 算 同 向 量 的 加 减 ， 符 合 平 行 四 边形 法 则l 任 意 两 个 矢 量 的 点 积 是 一 个 标 量 ， 任 意 两 个 矢量 的 叉 积 是 一 个 矢 量l 如 果 两 个 不 为 零 的 矢 量 的 点 积 等 于 零 ， 则 这 两个 矢 量 必 然 互 相 垂 直l 如 果 两 个 不 为 零 的 矢 量 的 叉 积 等 于 零 ， 则 这 两个 矢 量 必 然 互 相 平 行 1.2 圆 柱 坐 标 系 和 球 坐 标 系l 1.2.1 圆 柱 坐 标 系l 空 间 任 一 点 P的 位 置 可 以 用 圆 柱 坐 标 系 中 的 三 个 变 量 来 表 示 。 l 圆 柱 坐 标 系 中 也 有 三 个 相 互垂 直 的 坐 标 面 。l 平 面 表 示 一 个 以 z轴 为 轴 线 的 半 径为 的 圆 柱 面 。 平 面 表 示 一 个 以 z为 界 的 半 平 面 。 平 面 z=常 数 表 示 一 个 平 行 于xy平 面 的 平 面 。2 2x y arctan( )yx 00 2z l 圆 柱 坐 标 系 中 的 三 个 单 位 矢 量 为 ,分 别 指向 增 加 的 方 向 。 三 者 始 终 保 持 正 交 关 系 。（ 课 本 P4）l 圆 柱 坐 标 系 的 位 置 矢 量l 圆 柱 坐 标 系 中 的 单 位 矢 量 与 直 角 坐 标 系 的 单 位 矢量 之 间 的 关 系 ： , , za a a z zr a acos sin x ya a a( sin ) cos x ya a a l 矩 阵 形 式 ： cos sinsin cos0 0 xyzaaa zaaa l 三 个 坐 标 面 的 面 元 矢 量 与 体 积 元 ：zzd dl dl d dzd dl dl d dzd dl dl d ddV d d dz z z zS a aS a aS a a 1.2.2球 坐 标 系 ：l 球 坐 标 系 中 ， 空 间 任 意 一 点 P可 用 三 个 坐 标 变 量 （ )来 表 示 。,r l 球 坐 标 系 也 有 三 个 坐 标 面 ： 表 示 一 个 半 径 为 r的 球 面 。 坐 标 面 =常 数 ， 表 示 一 个 以 原 点 为 顶 点 、 以 z轴为 轴 线 的 圆 锥 面 。 坐 标 面 表 示 一 个 以 z轴 为 界 的 半 平 面 。 2 2 2r x y z arctan( )yx 000 2r l 球 坐 标 系 的 位 置 矢 量 可 表 示 为 ：l 球 坐 标 系 中 的 三 个 单 位 矢 量 互 相 正 交 ， 遵 守 右 手螺 旋 法 则 。 （ 课 本 P6） r rr a l 球 坐 标 系 与 直 角 坐 标 系 的 单 位 矢 量 的 转 换 ：sin cos cos cos sinsin sin cos sin coscos sin xyzaaa raaa l 面 元 矢 量 和 体 积 元 ： 2 2 sinsinsinrrrd dl dl r d dd dl dl r drdd dl dl rdrddV dl dl dl r drd d r r rS a aS a aS a a 1.3 矢 量 场1.3.1矢 量 场 的 矢 量 线 矢 量 场 空 间 中 任 意 一 点 P处 的 矢 量 可 用 一个 矢 性 函 数 A=A（ P） 来 表 示 。 直 角 坐 标中 ， 可 以 表 示 成 如 下 形 式 ： ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y zA x y z A x y z A x y z x y zA a a a l 矢 量 线 ： 在 曲 线 上 的 每一 点 处 ， 场 的 矢 量 都 位于 该 点 处 的 切 线 上 。 如电 力 线 ， 磁 力 线 等 。l 矢 量 线 方 程 ：l 直 角 坐 标 系 中 ， 其 表 达式 为 ：l 0A dr x y zdx dy dzA A A 0d A r 例 1-2 求 矢 量 场 A=xy2ax+x2yay+zy2az的 矢 量 线 方 程 。