线性代数课件：第1章 行列式（Determinant）

线线 性性 代代 数数 线性代数线性代数课程基本要求课程基本要求u线线性性代代数数的的先先修修课课为为高高等等数数学学，是是高高等等院院校校各各专专业业的的重重要要基基础础课课，同同时时也也是是研研究究生生入入学学考考试试数数学学科科目目的的基基本本内内容容，因因此此学学好好线线性性代代数数课课程程非非常常重重要要.本本课课程程要要求求各各位位同同学学理理解解各个定义之间的内在逻辑，掌握相关的运算技能各个定义之间的内在逻辑，掌握相关的运算技能.u希望各位同学能够按时上课，认真并及时完成作业希望各位同学能够按时上课，认真并及时完成作业.u平时成绩占期末考试的平时成绩占期末考试的20%20%，分为，分为考勤成绩考勤成绩(40(40分分)；作作业业成成绩绩(40(40分分，通通常常每每位位同同学学有有7 7次次成成绩绩，其其中中作作业业成成绩绩5 5次次，小小测测试试以以及及提提问问成成绩绩2 2次次)；附附加加成成绩绩(20(20分分，包包括括小小论论文、课前思考题解答、教学建议、教材中存在的问题等文、课前思考题解答、教学建议、教材中存在的问题等).).附附附附1 1：作业成绩标准：作业成绩标准：作业成绩标准：作业成绩标准A+:95-100分分A :90-95 分分A-:85-90 分分B+:80-85 分分B :75-80 分分B-:70-75 分分C+:65-70 分分C :60-65 分分C-:55-60 分分D :55分以下分以下附附2：关于作业问题关于作业问题1 1要求使用作业纸要求使用作业纸要求使用作业纸要求使用作业纸2 2每周周一上交作业，并注意以下问题：每周周一上交作业，并注意以下问题：每周周一上交作业，并注意以下问题：每周周一上交作业，并注意以下问题：第第第第一一一一次次次次作作作作业业业业上上上上交交交交后后后后，每每每每个个个个同同同同学学学学会会会会分分分分配配配配给给给给一一一一个个个个序序序序号号号号.随随随随后后后后，单单单单周周周周批批批批改改改改序序序序号号号号在在在在1-151-151-151-15之之之之间间间间同同同同学学学学的的的的作作作作业业业业，序序序序号号号号为为为为16161616及及及及以以以以上上上上同同同同学学学学的的的的作作作作业于双周批改业于双周批改业于双周批改业于双周批改.作业首页左上角写清楚个人的序号；作业首页左上角写清楚个人的序号；作业首页左上角写清楚个人的序号；作业首页左上角写清楚个人的序号；辛辛辛辛苦苦苦苦课课课课代代代代表表表表同同同同学学学学，负负负负责责责责将将将将收收收收齐齐齐齐后后后后的的的的作作作作业业业业按按按按从从从从小小小小到到到到大大大大的的的的学学学学号号号号顺序排序顺序排序顺序排序顺序排序.辅助教材推荐辅助教材推荐1 1：David C.Lay,Linear Algebra and its applications,机机械工业出版社械工业出版社.辅助教材推荐辅助教材推荐2 2：同同同同济济济济大大大大学学学学数数数数学学学学系系系系,工工工工程程程程数数数数学学学学线线线线性性性性代代代代数数数数,高高高高等等等等教教教教育育育育出出出出版版版版社社社社.辅助教材推荐辅助教材推荐3 3：梁保松梁保松梁保松梁保松,苏本堂，线性代数及苏本堂，线性代数及苏本堂，线性代数及苏本堂，线性代数及其应用其应用其应用其应用,中国农业出版社中国农业出版社中国农业出版社中国农业出版社.辅助教材推荐辅助教材推荐4 4：高桥信，漫画线性代数高桥信，漫画线性代数高桥信，漫画线性代数高桥信，漫画线性代数,科学出版社科学出版社科学出版社科学出版社.历史上历史上,行列式因线性方程组的求解而提出行列式因线性方程组的求解而提出 G.W.Leibniz德德(1646.7.11716.11.14)1646.7.11716.11.14)S.Takakazu日日(16421708.10.24)(16421708.10.24)第第1 1章章 行列式行列式（Determinant）1.1 1.1 1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 考虑用消元法解二元一次方程组考虑用消元法解二元一次方程组 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第第1 1节节 行列式的概念行列式的概念用用a22和和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得得 同理，消去同理，消去x1得得二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式 当时，方程组的解为时，方程组的解为当时，方程组的解为时，方程组的解为为便于叙述和记忆，为便于叙述和记忆，引入符号引入符号D=D1=称称D为二阶行列式二阶行列式.