线性代数课件：相似矩阵与矩阵的对角化

4.2 4.2 相似矩相似矩阵阵与矩与矩阵阵的的对对角化角化 一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质 二、二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件 1 1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 定义定义2 2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性：自反性：A A 对称性：对称性：若若AB，则则BA 传递性：传递性：若若AB，BC，则则 AC 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征值则它们有相同的特征值.证明：证明：因为因为P-1AP B，A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式，|l lE-B|P-1(l lE)P-P-1AP|l lE-P-1AP|P-1(l lE-A)P|P-1|l lE-A|P|l lE-A|，所以它们有相同的特征值所以它们有相同的特征值.定义定义2 2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.假如假如A与对角矩阵相似，与对角矩阵相似，对角矩阵对角线上的元素对角矩阵对角线上的元素即即A的特征值的特征值 注：注：有相同的特征多项式的方阵不一定相似有相同的特征多项式的方阵不一定相似.例：例：特征多项式均为特征多项式均为(l l-1)2,但不存在但不存在P-1EP=A.相似矩阵还具有下述性质：相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；相似矩阵有相同的秩；(2)相似矩阵的行列式相等；相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相等；定理定理1 1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征值则它们有相同的特征值.(4)AmBm,m为正整数为正整数.解解：由于由于A和和B相似，所以相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即即 解解：由于矩阵由于矩阵A和和D相似相似，所以所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.例例1.若矩阵若矩阵相似，求相似，求x,y.解得解得例例2.设设3阶方阵阶方阵A相似于相似于,求求|A|.定理定理2 2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.2 2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件 例如，矩阵例如，矩阵A 有两个不同的特征值有两个不同的特征值l l1 4,l l2-2,1-5 1 1 其对应特征向量分别为其对应特征向量分别为x x1 ，x x2 .1 1-5 1 取取P(x x1,x x2)，则则 1-5-5 1 1所以所以A与与对角矩阵相似对角矩阵相似.P-1AP-1 1-5-116-5-1 3 1 1-5 1 1 0-2 4 0，问题问题：若取若取P(x x2,x x1)，问问LL？称为A可对角化 推推论论 若若n阶阶矩矩阵阵A有有n个个相相异异的的特特征征值值l l1，l l2，l ln，则则A与与对角矩阵对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似相似.注意注意 A有有n个相异特征值只是个相异特征值只是A可化为对角矩阵的可化为对角矩阵的充分条件充分条件,而不是而不是必要条件必要条件.且有且有Ax x1-2x x1，Ax x2 x x2，Ax x3 x x3，向量组是向量组是A的线性无关的的线性无关的特征向量特征向量.所以当所以当P(x x1,x x2,x x3)时，有时，有 例如例如，A ，x x1 ，x x2 ，x x3 ，4-3-3 6-6-5 0 1 0-1 1 1-2 0 1 0 1 0 P-1AP diag(-2-2,1,1).A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)解：解：(1)矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为l l-1-6-3 3 6l l+5+5 -3l l-4-3|l lE-A|矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2-2,l l3 4，对于特征值对于特征值l l3 4，解线性方解线性方程组程组(4 4E-A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3=.112 对于特征值对于特征值l l1 l l2-2,解线性解线性方程组方程组(-2E-A)X o，1 110-101得其基础解系得其基础解系x x1=,x x2=.(l l+2+2)2(l l-4)-4)0，(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.由于由于A有有3个线性无关的特征个线性无关的特征 向量向量x x1，x x2，x x3，所以所以A相似于相似于对角阵对角阵L L.