解 ： 矢 量 线 应 满 足 的 微 分 方 程 为 zydzyxdyxydx 222 zydzxydx yxdyxydx 22 22 222 1 cyx xcz从 而 有 解 之 即 得 矢 量 方 程 c1和 c2是 积 分 常 数 。 1.3.2矢 量 场 的 通 量 及 散 度将 曲 面 的 一 个 面 元 用 矢 量 dS来 表 示 ， 其 方 向 取 为 面 元 的 法 线 方向 ， 其 大 小 为 dS， 即 d dss nn是 面 元 法 线 方 向 的 单 位 矢 量 。A与 面 元 dS的 标 量 积 称 为 矢 量 场 A穿 过 dS的 通 量cosd A dS A S 将 曲 面 S各 面 元 上 的 AdS相 加 ， 它 表 示 矢 量 场 A穿 过 整 个 曲面 S的 通 量 ， 也 称 为 矢 量 A在 曲 面 S上 的 面 积 分 ： 如 果 曲 面 是 一 个 封 闭 曲 面 ， 则 coss sd A dS A S cos s sd A dS A S l 2、 矢 量 场 的 散 度 zayaxa zyx 哈 米 尔 顿 （ H amilton） 算 子 为 了 方 便 ， 引 入 一 个 矢 性 微 分 算 子 ： 在 直 角 坐 标 系 中 称 之 为 哈 米 尔 顿 算 子 ， 是 一 个 微分 符 号 ， 同 时 又 要 当 作 矢 量 看 待 。 算 子 与 矢 性 函数 A的 点 积 为 一 标 量 函 数 。 在 直 角 坐 标 系 中 ， 散度 的 表 达 式 可 以 写 为 结 论l divA是 一 标 量 ， 表 示 场 中 一 点 处 的 通 量 对 体积 的 变 化 率 ， 即 在 该 点 处 对 一 个 单 位 体 积 来 说所 穿 出 的 通 量 ， 称 为 该 点 处 源 的 强 度 。l 它 描 述 的 是 场 分 量 沿 各 自 方 向 上 的 变 化 规 律 。l 当 divA0， 表 示 矢 量 场 A在 该 点 处 有 散 发 通 量的 正 源 ， 称 为 源 点 ； divA0,表 示 矢 量 场 A在该 点 处 有 吸 收 通 量 的 负 源 ， 称 为 汇 点 ；divA=0， 矢 量 场 A在 该 点 处 无 源 。l divA0的 场 是 连 续 的 或 无 散 的 矢 量 场 。 l 3、 高 斯 散 度 定 理l 矢 量 场 散 度 的 体 积 分 等 于 矢 量 场 在 包 围 该 体 积的 闭 合 面 上 的 法 向 分 量 沿 闭 合 面 的 面 积 分 .V SdV d A A S 例 :球 面 S上 任 意 点 的 位 置 矢 量 为 r=xax+yay+zaz， 求 解 ： 根 据 散 度 定 理 知 而 r的 散 度 为 3 zzyyxxr所 以 s vdS dV rs dSr 33s v vd dV dV R r S l 1.3.2矢 量 场 的 环 量 及 旋 度l 1、 环 量 的 定 义 设 有 矢 量 场 A， l为 场 中 的 一 条 封 闭 的 有 向 曲 线 ，定 义 矢 量 场 A环 绕 闭 合 路 径 l的 线 积 分 为 该 矢 量 的环 量 ， 记 作 矢 量 的 环 量 和 矢 量 穿 过 闭 合 面 的 通 量 一 样 ， 都 是描 绘 矢 量 场 A性 质 的 重 要 物 理 量 ， 同 样 都 是 积 分量 。 为 了 知 道 场 中 每 个 点 上 旋 涡 源 的 性 质 ， 引 入矢 量 场 旋 度 的 概 念 。若 环 量 不 等 于 0， 则 在 L内 必 然 有 产 生 这 种 场的 旋 涡 源 ， 若 环 量 等 于 0， 则 在 L内 没 有 旋 涡源 。 cosl ld A dl A l 矢 量 场 的 环 量 zx yO ldl AP nPl S 闭 合 曲 线 方 向 与 面 元 的 方 向 示 意 图 2、 矢 量 场 的 旋 度l 1） 旋 度 的 定 义 设 P为 矢 量 场 中 的 任 一 点 ， 作 一 个 包 含 P点 的 微小 面 元 S， 其 周 界 为 l， 它 的 正 向 与 面 元 S的法 向 矢 量 n成 右 手 螺 旋 关 系 。 