按照二阶行列式定义可得按照二阶行列式定义可得D2=于是，当于是，当D00时，方程组的解为时，方程组的解为j=1,2,3.类似引入符号，类似引入符号，类似引入符号，类似引入符号，其中其中其中其中D D1,1,1,1,D D2,2,2,2,D D3 3 3 3分别为将分别为将分别为将分别为将D D的第的第的第的第1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式 求解三元方程组求解三元方程组求解三元方程组求解三元方程组称称称称D D为为为为三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.25431 是一个是一个5级排列级排列.如，如，3421 是是4级排列；级排列；例例例例1 1写出所有的写出所有的写出所有的写出所有的3 3级全排列级全排列级全排列级全排列.解：解：所有的所有的3级排列为：级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2 排列排列定定定定义义义义：n n 个个个个自自自自然然然然数数数数1,2,1,2,n n 按按按按一一一一定定定定的的的的次次次次序序序序排排排排成成成成的的的的一一一一个个个个无无无无重重重重复复复复数数数数字字字字的的的的有有有有序序序序数数数数组组组组称称称称为为为为一一一一个个个个 n n 级级级级排排排排列列列列，记记记记为为为为i i1 1i i2 2iin n.显显显显然然然然，n n 级排列共有个级排列共有个级排列共有个级排列共有个n n!.其中，排列其中，排列其中，排列其中，排列1212n n称为称为称为称为自然排列自然排列自然排列自然排列.3 4 2 1逆序数的计算方法逆序数的计算方法(向前看法向前看法)43 2 1从而得从而得(3421)=5=5.5逆序及逆序数逆序及逆序数定定定定义义义义 在在在在一一一一个个个个n n级级级级排排排排列列列列i i1 1i i2 2 i in n中中中中，若若若若一一一一个个个个较较较较大大大大的的的的数数数数排排排排在在在在一一一一个个个个较较较较小小小小数数数数的的的的前前前前面面面面，则则则则称称称称这这这这两两两两个个个个数数数数构构构构成成成成一一一一个个个个逆逆逆逆序序序序.一一一一个个个个排排排排列列列列中中中中逆逆逆逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为序的总数，称为这个排列的逆序数，记为序的总数，称为这个排列的逆序数，记为序的总数，称为这个排列的逆序数，记为(i i1 1i i2 2 i in n).奇排列与偶排列奇排列与偶排列逆序数是奇数的排列，称为逆序数是奇数的排列，称为奇排列奇排列.逆序数是偶数或逆序数是偶数或0的排列，称为的排列，称为偶排列偶排列.如如 3421是奇排列，是奇排列，1234是偶排列是偶排列，因为因为(3421)=5=5.因为因为(1234)=0=0.逆序及逆序数逆序及逆序数定定定定义义义义 在在在在一一一一个个个个n n级级级级排排排排列列列列i i1 1i i2 2 i in n中中中中，若若若若一一一一个个个个较较较较大大大大的的的的数数数数排排排排在在在在一一一一个个个个较较较较小小小小数数数数的的的的前前前前面面面面，则则则则称称称称这这这这两两两两个个个个数数数数构构构构成成成成一一一一个个个个逆逆逆逆序序序序.一一一一个个个个排排排排列列列列中中中中逆逆逆逆序的总数，称为这个排列的序的总数，称为这个排列的序的总数，称为这个排列的序的总数，称为这个排列的逆序数逆序数逆序数逆序数，记为，记为，记为，记为(i i1 1i i2 2 i in n).定义定义定义定义 符号符号符号符号称为称为称为称为n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式，它表示代数和它表示代数和 其中和式中的排列其中和式中的排列其中和式中的排列其中和式中的排列 j j1 1 j j2 2 j jn n要取遍所有要取遍所有要取遍所有要取遍所有n n级排列级排列级排列级排列.元素元素元素元素a ai ji j列标列标列标列标行标行标行标行标1.3 n 阶行列式阶行列式n 阶行列式定义阶行列式定义a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann (3)n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项.(-1)(j1 j2 jn).之前的符号是之前的符号是n 个元素的乘积个元素的乘积.