数学建模与Matlab

大学计算机基础大学计算机基础北航计算机学院北航计算机学院教学课件教学课件1第第1111章章 数学建模与数学建模与MATLAB2本章重点本章重点n什么是数学建模？其目的是什么什么是数学建模？其目的是什么？有哪些步骤？有哪些步骤？nMATLAB有哪些特点和功能？有哪些特点和功能？nMATLAB中如何绘制图形？如何中如何绘制图形？如何进行科学计算？进行科学计算？31 11 1.1.1 数学建模数学建模u11.1.1 数学模型数学模型u11.1.2 数学建模的步骤数学建模的步骤411.1.1 数学模型数学模型现实世界中的事物现实世界中的事物原型原型替替代代物物模型模型抽象模型抽象模型具体模型具体模型直观模型直观模型物理模型物理模型思维模型思维模型数学模型数学模型5数学模型数学模型(续续)n一个典型的数学模型：一个典型的数学模型：牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma=mdx2/dt2n广义理解的数学模型：广义理解的数学模型：以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫做数学模型。学概念、数学式子、数学理论等等都叫做数学模型。n狭义理解的数学模型：狭义理解的数学模型：反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统叫做数学模反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统叫做数学模型。型。6数学模型数学模型(续续)n数学模型的特征数学模型的特征实践性、应用性、实践性、应用性、综合性综合性n数学模型的作用：数学模型的作用：将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。法去分析和解决实际问题。在科学发展、科学预测、驾控市场经济乃至个人高效工作在科学发展、科学预测、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着重要作用。和生活等众多方面发挥着重要作用。7数学建模数学建模(Mathematical Modelling)n数学建模数学建模把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一应用过程解释现实问题。数学知识的这一应用过程称为数学建模。称为数学建模。8数学建模解决实际问题的例子数学建模解决实际问题的例子n十字路口的交通问题：十字路口的交通问题：方案一：方案一：将几种不同的交通控制的设计方案交给交通队进行实将几种不同的交通控制的设计方案交给交通队进行实地试验，进行观测，最后找出最优的方案。地试验，进行观测，最后找出最优的方案。方案二：方案二：一种办法是由研究人员调查路口的车流规律，收集有一种办法是由研究人员调查路口的车流规律，收集有关的数据资料。使用数学和统计学的手段提炼出这些关的数据资料。使用数学和统计学的手段提炼出这些量之间的关系并且进行分析和比较，就可以找到最优量之间的关系并且进行分析和比较，就可以找到最优的控制管理方案。的控制管理方案。交通管理的数学模型。交通管理的数学模型。9数学建模数学建模n数学建模有哪些步骤？数学建模有哪些步骤？n看一个实际问题：看一个实际问题：超市产品的竞争超市产品的竞争10乙超市甲超市某商品降价销售超市产品的竞争超市产品的竞争影响乙超市销量的因素有很多，怎么办？11超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)n假设假设甲、乙超市此商品型号、规格、质量等均一致。甲、乙超市此商品型号、规格、质量等均一致。乙超市此商品销售量的降低是由于甲超市乙超市此商品销售量的降低是由于甲超市“降价销售降价销售”造成的（没有受到其它促销、换购、装修等活动影响）。造成的（没有受到其它促销、换购、装修等活动影响）。简化实际问题12超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)n经调查得知乙超市此商品销售数据如下：经调查得知乙超市此商品销售数据如下：甲乙甲乙超市此商品超市此商品价格一样价格一样时，乙超市平均日销售量是时，乙超市平均日销售量是280件件。甲甲超市售价超市售价高于乙高于乙超市超市2元、元、1元、元、0.5元元时，乙超市平时，乙超市平均日销售量分别是均日销售量分别是550件、件、408件、件、327件件。