所求的相似变换矩阵为所求的相似变换矩阵为 P=(x x1，x x2，x x3),1 0 1 -1-1 1 1 0 0 1 2 1对角阵为对角阵为L L ,-2 0 0 0 0 0 0 -2 0 4 0满足满足 P-1 A P L L.A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.l l+1-1 4 4-1 0l l-3-3 0 0l l-2 0 0|l lE-B|(l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵B的特征值为的特征值为 l l1 l l211,l l3 2.对于特征值对于特征值l l1 l l211,解线性方解线性方程组程组(E-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x1=，12-1 对于特征值对于特征值l l3 2，解线性方解线性方程组程组(2 2E-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x2=.001显然显然，B不能相似于对角阵不能相似于对角阵.A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.解：解：(2)矩阵矩阵B的特征方程为的特征方程为 作业：作业：137137页页 5(1)5(1)思考题：思考题：设设问问x取何值时，矩阵取何值时，矩阵A可对角化可对角化.解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0 (l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1，l l3 2.对于特征值对于特征值l l1 l l2 1，解线性方程组解线性方程组(E-A)X o，例例2.求矩阵求矩阵A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值与特征向量的特征值与特征向量.于是，于是，A的对应于的对应于l l1 l l2 1的全部特征向量为的全部特征向量为得其基础解系得其基础解系 ，12-1(c1不为不为0).-1 1-4 1 0 3 0 2 0(3)对于矩阵 A 及特征值l1，解齐次线性方程组(lE-A)XO 因为特征矩阵E-A所以齐次线性方程组(E-A)XO的一般解为1+1-1 4-1 01-3 01-2 02-1 4-1 0-2 0-1 010 00 01 10 2，基础解系为 12-1x1-x3x2-2x3 解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为l l+1-1 0(l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1，l l3 2.对于特征值对于特征值l l3 2，解线解线性方程组性方程组(2E-A)X o，例例2.求矩阵求矩阵A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值与特征向量的特征值与特征向量.于是，于是，A的对应于的对应于l l3 2的全的全部特征向量为部特征向量为得其基础解系得其基础解系 ，001|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0(c2不为不为0).-1 1-4 1 0 3 0 2 0(4)对于矩阵 A 及特征值l2，解齐次线性方程组(lE-A)XO 因为特征矩阵2E-A所以齐次线性方程组(2E-A)XO的一般解为2+1-1 4-1 02-3 02-2 03-1 4-1 0-1 0 0 010 00 01 00 0，基础解系为 001x10 x20为什么为什么?有关特征值和特征向量 特征值和特征向量的知识在物理学和统计学中用特征值和特征向量的知识在物理学和统计学中用特征值和特征向量的知识在物理学和统计学中用特征值和特征向量的知识在物理学和统计学中用处很大，有时在求处很大，有时在求处很大，有时在求处很大，有时在求n n阶方阵的阶方阵的阶方阵的阶方阵的p p次幂时也有用。次幂时也有用。次幂时也有用。次幂时也有用。比如比如比如比如 5-1 3 1 5-1 3 1 5-1 3 1特征值特征值特征值特征值特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征值特征值特征值特征值有关特征值和特征向量 5-1 3 1 1-5 1 1 4 10101010 4 -2=1-5 1 1 0-2 4 0=特征值特征值特征值特征值 5-1 3 1 1-5 1 1 1-5 1 1-1=0-2 4 0 1-5 1 1 1-5 1 1-1 0-2 4 0 5-1 3 1=5-1 3 1p=?=?例例8 8设设A为为三三阶阶方方阵阵，其其特特征征值值互互不不相相同同，若若|A|0|A|0，则则A A的的秩秩为为_.(2008 2008 数三数三)例例7 7设设A为为二二阶阶方方阵阵，a a1 1,a,a2 2为为线线性性无无关关的的二二维维列列向向量量，Aa a1 1=0，Aa a2 2=2a a1 1+a a2 2,则则A的非零特征值为的非零特征值为_.(2008 2008 数一数一)分析：分析：第二个式子第二个式子左乘左乘AA A2 2a a2 222AaAa1 1+AaAa2 2 AaAa2 2l l2 22 2a a2 2 l l2 2a a2 2，可推知，可推知l l2 211