(1)在行列式中在行列式中,项项是取自不同行不同列的是取自不同行不同列的 行列式有时简记为行列式有时简记为|a ij|.一阶行列式一阶行列式|a|就是就是a.=说明：说明：(2)项项以三阶行列式为例以三阶行列式为例以三阶行列式为例以三阶行列式为例 每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积.每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的行列式的行列式的行列式的6 6项恰好对应于项恰好对应于项恰好对应于项恰好对应于1,2,31,2,3的的的的6 6种排列种排列种排列种排列.各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序数的逆序数 对所有不同的三级排列对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和求和 写出三阶行列式的一般形式写出三阶行列式的一般形式 a14a23a31a44a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42再如，四阶行列式再如，四阶行列式再如，四阶行列式再如，四阶行列式a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 (1)(4312)a14a23a31a42为为为为行列式中的一项行列式中的一项行列式中的一项行列式中的一项.表示的代数和中有表示的代数和中有4!=24项项.a14a23a31a42取自不同行不同列取自不同行不同列,的列标排列为的列标排列为4312不是不是行列式中的一项行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，所以它所以它(为奇排列为奇排列)，D=行列式计算行列式计算 解：解：解：解：根据行列式定义根据行列式定义根据行列式定义根据行列式定义例例例例1 1计算计算计算计算2 2 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式D D=注：注：注：注：3 3 3 3阶行列式的计算类似，略阶行列式的计算类似，略阶行列式的计算类似，略阶行列式的计算类似，略.例例2计算计算 n 阶下三角形行列式阶下三角形行列式D的值的值其中其中aii 0(i=1,2,n).D=a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann 解：解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)(1 2 n)a11a22a33 ann第一行只能取第一行只能取a11，第三行只能取第三行只能取a33，第二行只能取第二行只能取a22，第第 n 行只能取行只能取ann.，这样这样不为零不为零的的乘积乘积项只有项只有a11a22a33 ann，所以所以=a11a22a33 ann.例例3计算计算 n 阶行列式阶行列式D的值的值D D=0 00 00 0b bn nb bn-1n-1*0 00 0*b b1 1*0 0b b2 2*解：解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(1)(n n-1 21)b1b2b3 bn第一行只能取第一行只能取b1，第第n-1行只能行只能第二行只能取第二行只能取b2，第第 n 行只能取行只能取bn.，这样这样不为零不为零的的乘积乘积项只有项只有b1b2b3 bn，所以所以取取bn-1，下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann =a11a22a33 ann.上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：a11000a12a2200a13a23a330 a1na2na3nann =a11a22a33 ann.对角形行列式的值：对角形行列式的值：对角形行列式的值：对角形行列式的值：a11000 0a2200 00a330 000ann =a11a22a33 ann.结论结论：作业：作业：作业：作业：ENDEND1 1 1 1计算下列行列式：计算下列行列式：计算下列行列式：计算下列行列式：2 2 2 2求解下列线性方程组：求解下列线性方程组：求解下列线性方程组：求解下列线性方程组：3 3 3 3确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性.(1)1423 (2)25143 (3)6573412(1)1423 (2)25143 (3)6573412