甲甲超市售价超市售价低于乙低于乙超市超市2元、元、1元、元、0.5元元时，乙超市平时，乙超市平均日销售量分别是均日销售量分别是33件、件、173件、件、236件件。13超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)服从线性分布服从线性分布y=280-135x根据不同的两个数据根据不同的两个数据点写出直线方程会有点写出直线方程会有差异，如何提高精度差异，如何提高精度14y=280-135x超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)y=287-125x多项式拟合的阶数多项式拟合的阶数15n如何计算乙超市此商品利润？如何计算乙超市此商品利润？利润利润=日销量日销量(件件)*每件商品的利润每件商品的利润(元元/件件)日销量：日销量：y每件商品的利润每件商品的利润:xb-x0 其中其中xb为乙超市售价，为乙超市售价，x0为商品为商品成本价成本价差价差价x：xb-xa 其中其中xa为甲超市售价为甲超市售价利润利润=y(xb-x0)超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)y=287-125x16n利润利润=y(xb-x0)=(287-125x)(xb-x0)=287-125(xb-xa)(xb-x0)超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)y=287-125x17超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)n利润利润=-125 xb2+(125x0+125xa+287)xb-287x0-125xa x0n若商品成本价若商品成本价x0=16，甲超市售价甲超市售价xa=25，则乙，则乙超市应如何定价？超市应如何定价？可以计算得出乙超市此商品定价为可以计算得出乙超市此商品定价为21.648时可获时可获得最大利润。得最大利润。计算的结果是否正确？如果遇到难以计算的数学计算的结果是否正确？如果遇到难以计算的数学式子怎么办？式子怎么办？利用利用MATLAB中提供的绘图、求极值等功能进中提供的绘图、求极值等功能进行计算和验证。行计算和验证。18超市产品的竞争超市产品的竞争(续续)19n若上例中甲超市又降价至若上例中甲超市又降价至20，则乙超市应如何定价？，则乙超市应如何定价？价格竞争的结果是什么？价格竞争的结果是什么？n数学建模有哪些步骤？数学建模有哪些步骤？n建立数学模型有哪些方法？建立数学模型有哪些方法？思考思考2011.1.2 数学建模的步骤数学建模的步骤建模准备建模准备建模假设建模假设构造模型构造模型模型求解模型求解模型分析模型分析了解问题的实际背景，明确其了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。用数学语言来描述问题。根据实际对象的特征和建模的根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。用精确的语言提出一些恰当的假设。在假设的基础上，利用适当的在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。关系，建立相应的数学结构。利用获取的数据资料，对模型利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算。的所有参数做出计算。对所得的结果进行数学上的分析。对所得的结果进行数学上的分析。否模型检验模型检验是模型应用模型应用是否验证模型的准确性、合理性和验证模型的准确性、合理性和适用性。适用性。21n例例2 2：护卫舰与航空母舰的汇合问题：护卫舰与航空母舰的汇合问题某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向。确定护卫舰航行角度，使其能尽快与当前的航速与方向。确定护卫舰航行角度，使其能尽快与航母汇合。航母汇合。护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合22n假设：假设：可以测定护卫舰与航空母舰之间的距离。可以测定护卫舰与航空母舰之间的距离。航空母舰沿直线航行。航空母舰沿直线航行。护卫舰速度大于航空母舰速度。护卫舰速度大于航空母舰速度。护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合(续续)23护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合(续续)以以护卫舰与航空护卫舰与航空母舰之间的中点母舰之间的中点为原点，建立坐为原点，建立坐标轴。