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高 中 数 学 教 材 中 引 入 了 空 间 向 量 坐 标运 算 这 一 内 容 ， 使 得 在 解 决 立 体 几 何 平 行 、垂 直 、 夹 角 、 距 离 等 问 题 时 更 加 程 序 化 ，只 需 代 入 公 式 进 行 代 数 运 算 即 可 ， 这 里 常常 需 要 首 先 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 所需 点 的 坐 标 。 广 西 高 考 数 学 卷 中 立 体 几 何 大 题 都 是同 时 能 用 几 何 法 与 向 量 法 这 两 种 方 法 解题 的 ， 在 用 向 量 法 方 面 ， 找 点 坐 标 的 难度 在 逐 年 增 大 ， 很 多 学 生 因 为 求 不 出 点坐 标 又 不 会 用 几 何 法 解 题 而 丢 分 为 解 决 求 点 坐 标 难 的 问 题 ， 现 将 在 空间 直 角 坐 标 系 中 求 点 坐 标 的 方 法 整 理 总 结 ，以 求 能 突 破 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 求 点 坐 标难 的 问 题 。 如 何 写 出 或 求 出 空 间 直 角 坐 标系 下 点 的 坐 标 ？ 例 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面ABCD是 矩 形 ， AB=4, AD=2, 平 行 六 面 体 高 为 ，顶 点 D在 底 面 A1B1C1D1的 射 影 O是 C1D1中 点 ， 设 AB1D1的 重 心 G， 建 立 适 当 空 间 直 角 坐 标 系 并 写出 下 列 点 的 坐 标 。 (1) A1 、 B1 、 A、 D1； (2) G; (3) B; (4)若 N为 DD1上 点 ， 且ON DD1写 出 N坐 标 。 32A B CD B 1 C1D1A1 O 例 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面ABCD是 矩 形 ， AB=4,AD=2,平 行 六 面 体 高 为 ，顶 点 D在 底 面 A1B1C1D1的 射 影 O是 C1D1中 点 ， 设 AB1D1的 重 心 G， 建 立 适 当 空 间 直 角 坐 标 系 并 写出 下 列 点 的 坐 标 。(1) A1 、 B1 、 A、 D1； (2) G;32（ 1） A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A(2,0, )、 D1 (0, -2, 0 ) 32(2) 332,0,34G 投 影 法公 式 法 yzxA B CD B1 C1D1A1 O 例 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面ABCD是 矩 形 ， AB=4,AD=2,平 行 六 面 体 高 为 ，顶 点 D在 底 面 A1B1C1D1的 射 影 O是 C1D1中 点 ， 设 AB1D1的 重 心 G， 建 立 适 当 空 间 直 角 坐 标 系 并 写出 下 列 点 的 坐 标 。 (3) B; 32(3)设 B ( x, y, z ), 则 又 ,比 较 得 点 B坐 标 为 32,2,0,2,2 11 DDzyxBB DDBB 11 32,4,2 zyx 32,4,2 A B CD B1 C1D1A1 O yzx向 量 法 例 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面ABCD是 矩 形 ， AB=4,AD=2,平 行 六 面 体 高 为 ，顶 点 D在 底 面 A1B1C1D1的 射 影 O是 C1D1中 点 .(4)若 N为 DD1上 点 ， 且 ON DD1写 出 N坐 标 。 32A B CD B 1 C1D1A1 O yzxN解 : (4) 三 点 共 线 ， 可 设即 , 故 11 DDND 32,2,032,2,01 ND 32,22,011 NDODON DND ,1 32,22,0 N 01 DDON 41,012140 23,23,0N 向 量 法 一 、 投 影 法 将 空 间 点 P分 别 投 影 到 x轴 、 y轴 、 z 轴所 得 投 影 点 为 A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)则 点 P坐 标 为 (a,b,c) 。二 、 公 式 法 利 用 线 段 的 中 点 坐 标 公 式 、 定 比 分 点 坐标 公 式 、 三 角 形 的 重 心 坐 标 公 式 、 距 离 公 式 、夹 角 公 式 等 求 出 点 的 坐 标 。三 、 向 量 法利 用 向 量 相 等 、 垂 直 等 运 算 求 出 点 坐 标 。 zx y例 1. (2011广 西 高 考 题 )如 图 ， 四 棱 锥 S ABCD中 ，AB CD， BC CD， 侧 面 SAB为 等 边 三 角形 ,AB=BC=2， CD=SD=1.（ I） 证 明 ： SD 平 面 SAB ；（ II） 求 AB与 平 面 SBC所 成 的 角 的 大 小 解 析 ： （ I） 设 S（ x, y, z )(x 0, y 0, z 0) 由得又 得 解 得 y= ,z= S（ 1, , )（ II） arcsin B 例 2 如 图 ， 一 张 平 行 四 边 形 的 硬 纸 ABC0D中 ，AD=BD=1,AB= .沿 它 的 对 角 线 BD折 起 ， 使点 C0到 达 平 面 外 C点 的 位 置 。 若求 二 面 角 A BD C的 大 小 。2 z yx， 解 析 ： 如 图 A(1, 0, 0) B(0, 1, 0) CB DB 可 设 C（ x, 1, z )（ z 0) ， x= z =，解 得 C（ ,1, ) 60 如 图 ， 四 面 体 ABCD中 ， CA=BC=CD= BD=2， AB=AD= ， 试 在 BC 上 找 一 点 E， 使 点 E到 平 面ACD的 距 离 为 .2 O. zx yO是 BD中 点 ，AO 平 面 SAB E 如 图 ， 四 面 体 ABCD中 ， CA=BC=CD=BD= 2， AB=AD= ， 试 在 BC 上 找 一 点 E， 使 点 E到 平 面ACD的 距 离 为 .2 O zx y 解 析 一 ：x= y=，解 得 E（ , ,1 ) 故 E为 BC中 点Ed= = =即 E 如 图 ， 四 面 体 ABCD中 ， CA=BC=CD= 2， AB=AD= ， 试 在 BC 上 找 一 点 E， 使 点 E到 平 面ACD的 距 离 为 .2 E.zx yE 解 析 二 ： 平 面 ACD的 平 面 方 程 为即 到 平 面的 距 离 =x= y=，解 得 E（ , ,1 ) 故 E为 BC中 点 O 如 图 ， 已 知 AB , BC , CD BC, CD与 平面 成 30 角 ， AB=BC= CD=2.（ 1） 求 线 段 AD的 长 ；（ 2） 求 二 面 角 D-AC-B的 正 弦 值 。B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)由 CD BC(y轴 ) ,知 y=2又 由 CD=2， 且 CD与 平 面 成 30 角得 x= CDcos 30 = , z=CDsin30 =1分 析 ： 建 系 如 图 ， 设 D(x,y,z),D（ , 2, 1 ) zx y
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