线性代数课件：惯性定律与正定二次型

4.6 惯性定律与正定二次型1.惯性定律2.正定二次型1.1.惯性定律惯性定律 化二次型为标准形，所用可逆线性变换不同，化成的标准化二次型为标准形，所用可逆线性变换不同，化成的标准形一般也不同那么，形一般也不同那么，标准形中哪些量是由二次型本身唯一确标准形中哪些量是由二次型本身唯一确定的，而不依赖所作的变换？定的，而不依赖所作的变换？定理定理1 (1 (惯性定律惯性定律)实二次型经过任何可逆线性变换化为标准实二次型经过任何可逆线性变换化为标准形，不但非零项的项数一定形，不但非零项的项数一定(它等于二次型的秩它等于二次型的秩)，而且正项、负，而且正项、负项的项数也分别相同项的项数也分别相同 标准形的正项项数标准形的正项项数 p 叫做二次型的叫做二次型的正惯性指正惯性指(数数)标标；负项项数负项项数 q 叫做二次型的叫做二次型的负惯性指负惯性指(数数)标标 这里，这里，p+q=r(r 为二次型的秩为二次型的秩).定义定义1 1 若二次型若二次型f=X TAX对于任意非零的对于任意非零的n 维向量维向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,则称则称f=XTAX为为正定二次型正定二次型，并称，并称A为为正定矩阵正定矩阵.若二次型若二次型f=X TAX对于任意非零的对于任意非零的n 维向量维向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,则称则称f=XTAX为为半正定二次型半正定二次型，并称，并称A为为半正定矩阵半正定矩阵.2 2 正定二次型正定二次型若二次型若二次型f=X TAX对于任意非零的对于任意非零的n 维向量维向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,则称则称f=XTAX为为正定二次型正定二次型，并称，并称A为为正定矩阵正定矩阵.如如是是正定正定二次型；二次型；是是半正定半正定二次型；二次型；是是不定不定二次型二次型.例例1.1.判定二次型判定二次型 的正定性的正定性解：解：二次型的矩阵为二次型的矩阵为因因A的特征值都大于零，故的特征值都大于零，故A正定，即该二次型正定正定，即该二次型正定.正定二次型的判定（正定二次型的判定（3种方法）种方法）定理定理1 1 n元实二次型正定的充要条件是正惯性指标等于元实二次型正定的充要条件是正惯性指标等于n.定理定理2 2 n元实二次型正定的充要条件是其矩阵的元实二次型正定的充要条件是其矩阵的n个特征值个特征值都是正数都是正数.定理定理3 3 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定的充要条件是正定的充要条件是A的各阶的各阶顺序顺序主子式主子式都大于零都大于零，即，即 例例2.2.判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性(1)(2)解：解：(1)的系数矩阵为的系数矩阵为各阶顺序主子式为各阶顺序主子式为(2)的系数矩阵为的系数矩阵为阶顺序主子式为阶顺序主子式为所以所以(1)是正定二次型是正定二次型.所以所以(2)不是正定二次型不是正定二次型.解：解：二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为由定理由定理3知知,应有应有例例3.3.求求 t 的取值范围，使下列二次型为正定二次型的取值范围，使下列二次型为正定二次型.即有方程组即有方程组解得解得即当即当时，二次型正定时，二次型正定.作业：作业：作业：作业：137137页页页页 9 9（33）、）、）、）、1212、13131.重点掌握通过正交变换将二次型标准化的方法!2.总结判断某个矩阵正定或者某个二次型正定的方法线性代数课程到此结束！接下来的时间，请各位同学认真复习，复习中，有任何问题可随时联系我！