标轴。x轴正向轴正向取航空母舰速度取航空母舰速度在在x轴的分向量轴的分向量方向。方向。24 已知已知航空母舰航空母舰在在A A处处沿与沿与x x轴夹轴夹角角为为1 1的方向以速的方向以速率率v v1 1行行驶驶，护卫舰护卫舰以速以速率率v v2 2行行驶驶，求，求护卫舰护卫舰航行方向（航行方向（与与x x轴夹轴夹角角为为2 2）及及汇汇合地点合地点P P（x,yx,y）？护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合(续续)25护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合(续续)可化为：可化为：由题意知：由题意知：|BP|/v2=|AP|/v1 即：即：|BP|=(v2/v1)|AP|即：即：|BP|2=(v2/v1)2|AP|2记记v2/v1=a 由假设知：由假设知：a1 上式化为：上式化为：|BP|2=a2|AP|2即：即：26护卫舰与航空母舰的汇合护卫舰与航空母舰的汇合(续续)令：令：则上式可简记成则上式可简记成：（航母的路线方程）（航母的路线方程）（护卫舰的路线方程（护卫舰的路线方程）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。2711.2 MATLAB11.2 MATLAB应用应用u11.2.1MATLAB简介简介u11.2.2MATLAB入门知识入门知识u11.2.3二维图形的绘制二维图形的绘制u11.2.4绘制三维图形绘制三维图形u11.2.5 科学计算科学计算u11.2.6 M文件文件2811.2.1MATLAB简介简介 MATLAB概述概述 MATLAB特点特点 MATLAB界面界面 MATLAB功能简介功能简介29MATLAB的发展的发展MATLAB发发展展史史19841984年，年，MathWorks公司成立，公司成立，MATLAB正式推向市场。正式推向市场。2000 2000 年年 10 10 月底推出了月底推出了MATLAB 6.0 6.0 正正式版。式版。20082008年年1111月，正式发布了月，正式发布了MATLABMATLAB的新版的新版本本R2008bR2008b。30MATLAB概述概述Matlab、Mathematica和和Maple是当今是当今流行的三大数学软件。流行的三大数学软件。Matlab的优势是强大的矩阵计算以及仿真能的优势是强大的矩阵计算以及仿真能力。力。Matlab名字的由来：名字的由来：Matrix+Laboratory=MATLAB。31MATLAB在航天航空、生物医在航天航空、生物医学、物理学、通信、学、物理学、通信、DSP、科科学学计算、网算、网络控制、系控制、系统建模仿建模仿真技真技术、自、自动控制、控制、图形形图像像处理、生命科学、理、生命科学、财务、电子商子商务、数据分析等不同数据分析等不同领域的广泛域的广泛应用用以及它自身所具以及它自身所具备的独特的独特优势，使其使其被教育界所关注。被教育界所关注。MATLAB概述概述(续续)32MATLAB概述概述(续续)在我国，清华大学、上海交通大学等高等学在我国，清华大学、上海交通大学等高等学校以及中国科学院系统也分别将校以及中国科学院系统也分别将MATLAB作作为本科生和研究生的必修课或选修课。为本科生和研究生的必修课或选修课。美国等发达国家的一些著名高等院校已将美国等发达国家的一些著名高等院校已将MATLAB作为本科生和部分研究生的必修课。作为本科生和部分研究生的必修课。33MATLAB概述概述(续续)?如何获取如何获取MATLAB资料及最新信息？资料及最新信息？MATLAB书籍专柜书籍专柜提供提供MATLAB学习、学习、交流的网站交流的网站34MATLAB特点特点编程简单，易学易懂。编程简单，易学易懂。同同VC,VB,Fortran等比较等比较,Matlab编编写简单，所以编程效率高，易学易懂。写简单，所以编程效率高，易学易懂。Matlab更加接近我们书写计算公式的思更加接近我们书写计算公式的思维方式，用编写程序犹如在演算纸上排维方式，用编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。列出公式与求解问题。通俗地称为通俗地称为“演算纸演算纸”35MATLAB特点特点(续续)编程简单，易学易懂。编程简单，易学易懂。