当 曲 面 S在 P点处 保 持 以 n为 法 矢 不 变 的 条 件 下 ， 以 任 意 方 式缩 向 P点 ， 取 极 限lim lS P dS A l 若 极 限 存 在 ， 则 称 矢 量 场 A沿 L正 向 的 环 量 与面 积 S之 比 为 矢 量 场 在 P点 处 沿 n方 向 的 环 量面 密 度 ， 即 环 量 对 面 积 的 变 化 率 。 l 必 存 在 一 个 固 定 矢 量 R， 它 在 任 意 面 元 方 向 上 的 投 影就 给 出 该 方 向 上 的 环 量 面 密 度 ， R的 方 向 为 环 量 面 密度 最 大 的 方 向 ， 其 模 即 为 最 大 环 量 面 密 度 的 数 值 。 称固 定 矢 量 R为 矢 量 A的 旋 度 。 旋 度 为 一 矢 量 。l rotA=Rl 旋 度 矢 量 在 n方 向 上 的 投 影 为 ： l 直 角 坐 标 系 中 旋 度 的 表 达 式 为 ： l 一 个 矢 量 场 的 旋 度 表 示 该 矢 量 场 单 位 面 积 上 的环 量 ， 描 述 的 是 场 分 量 沿 着 与 它 相 垂 直 的 方 向上 的 变 化 规 律 。l 若 旋 度 不 等 于 0， 则 称 该 矢 量 场 是 有 旋 的 ， 若旋 度 等 于 0， 则 称 此 矢 量 场 是 无 旋 的 或 保 守 的l 旋 度 的 一 个 重 要 性 质 ： 任 意 矢 量 旋 度 的 散 度 恒 等 于 零 ， 即 ( A)0 如 果 有 一 个 矢 量 场 B的 散 度 等 于 零 ， 则该 矢 量 B就 可 以 用 另 一 个 矢 量 A的 旋 度 来表 示 ， 即 当 B=0 则 有 B= A l 3、 斯 托 克 斯 定 理矢 量 分 析 中 另 一 个 重 要 定 理 是 dSrotAd Sl lA称 之 为 斯 托 克 斯 定 理 ， 其 中 S是 闭 合 路 径 l所 围 成 的面 积 ， 它 的 方 向 与 l的 方 向 成 右 手 螺 旋 关 系 。 该 式 表明 ： 矢 量 场 A的 旋 度 沿 曲 面 S法 向 分 量 的 面 积 分 等 于该 矢 量 沿 围 绕 此 面 积 曲 线 边 界 的 线 积 分 。 例 ： 已 知 一 矢 量 场 F=axxy-ayzx, 试 求 ：（ 1） 该 矢 量 场 的 旋 度 ;（ 2） 该 矢 量 沿 半 径 为 3的四 分 之 一 圆 盘 的 线 积 分 ， 如 图 所 示 ， 验 证 斯 托 克斯 定 理 。 y B O x r3 A四 分 之 一 圆 盘 例 ： 求 矢 量 A=-yax+xay+caz(c是 常 数 )沿 曲 线 (x-2)2+y2=R2, z=0的 环 量 (见 图 1-6)。 解 ： 由 于 在 曲 线 l上 z=0， 所 以 dz=0。 2 220 22220 202220 20202 )cos2( cos2)cos(sin cos)cos2(sin )sin()cos2()cos2(sin )(R dRR dRR dRRdR RdRRdR xdyydxdl lA 例 :求 矢 量 场 A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在 点 M(1， 0， 1)处的 旋 度 以 及 沿 n=2ax+6ay+3az方 向 的 环 量 面 密 度 。 解 ： 矢 量 场 A的 旋 度 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )rotA x y zx z y y x z z y xz y x z y x x y z x y z a a aA a a a 在 点 M(1， 0， 1)处 的 旋 度 2M x y zA a a an方 向 的 单 位 矢 量 2 2 21 2 6 3(2 6 3 ) 7 7 72 6 3 x y z x y zn a a a a a a在 点 M(1， 0， 1)处 沿 n方 向 的 环 量 面 密 度 7177327672 nA M 1.4 标 量 场l 一 个 仅 用 大 小 就 可 以 完 整 表 征 的 场 称 为 标 量 场l 等 值 面l 方 向 导 数l 梯 度l 梯 度 的 积 分 l 1、 等 值 面l 为 考 察 标 量 场 的 空 间 分 布 ， 引 入 等 值 面 的 概 念 。 一 个 标 量 场可 以 用 一 个 标 量 函 数 来 表 示 。 