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（一）基础知识1、证明两个三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3、角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。 因此，角平分线可以看作是角的内部到角两边的距离相等的点的集合。 OC平分 AOB，PD OA于D，PE OB于E PD=PEO BPA ED PD OA于D，PE OB于E ，且PD=PE OC平分 AOB 4、图形变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 例1、如图，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求证：BE=DF A BCD EF 例1、如图，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求证：BE=DF A BCD EF分析要证BE=DF，只需证CBECDF而CD=CB， CEB= CFD=90，只需证CE=CF，这可由角平分线的性质得到 例1、如图，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求证：BE=DF A BCD EF证明： AC平分 BAD， CF AD，CE AB， CE=CF， CEB= CFD=90在RtCBE和RtCDF中， RtCBE RtCDF BE=DF CE=CFCD=CB 例2、已知，如图，OD平分 AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM BD，PN AD，求证：PM=PN ABO P DM N 例2、已知，如图，OD平分 AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM BD，PN AD，求证：PM=PN 分析由于PM、PN是点P到 ADB的两边的距离，所以只需证OD平分 ADB，这可通过证明OBD OAD得到ABO P DM N 例2、已知，如图，OD平分 AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM BD，PN AD，求证：PM=PN ABO P DM N12 34,1 2.1 2 .OD AOBOBD OADOB OAOD ODOBD OAD 证明：平分在和中，3 4. , ,.PM BD PN ADPM PN 例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在 C的平分线上AB CD EP 例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在 C的平分线上AB CD EPM NO分析 过点P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N，要证点P在 C的平分线上，只需证PO=PN而由已知可知，PM=PN，PM=PO，得证 例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在 C的平分线上AB CD EPM NO证明：过点P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N点P是角平分线AD、BE的交点， PM=PN，PM=PO PN=PO PO BC，PN AC，点P在 C的平分线上 小结三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等 小结三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等 发展1、如图，点P是ABC的两个外角的平分线的交点，则点P到ABC三边所在直线的距离相等，且点P在 B的平分线上AB C P 小结三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等 发展1、如图，点P是ABC的两个外角的平分线的交点，则点P到ABC三边所在直线的距离相等，且点P在 B的平分线上2、到三角形三边距离相等的点有4个。（在三角形内部，只有一个；在三角形外部，有3个） AB C P 例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O 例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O DE F分析过O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于F由已知易证OD=OE=OF，由此可知 : : : : . ABO BCO ACOS S S AB BC AC 例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O DE F解：过O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于FABC三个内角的平分线的交点为O， OD=OE=OF 1 1 1, , ,2 2 2 : : : : 2:3:4.ABO BCO ACOABO BCO ACOS AB OD S BC OF S AC OES S S AB BC AC （二）常见辅助线的添加方法例5、在ABC中，AD是BC边上的中线，（1）求证：ABAC2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 AB CD （二）常见辅助线的添加方法例5、在ABC中，AD是BC边上的中线，（1）求证：ABAC2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 AB CD E分析 （1）延长AD到E，使得DE=AD易证ACD EBD（SAS）从而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2AD2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 AB CD E分析 （1）延长AD到E，使得DE=AD易证ACD EBD（SAS）从而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2ADAD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论 AB C D 例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分 BAD，ABAD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论 分析在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE易证ACEACD CD=CE在BCE中，BECB-CE，即AB-AECB-CE， AB-ADCB-CD AB C DE 1 2 例8、如图， 1= 2，P为BN上一点，若 PCB+ BAP=180，求证：PA=PCAB CP12 例8、如图， 1= 2，P为BN上一点，若 PCB+ BAP=180，求证：PA=PC分析1 由已知 1= 2，可以构造全等三角形，在BC上取一点D，使得BD=AB，连结PD，易证ABPDBP，从而得到PA=PD要证PA=PC，只需证PC=PD，这可以通过证明 PCB= PDC得到AB CP12 D 例8、如图， 1= 2，P为BN上一点，若 PCB+ BAP=180，求证：PA=PC证法1：在BC上取一点D，使得BD=AB连结PD在ABP和DBP中， ABPDBP PA=PD， BAP= BDP PCB+ BAP=180， PDC+ BDP=180， PCB= PDC PD=PC PA=PC AB CP12 D1 2AB BDPB PB 例8、如图， 1= 2，P为BN上一点，若 PCB+ BAP=180，求证：PA=PC分析2过点P作PE AB于E，PD BC于D，可知PE=PD，易证PAE PCD，从而得到PA=PC AB CP12 DE 例8、如图， 1= 2，P为BN上一点，若 PCB+ BAP=180，求证：PA=PC证明：过点P作PE AB于E，PD BC于D PEA= PDC=90 1= 2， PE=PD PCB+ BAP=180， PAE+ BAP=180， PCB= PAE在PAE和PCD中， PAEPCD PA=PC AB CP12 DEPAE PCBPEA PDC PE PD 小结上述两种方法是与角平分线有关的问题中常见的两种添加辅助线的方法，即构造全等三角形或作角两边的垂线
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