高版本的高版本的Matlab已逐步扩展已逐步扩展到科学及工程计算的其它领到科学及工程计算的其它领域。因此，不久的将来，它域。因此，不久的将来，它一定能名符其实地成为一定能名符其实地成为“万万能演算纸式的能演算纸式的”科学算法语科学算法语言。言。36MATLAB特点特点(续续)编程简单，易学易懂。编程简单，易学易懂。实践证明，可在几个小时的时实践证明，可在几个小时的时间内学会间内学会Matlab的基础知识，的基础知识，在短短几个小时的使用中就能在短短几个小时的使用中就能初步掌握它。从而能够进行高初步掌握它。从而能够进行高效率和富有创造性的计算。效率和富有创造性的计算。真正难于掌真正难于掌握的是各类握的是各类专业知识专业知识 37MATLAB特点特点(续续)用户使用方便用户使用方便Matlab把编辑、编译、链接和把编辑、编译、链接和执行融为一体。能在同一画面上执行融为一体。能在同一画面上进行灵活操作、快速排除错误从进行灵活操作、快速排除错误从而加快了用户编写、修改和调试而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比试过程中它是一种比VB还要简还要简单的语言。单的语言。38MATLAB特点特点(续续)扩充能力强扩充能力强Matlab丰富的库函数。丰富的库函数。方便地调用有关的方便地调用有关的Fortran，C语言的子程序。语言的子程序。39MATLAB特点特点(续续)语句简单，内涵丰富语句简单，内涵丰富Matlab语言中最基本最重要的成分是函数，语言中最基本最重要的成分是函数，同一函数名同一函数名F，不同数目的输入变量（包括无不同数目的输入变量（包括无输入变量）及不同数目的输出变量，代表着输入变量）及不同数目的输出变量，代表着不同的含义（有点像面向对象中的多态性）。不同的含义（有点像面向对象中的多态性）。40MATLAB特点特点(续续)高效方便的矩阵和数组运算高效方便的矩阵和数组运算规定了各种运算符，另外给出矩阵函数、规定了各种运算符，另外给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便。高效、方便。41MATLAB特点特点(续续)方便的绘图功能方便的绘图功能Matlab有一系列绘图函数（命令），只需有一系列绘图函数（命令），只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、出图题、XY轴标注，格（栅）绘制也只需轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。的点、线、复线或多重线。42MATLAB特点特点(续续)开放性开放性MATLAB具有各类工具箱，还具有各类工具箱，还可以自己生成工具箱。可以自己生成工具箱。其它语言通过其它语言通过MATLAB接口接口可以方便的使用其函数。可以方便的使用其函数。在在Word中通过中通过Notebook可以方可以方便的使用便的使用MATLAB绘图等功能绘图等功能43MATLAB界面界面命令窗口是命令窗口是MATLAB提供的编程环境提供的编程环境 菜单栏菜单栏工具栏工具栏标题栏标题栏命令编辑区命令编辑区当前目录当前目录44MATLAB功能简介功能简介数学运算数学运算例：求例：求X412X30X2116=0的根的根数值分析数值分析例：三个城市例：三个城市某月的最高温某月的最高温度变化分析度变化分析 45画出函数画出函数y=x3-x2-x+1的图形的图形n求导、判断各区间曲线弧的情况、极值点、拐点求导、判断各区间曲线弧的情况、极值点、拐点46MATLAB功能简介功能简介(续续)绘制图形绘制图形 高效、易学的图形功能是其它语言无法比拟的。高效、易学的图形功能是其它语言无法比拟的。几条语句就几条语句就可以显示逼可以显示逼真的图形真的图形47MATLAB 功能简介功能简介(续续)自动控制系统仿真自动控制系统仿真例：观察正弦函数输出波形。例：观察正弦函数输出波形。4811.2.2MATLAB入门知识入门知识MATLAB运行环境与安装运行环境与安装MATLAB的工作方式的工作方式 MATLAB常用命令常用命令 向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示 MATLAB常用函数常用函数 MATLAB语言基础语言基础 例题例题49MATLAB运行环境与安装运行环境与安装安装安装单机安装单机安装网络安装网络安装根据输入的序列号判断哪些根据输入的序列号判断哪些工具箱得到了授权。工具箱得到了授权。需要授权文件需要授权文件MATLAB可以运行于多种操作系统之下，可以运行于多种操作系统之下，如：如：Windows、OS/2、Unix、VMS等。