例 如 ， 标 量 是 场 中 点 的 单 值 函 数 ， 它 可 表 示 为l 而 是 坐 标 变 量 的 连 续 可 微 函 数 ， 令l 随 着 C的 取 值 不 同 ， 得 到 一 组 曲 面 。 在 每 一 个 曲面 上 的 各 点 ， 虽 然 坐 标 值 不 同 ， 但 函 数 值 均 为 C。这 样 的 曲 面 称 为 标 量 场 u的 等 值 面 。= ( , , )u u x y z u ( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , )=u x y z C 例 如 温 度 场 中 的 等 值 面 ， 就 是 由 温 度 相 同 的 点所 组 成 的 等 温 面 ； 电 位 场 中 的 等 值 面 ， 就 是 由电 位 相 同 的 点 组 成 的 等 位 面 。l 如 果 某 一 标 量 物 理 函 数 u仅 是 两 个 坐 标 变 量 的函 数 ， 这 种 场 称 为 平 面 标 量 场 （ 即 二 维 场 ） ，则 u(x, y)=C （ C为 任 意 常 数 ） 称 为 等 值 线 方 程 ， 它 在 几 何 上 一 般 表 示 一 组 等值 曲 线 。 场 中 的 等 值 线 互 不 相 交 。 如 地 图 上 的等 高 线 ， 地 面 气 象 图 上 的 等 温 线 、 等 压 线 等 等都 是 平 面 标 量 场 的 等 值 线 的 例 子 。 l 2、 方 向 导 数l 为 了 研 究 标 量 函 数 在 场 中 各 点 的 邻 域 内 沿 每 一方 向 的 变 化 情 况 ， 引 入 方 向 导 数 。l 当 上 式 极 限 存 在 ， 则 称 它 为 函 数 u(P)在 点 P0处 沿 方 向 的 方 向 导 数 。 l l 方 向 导 数 的 计 算 公 式 ：l 在 直 角 坐 标 系 中 ， 设 在 点 P0（ x0,y0,z0） 处可 微 ， 则 有l 点 P0至 P点 的 距 离 矢 量 为若 与 轴 的 夹 角 分 别 为 ,则同 理 有 ,l 也 称 为 的 方 向 余 弦 。 = ( , , )u u x y z0( ) ( ) u u uu u P u P x y zx y z cos cos cosu u u ul x y z x y zl a x a y a z , ,x y z , , cosxx l a l cosy l cosz l lcos ,cos cos l l 例 ： 求 数 量 场 =(x+y)2-z通 过 点 M(1, 0, 1)的 等 值 面 方 程 。 解 ： 点 M的 坐 标 是 x0=1, y0=0, z0=1， 则 该 点 的 数 量 场值 为 =(x0+y0)2-z0=0。 其 等 值 面 方 程 为 22 )( 0)( yxz zyx 或 例 :求 数 量 场 在 点 M(1, 1, 2)处 沿 l=ax+2ay+2az方 向 的 方 向 导 数 。 解 ： l方 向 的 方 向 余 弦 为 z yxu 22 32221 2cos 32221 2cos 31221 1cos 222 222 222 而 2 22 )(,2,2 z yxzuztyuzxxu 数 量 场 在 l方 向 的 方 向 导 数 为 2 2232232231 coscoscos z yxzyzx zuyuxulu 在 点 M处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 324232132131 Ml l 3、 梯 度l 方 向 导 数 解 决 了 函 数 U(P)在 给 定 点 处 沿 某 个 方 向 的 变 化率 问 题 。 但 是 从 标 量 场 中 的 给 定 点 出 发 ， 有 无 穷 多 个 方 向 ，函 数 沿 其 中 哪 个 方 向 其 变 化 率 最 大 呢 ？ 最 大 的 变 化 率 又 是多 少 呢 ？ l 对 同 样 的 U的 增 量 du， 存 在 着 最 大 的 空 间 增 长 率 ， 即 最 大的 方 向 导 数 。 很 明 显 ， 沿 等 值 面 的 法 线 方 向 的 方 向 导 数 最大 ， 其 距 离 最 短 。