三角函数任意角(第一课时)

1.1 任 意 角 和 弧 度 制 1.1.1 任 意 角第 一 章 三 角 函 数 高 中 新 课 程 数 学 必 修 第 一 课 时 问 题 提 出1.角 是 平 面 几 何 中 的 一 个 基 本 图 形 ， 角是 可 以 度 量 其 大 小 的 .在 平 面 几 何 中 ， 角的 取 值 范 围 如 何 ？ 2.体 操 是 力 与 美 的 结 合 ， 也 充 满 了 角 的概 念 2002年 11月 22日 ， 在 匈 牙 利 德 布勒 森 举 行 的 第 36届 世 界 体 操 锦 标 赛 中 ，“ 李 小 鹏 跳 ” “ 踺 子 后 手 翻 转 体 180度 接 直 体 前 空 翻 转 体 900度 ” ， 震 惊 四 座 ，这 里 的 转 体 180度 、 转 体 900度 就 是 一 个角 的 概 念 . 3.过 去 我 们 学 习 了 0 360 范 围 的 角 ，但 在 实 际 问 题 中 还 会 遇 到 其 他 角 如 在体 操 、 花 样 滑 冰 、 跳 台 跳 水 等 比 赛 中 ，常 常 听 到 “ 转 体 10800” 、 “ 转 体 12600”这 样 的 解 说 再 如 钟 表 的 指 针 、 拧 动 螺丝 的 扳 手 、 机 器 上 的 轮 盘 等 ， 它 们 按 照不 同 方 向 旋 转 所 成 的 角 ， 不 全 是 0 3600范 围 内 的 角 .因 此 ， 仅 有 0 360范 围 内 的 角 是 不 够 的 ， 我 们 必 须 将 角 的概 念 进 行 推 广 . 知 识 探 究 （ 一 ） ： 角 的 概 念 的 推 广 思 考 1： 对 于 角 的 图 形 特 点 有 如 下 两 种 认识 ： 角 是 由 平 面 内 一 点 引 出 的 两 条 射线 所 组 成 的 图 形 （ 如 图 1） ； 角 是 由 平面 内 一 条 射 线 绕 其 端 点 从 一 个 位 置 旋 转到 另 一 个 位 置 所 组 成 的 图 形 （ 如 图 2） .你 认 为 哪 种 认 识 更 科 学 、 合 理 ？ 图 2图 1 思 考 2： 如 图 ， 一 条 射 线 的 端 点 是 O， 它从 起 始 位 置 OA旋 转 到 终 止 位 置 OB， 形 成了 一 个 角 ， 其 中 点 O， 射 线 OA、 OB分 别叫 什 么 名 称 ？ AOB 始 边终边 顶 点 思 考 3： 在 齿 轮 传 动 中 ， 被 动 轮 与 主 动 轮是 按 相 反 方 向 旋 转 的 .一 般 地 ， 一 条 射 线绕 其 端 点 旋 转 ， 既 可 以 按 逆 时 针 方 向 旋转 ， 也 可 以 按 顺 时 针 方 向 旋 转 .你 认 为 将一 条 射 线 绕 其 端 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 600所 形 成 的 角 ， 与 按 顺 时 针 方 向 旋 转 600所形 成 的 角 是 否 相 等 ？ 思 考 4： 为 了 区 分 形 成 角 的 两 种 不 同 的 旋转 方 向 ， 可 以 作 怎 样 的 规 定 ？ 如 果 一 条射 线 没 有 作 任 何 旋 转 ， 它 还 形 成 一 个 角吗 ？ 规 定 ：按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 叫 做 正 角 ，按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 叫 做 负 角 如 果 一 条 射 线 没 有 作 任 何 旋 转 ， 则 称 它形 成 了 一 个 零 角 . 画 图 表 示 一 个 大 小 一 定 的 角 ，先 画 一 条 射 线 作 为 角 的 始 边 ，再 由 角 的 正 负 确 定 角 的 旋 转方 向 ， 再 由 角 的 绝 对 值 大 小确 定 角 的 旋 转 量 ， 画 出 角 的终 边 ， 并 用 带 箭 头 的 螺 旋 线加 以 标 注 . B2 AB1 O思 考 5： 度 量 一 个 角 的 大 小 ， 既 要 考 虑 旋 转 方向 ， 又 要 考 虑 旋 转 量 ， 通 过 上 述 规 定 ， 角 的范 围 就 扩 展 到 了 任 意 大 小 . 对 于 210 ， 150 ， 660 ， 你 能 用 图 形 表 示 这些 角 吗 ？ 你 能 总 结 一 下 作 图 的 要 点 吗 ？ 思 考 6： 如 果 你 的 手 表 慢 了 20分 钟 ， 或 快了 1.25小 时 ， 你 应 该 将 分 钟 分 别 旋 转 多少 度 才 能 将 时 间 校 准 ？ 120 ， 450 .思 考 7： 任 意 两 个 角 的 数 量 大 小 可 以 相 加 、相 减 ， 如 50 80 =130 ， 50 80 = 30 ， 你 能 解 释 一 下 这 两 个 式子 的 几 何 意 义 吗 ？ 以 50 角 的 终 边 为 始 边 ， 逆 时 针 （ 或 顺时 针 ） 旋 转 80 所 成 的 角 . 思 考 8： 一 个 角 的 始 边 与 终 边 可 以 重 合 吗 ？如 果 可 以 ， 这 样 的 角 的 大 小 有 什 么 特 点 ？ k360 （ k Z） 知 识 探 究 （ 二 ） ： 象 限 角 思 考 1： 为 了 进 一 步 研 究 角 的 需 要 ， 我 们常 在 直 角 坐 标 系 内 讨 论 角 ， 并 使 角 的 顶点 与 原 点 重 合 ,角 的 始 边 与 x轴 的 非 负 半轴 重 合 ， 那 么 对 一 个 任 意 角 ， 角 的 终 边可 能 落 在 哪 些 位 置 ？ xo y 思 考 2： 如 果 角 的 终 边 在 第 几 象 限 ， 我 们就 说 这 个 角 是 第 几 象 限 的 角 ； 如 果 角 的终 边 在 坐 标 轴 上 ， 就 认 为 这 个 角 不 属 于如 何 象 限 ， 或 称 这 个 角 为 轴 线 角 .那 么 下列 各 角 ： -50 ， 405 ， 210 , -200 ， 450 分 别 是 第 几 象 限 的 角 ？ 50 xyo xyo210 450 xyo 405 xyo 200 xyo 思 考 3： 锐 角 与 第 一 象 限 的 角 是 什 么 逻 辑关 系 ？ 钝 角 与 第 二 象 限 的 角 是 什 么 逻 辑关 系 ？ 直 角 与 轴 线 角 是 什 么 逻 辑 关 系 ？思 考 4： 第 二 象 限 的 角 一 定 比 第 一 象 限 的角 大 吗 ？ 象 限 角 只 能 反 映 角 的 终 边 所 在 象 限 ， 不能 反 映 角 的 大 小 . 思 考 5： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 135 角 的 终边 在 什 么 位 置 ？ 终 边 在 该 位 置 的 角 一 定是 135 吗 ？ xyo 知 识 探 究 （ 三 ） ： 终 边 相 同 的 角 思 考 1： 32 ， 328 ， 392 是 第 几象 限 的 角 ？ 这 些 角 有 什 么 内 在 联 系 ？ 32 392 xyo328 思 考 2： 与 32 角 终 边 相 同 的 角 有 多 少 个 ？这 些 角 与 32 角 在 数 量 上 相 差 多 少 ？ 思 考 3： 所 有 与 32 角 终 边 相 同 的 角 ，连 同 32 角 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合 S，你 能 用 描 述 法 表 示 集 合 S吗 ？ S= | = k360 ， k Z， 即 任一 与 终 边 相 同 的 角 ， 都 可 以 表 示 成 角 与 整 数 个 周 角 的 和 .思 考 4： 一 般 地 ， 所 有 与 角 终 边 相 同 的角 ， 连 同 角 在 内 所 构 成 的 集 合 S可 以 怎样 表 示 ？ 知 识 拓 展 思 考 1： 终 边 在 x轴 正 半 轴 、 负 半 轴 ， y轴正 半 轴 、 负 半 轴 上 的 角 分 别 如 何 表 示 ？ x轴 正 半 轴 ： = k360 ;x轴 负 半 轴 ： = 180 k360 ;y轴 正 半 轴 ： = 90 k360 ;y轴 负 半 轴 ： = 270 k360 . 其 中 k Z . 思 考 2： 终 边 在 x轴 、 y轴 上 的 角 的 集 合 分别 如 何 表 示 ？ 终 边 在 x轴 上 ：S= | =k180 ， k Z.终 边 在 y轴 上 ：S= | =90 k180 ,k Z. 思 考 3： 第 一 、 二 、 三 、 四 象 限 的 角 的 集合 分 别 如 何 表 示 ？ 第 一 象 限 ：S= |k3600 900 k3600,k Z；第 二 象 限 ：S= |900 k3600 1800+k3600,k Z；第 三 象 限 ：S= |1800 k3600 2700+k3600,k Z；第 四 象 限 ：S= | 90 0 k3600 k3600， k Z. 理 论 迁 移 例 1 在 0 360 范 围 内 ， 找 出与 950 12 角 终 边 相 同 的 角 ， 并 判定 它 是 第 几 象 限 角 . 129 48 ， 第 二 象 限 角 . 例 2 求 与 3900 终 边 相 同 的 最 小正 角 和 最 大 负 角 . 300 ， -60 . S= | =45 k180 ， k Z. 例 3 写 出 终 边 在 直 线 y=x上 的 角 的 集合 S， 并 把 S中 适 合 不 等 式 -360 720 的 元 素 写 出 来 . 315 ， -135 ， 45 ， 225 ，405 ， 585 . 110 ， 230 ， 350 . 例 4 已 知 角 的 终 边 与 30 角 的终 边 关 于 x轴 对 称 ， 试 在 0 360 范围 内 ， 找 出 与 终 边 相 同 的 角 . 3 例 5 如 果 是 第 二 象 限 的 角 ， 那 么 2 、 /2分 别 是 第 几 象 限 的 角 ？90 k360 180 k36045 k180 /290 k180180 k720 2 360 k720 小 结 作 业1.角 的 概 念 推 广 后 ， 角 的 大 小 可 以 任 意 取 值 . 把 角 放 在 直 角 坐 标 系 中 进 行 研 究 ， 对 于 一 个给 定 的 角 ， 都 有 唯 一 的 一 条 终 边 与 之 对 应 ，并 使 得 角 具 有 代 数 和 几 何 双 重 意 义 .2.终 边 相 同 的 角 有 无 数 个 ， 在 0 360 范围 内 与 已 知 角 终 边 相 同 的 角 有 且 只 有 一 个 . 用 除 以 360 ， 若 所 得 的 商 为 k， 余 数 为 （ 必 须 是 正 数 ） ， 则 即 为 所 找 的 角 . 练 习 ：P5 ： 3， 4， 5. 作 业 ：P9 习 题 1.1 A组 ： 1， 2,3.