等。50MATLAB的工作方式的工作方式例：计算例：计算5*9的值的值交互式交互式例：运行例：运行M文件文件运行程序运行程序多次输入多次输入重复语句重复语句怎么办？怎么办？51当前目录当前目录当前目录当前目录Matlab重新重新启动后，必启动后，必须重新设置须重新设置当前目录当前目录52MATLAB常用命令常用命令help 帮助命令帮助命令what显示目录内容命令显示目录内容命令who、whos显示变量命令显示变量命令save保存结果命令保存结果命令load 取出结果命令取出结果命令clear 清除变量命令清除变量命令size计算变量大小命令计算变量大小命令53help 帮助命令举例帮助命令举例联想联想Dos下下的的help命令命令54what 显示目录内容命令举例显示目录内容命令举例what显示目录里的显示目录里的M-、MAT-、MEX-文件文件55who、whos 显示变量命令举例显示变量命令举例who 显示当前变量显示当前变量whos更详细的显示当前变量更详细的显示当前变量56save 保存结果命令举例保存结果命令举例save testsave test a b以以mat文件格式保存文件格式保存57load 取出结果命令取出结果命令取出取出mat文件内数据文件内数据58load 取出结果命令取出结果命令(续续)load wxj2.dat文本文文本文件必须件必须是是m行行n列列取出文本文件内数据取出文本文件内数据59clear 清除变量命令清除变量命令删除工作空间中的变量删除工作空间中的变量60size 计算变量大小命令计算变量大小命令注意：注意：MATLAB常用变量常用变量是矩阵是矩阵计算变量大小命令计算变量大小命令61向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示X=10即即11矩阵矩阵MATLAB 是面向对象的语言，其基本数据结构就是面向对象的语言，其基本数据结构就是是矩阵矩阵。而且大多数函数都可以以矩阵为参数。而且大多数函数都可以以矩阵为参数。62向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示(续续)X=12345即即15矩阵矩阵或向量或向量12345向量或矩向量或矩阵在一行阵在一行放不下怎放不下怎么办？么办？表达式在一行写表达式在一行写不下不下怎么办？怎么办？使用续行符使用续行符 63向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示(续续)即即33矩阵矩阵1234565789输出的矩阵不带输出的矩阵不带64向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示(续续)输入等间隔的向量输入等间隔的向量形成形成2 2 10 10矩阵矩阵等间隔的向量也要逐个输入吗？等间隔的向量也要逐个输入吗？65向量与矩阵的表示向量与矩阵的表示(续续)；的作用；的作用在矩阵中作分行符在矩阵中作分行符不显示数据不显示数据66矩阵行、列的增、删、改矩阵行、列的增、删、改MATLABMATLAB中矩阵修改、增大、缩小极其方便。中矩阵修改、增大、缩小极其方便。例：改变一列例：改变一列67矩阵行、列的增、删、改矩阵行、列的增、删、改(续续)例：增加一列例：增加一列增加一行增加一行68矩阵行、列的增、删、改矩阵行、列的增、删、改(续续)例：删除一列例：删除一列删除一行删除一行69矩阵输入小结矩阵输入小结1）输入矩阵必须以）输入矩阵必须以“”为首尾。为首尾。2）行与行之间的分隔用）行与行之间的分隔用“；”或回车键。或回车键。3）同行各元素的分隔用）同行各元素的分隔用“，”或空格。或空格。70MATLAB常常用函数用函数三角函数三角函数指数、对数函数指数、对数函数复数函数复数函数绘图函数绘图函数71三角函数三角函数72指数、对数函数指数、对数函数73复数函数复数函数74绘图函数绘图函数二维绘图二维绘图plot(X,Y)plot(X,Y)三维绘图三维绘图plot3(X,Y,Z)plot3(X,Y,Z)75MATLAB语言基础语言基础变量与赋值语句变量与赋值语句 数据类型数据类型 基本运算符基本运算符 各种运算各种运算76变量与赋值语句变量与赋值语句首字符首字符 +其它字符其它字符变量的命名规则：变量的命名规则：字母字母字母、数字、下划线字母、数字、下划线合法的变量名：合法的变量名：Student_Name、S12_00、aaa、bbb_X_Y不合法的变量名：不合法的变量名：_asds、1first、a#qw、123变量名区分大、小写变量名区分大、小写77变量与赋值语句变量与赋值语句(续续)变量的值由赋值语句决定：变量的值由赋值语句决定：定义了定义了11矩阵，矩阵，内容为数值内容为数值B的长度是多少？