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例1 1 计算两条抛物线在第一象限在第一象限所围所围图形的面积所围所围图形的面积 .解解 由由得交点得交点以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,第1页/共52页解解两曲线的交点选 为积分变量第2页/共52页于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选 吗？第3页/共52页例3 3 计算抛物线与直线与直线解解得交点得交点所围图形的面积所围图形的面积 .为简便计算为简便计算,选取选取y积分变量积分变量,积分积分区间为区间为-,4,由由第4页/共52页例例4 4 求椭圆求椭圆解解:利用对称性利用对称性 ,所围图形的面积所围图形的面积 .有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当a=b时得圆面积公式时得圆面积公式.第5页/共52页一般地 ,当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时给出时,则曲边梯形面积则曲边梯形面积第6页/共52页练习 求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解第7页/共52页*极坐标系情形极坐标系情形围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为及射线及射线求由曲线求由曲线第8页/共52页对应对应 从从 0例5 5 计算阿基米德螺线解解变到变到 2 所围图形面积所围图形面积 .第9页/共52页例6 6 计算心形线所围所围图形的面积图形的面积 .解解(利用对称性利用对称性)第10页/共52页练习 计算心形线与圆所围图形的面积所围图形的面积 .解解 利用对称性利用对称性 ,所求面积所求面积第11页/共52页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台二、定积分求体积第12页/共52页旋转体的体积为旋转体的体积为第13页/共52页第14页/共52页体积元素为体积元素为立体体积为立体体积为第15页/共52页解解直线直线 方程方程为为第16页/共52页第17页/共52页例8 8 计算由椭圆所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而成的椭球体的体积成的椭球体的体积.解法一解法一 利用直角坐标方程利用直角坐标方程则则(利用对称性利用对称性)第18页/共52页解法二 利用椭圆参数方程则则特别当特别当 b=a 时时,就得半径为就得半径为a 的球体的的球体的体积为体积为第19页/共52页例例9 9 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限在第一象限所围所围图形绕所围所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积 .解解 由由得交点得交点以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,体积元素为体积元素为:所求体积为所求体积为:第20页/共52页练习练习:求由曲线求由曲线 点点(0,1)的图形绕的图形绕x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 与与 围成围成(包含包含解解如图所示，如图所示，得交点得交点(1,1)(1,1)及及(-1,1).(-1,1).以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,体积元素体积元素:解方程组解方程组第21页/共52页注注:该旋转体的体积该旋转体的体积V 还还可以看作以可以看作以x 轴上的区间轴上的区间 -1,1-1,1为底边，分别以底边上的圆弧为底边，分别以底边上的圆弧 抛物线弧抛物线弧 为曲边的两个曲边梯形绕为曲边的两个曲边梯形绕 x 轴轴旋转而成的两个旋转体体积的差，即旋转而成的两个旋转体体积的差，即 第22页/共52页解解第23页/共52页第24页/共52页平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于垂直于x 轴的各个截面面积轴的各个截面面积A(x)，那么，这个立体，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算的体积也可用定积分来计算.设设第25页/共52页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第26页/共52页思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?提示:第27页/共52页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第28页/共52页四、平面曲线的弧长定义定义:若在弧若在弧当折线段的当折线段的最大边长最大边长 0 0 时时,折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略证明略)上任意作内接折线上任意作内接折线,的弧长的弧长,第29页/共52页(1)(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长第30页/共52页(2)(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):):因此所求弧长因此所求弧长:第31页/共52页(3)(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长因此所求弧长:则得则得弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):):(自己验证)第32页/共52页例1212 求连续曲线段解解的弧长的弧长.第33页/共52页例1313 计算摆线一拱一拱的弧长的弧长 .解解第34页/共52页例1414 求阿基米德螺线相应于相应于一段的弧长一段的弧长 .解解0 2 第35页/共52页内容小结1.1.平面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程2.2.旋转体的体积旋转体的体积第36页/共52页3.3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积旋转体的体积4.4.平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分弧微分:直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小第37页/共52页思考:试用定积分求圆上上半圆方程为下下解解利用对称性利用对称性求体积求体积 :绕绕 x 轴旋转而成的环体体积轴旋转而成的环体体积 V.体积元素为体积元素为:第38页/共52页思考题思考题1第39页/共52页思考题思考题1解答解答xyo两边同时对 求导第40页/共52页积分得所以所求曲线为第41页/共52页思考题思考题2第42页/共52页思考题思考题2解答解答交点立体体积第43页/共52页练练 习习 题题 一一第44页/共52页第45页/共52页第46页/共52页练习题一答案练习题一答案第47页/共52页练练 习习 题题 二二第48页/共52页第49页/共52页第50页/共52页练习题二答案练习题二答案第51页/共52页感谢您的观赏！第52页/共52页
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