l 因 此 可 定 义 用 来 表 示 一 个 标 量 最 大 空 间 的 增 长 率 的 大 小 和 方 向 的 矢 量 G， 就 是 标 量 的 梯 度 。 图 3-2 梯 度 ln l l 梯 度 公 式 ：l 梯 度 又 可 以 表 示 为 算 子 与 标 量 函 数 相 乘 ：l 标 量 拉 普 拉 斯 算 子 ：l 直 角 坐 标 系 中 标 量 函 数 的 拉 普 拉 斯 表 达 式 ： 2 l 4、 梯 度 的 性 质 ：l 方 向 导 数 等 于 梯 度 在 该 方 向 上 的 投 影 ：l 在 标 量 场 中 任 意 一 点 P处 的 梯 度 垂 直 于 过 该 点 的 等 值面 ， 或 说 等 值 面 法 线 方 向 就 是 该 点 的 梯 度 方 向 由 此 ， 可 将 等 值 面 上 任 一 点 单 位 法 向 矢 量 表示 为 ： 0u u ll ( , , )u x y z 0 uu n l 梯 度 的 旋 度 恒 等 于 零 ： 0u uufuf vuuvvvu uvvuuv vuvu uccu c )()( )(1)( ,)( )( ,)( ,0 2 l 5、 梯 度 的 积 分l 设 标 量 场 u,标 量 场 梯 度 F是 一 个 无 旋 场 ， 则 由 斯 托克 斯 定 理 可 知 ， 无 旋 场 沿 闭 合 路 径 的 积 分 必 然 为 零 ：( )l su d u d l s 1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 2 0l PC P PC PPC P PC Pu d u d u du d u d l l ll l 2 21 12 1( ) ( )P PP Pu P u dl u P F dl C l 这 说 明 积 分 与 路 径 无 关 ， 仅 与 始 点 P1和 终 点 P2的位 置 有 关 。l 选 定 P1为 参 考 点 ， P2为 任 意 动 点 ， 则 P2点 的 函 数值 可 以 表 示 成 ：l 如 果 已 知 一 个 无 旋 场 ， 选 定 一 个 参 考 点 ， 就 可 求得 其 标 量 场 u.2 21 1 2 1( ) ( )P PP Pu d du u P u P l l结 论 ： 1.5 亥 姆 霍 兹 定 理l 矢 量 场 的 散 度 、 旋 度 和 标 量 场 的 梯 度 都 是 场 性质 的 重 要 度 量 。 换 言 之 ， 一 个 矢 量 场 所 具 有 的性 质 ， 可 完 全 由 它 的 散 度 和 旋 度 来 表 明 ； 一 个标 量 场 的 性 质 则 完 全 可 以 由 它 的 梯 度 来 表 明 。亥 姆 霍 兹 定 理 就 是 对 矢 量 场 性 质 的 总 结 说 明 。l 无 旋 场 的 散 度 不 能 处 处 为 零 ， 同 样 ， 无 散 场 的旋 度 也 不 能 处 处 为 零 ， 否 则 矢 量 场 就 不 存 在 。l 任 何 一 个 矢 量 场 都 必 须 有 源 ， 矢 量 场 的 散 度 对应 发 散 源 ， 矢 量 场 的 旋 度 对 应 旋 涡 源 。 l 当 一 个 矢 量 场 的 两 类 源 在 空 间 的 分 布 确 定 时 ，该 矢 量 场 就 唯 一 地 确 定 了 ， 这 一 规 律 称 为 亥 姆霍 兹 定 理 。l 因 为 场 是 由 它 的 源 引 起 的 ， 所 以 场 的 分 布 由 源的 分 布 决 定 。 现 在 矢 量 的 散 度 、 旋 度 为 已 知 ，即 源 分 布 已 确 定 ， 自 然 ， 矢 量 场 分 布 也 就 唯 一地 确 定 。 l 研 究 任 意 一 个 矢 量 场 都 应 该 从 散 度 和 旋 度 两 个方 面 去 进 行 （ 或 通 量 和 环 量 ） 。 l 矢 量 场 基 本 方 程 的 微 分 形 式 ：l 矢 量 场 基 本 方 程 的 积 分 形 式 ：l 亥 姆 霍 兹 定 理 非 常 重 要 ， 它 总 结 了 矢 量 场 的 基 本性 质 ， 是 研 究 电 磁 场 理 论 的 一 条 主 线 。 无 论 是 静态 场 ， 还 是 时 变 场 ， 都 要 研 究 场 矢 量 的 散 度 、 旋度 以 及 边 界 条 件 A A JS V l sd dVd d A SA l J S l 源 和 场 的 关 系 ：