常见分式函数的研究

常 见 分 式 函 数 的 研 究 常 见 分 式 函 数 的 研 究1、 反 比 例 函 数 ：一 、 分 子 或 分 母 都 是 关 于 x的 一 次 型 的 分 式 函 数)0k(xk)x(f 的 图 象 和 性 质(1)定 义 域： ( ,0) (0, ) (2)值 域 ： ( ,0) (0, ) (3)奇 偶 性： 只 是 奇 函 数。(4)单 调 性： K0时 ,只 有 单 调 减 区 间 ： ( ,0),(0, ). K0)或 向 右(ab0)或 向右 (ab0)或 下 (ac0)平 移 个 单 位 长 度 ,得 到 的 。| |ba| |ca 是 中 心 对 称 图 形 ,对 称 中 心 是 (- , ) 。ba ca 1、 特 殊 ： 对 勾 函 数 ：二 、 分 子 是 二 次 且 分 母 是 一 次 的 分 式 函 数( ) ( 0)af x x ax 的 图 象 和 性 质(1)定 义 域： ( ,0) (0, ) (6)值 域 ： ( , ),( , )a a (2)奇 偶 性： 只 是 奇 函 数。(5)单 调 性： ( , ( ) ( ( ), ).f a f a (3)图 象：(4)图 象 的 对 称 性：是 中 心 对 称 图 形 ， 对 称 中 心 是 原 点 (0,0) 。双 勾 (对 勾 ),有 两 条 渐 近 线 。 y xo( ,0),(0, )a a增 区 间： 减 区 间： 2、 nike函 数 的 性 质 。by ax x ( 0)ab (1)当 a,b同 号 即 ab0时 ,通 过 变 形 可 转 化 为 对 勾 函 数 来 解决 。 =by ax x 变 形 ： a( )ba x x当 a0时 ， ( , ),( , )b ba a ( ,0),(0, )b ba a增 区间 ： 减 区间 ：当 a0时 ， ( , ),( , )b ba a ( ,0),(0, )b ba a减 区间 ： 增 区间 ：(2)当 a,b异 号 即 ab0,b0时 ,此 时 为 增 +增 =增 。 ( ,0),(0, ) 只 有 增 区 间：当 a0时 ,此 时 为 减 +减 =减 。 ( ,0),(0, ) 只 有 减 区 间： 3、 一 般 函 数 的 性 质。 2cx dx ey ax b ( 0)a c t by a解 决 方 法： 通 过 换 元 ， 可 转 化 为 nike函 数 。直 接 令 分 母 ax+b=t,则过 程 如 下：代 入 消 去 x， 变 成 关 于 t的 nike函 数。三 、 分 子 是 一 次 且 分 母 是 二 次 的 分 式 函 数 2 ( 0)ax by a ccx dx e 即 形 如 ： 。解 决 方 法： 两 边 倒 数 ,可 转 化 为 上 一 类 函 数 。有 时 也 可 以 分 子 和 分 母 同 时 除 以 分 子。 四 、 分 子 且 分 母 都 是 二 次 的 分 式 函 数解 决 方 法： 去 分 母 ， 转 化 为 一 元 二 次 方 程 的问 题 来 解 ， 常 常 要 用 到 判 别 式 。 21 1 1 1 222 2 2 ( 0)a x b x cy a aa x b x c 即 形 如 ： 。 222x -8x+7例 、 求 函 数 y= 的 值 域 .x -4x+5 216( 2) 4( 2)(5 7) 01 2y y yy 2x解 ： 由 已 知 得 ： （ y-2） x -4(y-2)x+5y-7=0一 定 有 实 数 解 。当 y-2=0时 ， 方 程 不 成 立当 y-2 0时 ，解 得 ， ， 值 域 为 -1,2) 图象极值点递 增 区间递 减 区间 条 件x 00ab 00ab 00ab 00ab o xy极 大 值点 ： ( , 2 )b aba 极 小 值 点 ： ( ,2 )b aba 极 大 值点 ：极 小 值点 ： ( , 2 )b aba ( ,2 )b aba 无 无( , ba 、 , )ba ( 0ba ， ） 、(0, ) ba ( ,0)(0, ) 、 , 0 )(0 , ba ba 、( , )( , )baba 、 ( ,0)(0, ) 、无无 y xo y xo xyo的图象 by ax x Nike函 数 y=ax+b/x的 图 像 和 性 质