的长度是多少？定义了向量，内容为字符定义了向量，内容为字符78变量与赋值语句变量与赋值语句(续续)MATLAB中矩阵的大小动态变化，使用极其方便。中矩阵的大小动态变化，使用极其方便。79工作区工作区特殊量特殊量ansans 用于结果的缺省变量名用于结果的缺省变量名pi pi 圆周率圆周率infinf 无穷大，如无穷大，如1/01/0realminrealmin 最小可用正实数最小可用正实数realmaxrealmax 最大可用正实数最大可用正实数打开打开MATLABMATLAB时时，会自动建立一个工作区，会自动建立一个工作区,此时只提供几个此时只提供几个特殊特殊量，量，如如pipi（3.14159263.1415926）等。运行等。运行MATLABMATLAB的程序或命令时，产生的所有的程序或命令时，产生的所有变量被加入到工作区。除非用特殊的命令删除某变量，否则该变量变量被加入到工作区。除非用特殊的命令删除某变量，否则该变量在关闭在关闭MATLABMATLAB之前一直保存在工作区。工作区在之前一直保存在工作区。工作区在MATLABMATLAB运行期间一运行期间一直存在，关闭直存在，关闭MATLABMATLAB后，工作区自动消除。后，工作区自动消除。80数据类型数据类型均为矩阵均为矩阵数据类型数据类型 ：矩阵、对象与类等矩阵、对象与类等 常用数据类型是矩阵常用数据类型是矩阵81基本运算符基本运算符基本运算符基本运算符 “+”：加：加“-”：减：减“*”：乘：乘“/”：右除：右除“”：乘方：乘方“.*”：点乘：点乘“./”：点除：点除“.”：点乘方：点乘方82各种运算各种运算 数学运算数学运算 逻辑运算逻辑运算 字符串字符串 矩阵行、列的增与删矩阵行、列的增与删83数学运算数学运算+-+-注意多行多列矩阵的加、减注意多行多列矩阵的加、减84数学运算数学运算(续续)*A=2356235622A=2A=22356=461012=*相当于相当于85数学运算数学运算(续续)*A B必须满足必须满足A的列数等于的列数等于B的行数。的行数。若若A是是m行行n列，列，B必须是必须是n行行k列。列。令令C=A B，则则C是是m行行k列。列。A=235661B=5986D=598612A B、B D、A D 这些运算成立吗？这些运算成立吗？86数学运算数学运算(续续)*A=235661B=5986AB=2356615986343673817438602 5=103 8=24+346 5=301 8=8+3887数学运算数学运算(续续).*.*A=235661B=5986D=598612.*是对应元素相乘。是对应元素相乘。A.*B、A.*D、B.*D这些运算成立吗？这些运算成立吗？88数学运算数学运算(续续).*.*与与.*有什么区别？有什么区别？*是普通乘运算，是普通乘运算，.*是是对应元素相乘对应元素相乘89数学运算数学运算(续续)/是普通除运算，是普通除运算，./是对应元素是对应元素除除是普通乘方运算，是普通乘方运算，.是对应元素是对应元素乘乘方方90*逻辑运算逻辑运算91字符串字符串B=?c=?92例题例题在闭区间在闭区间0,2上生成间距为上生成间距为0.1 的一维数组，的一维数组，赋值给变量赋值给变量x，并计算下列各式：并计算下列各式：y1=2*sin(x)y2=2.*sin(x)z1=sin(x)*cos(x)z2=sin(x).*cos(x)w1=x2 w2=x.2最后比较最后比较y1、y2的结果、的结果、z1、z2 的结果及的结果及w1、w2的结果，给出解释。的结果，给出解释。9311.2.3二维图形的绘制二维图形的绘制二维曲线绘图指令：二维曲线绘图指令：plot对离散数据的默认对离散数据的默认处理方法：自动将处理方法：自动将离散的点用直线连离散的点用直线连接，使其成为连续接，使其成为连续的曲线。的曲线。94plot的基本调用格式的基本调用格式常用格式常用格式plot(X,Y)plot(X,Y)X,Y是同维向量时，绘制以是同维向量时，绘制以X,Y元素为横、纵元素为横、纵坐标的曲线。坐标的曲线。例：绘制例：绘制y=sin(x)及及z=cos(x)图形图形x=00.1 0.2 2 y=sin(0)sin(0.1)sin(0.2)sin(2)95plot例子例子例：绘制例：绘制y=sin(x)及及z=cos(x)图形图形96plot的基本调用格式的基本调用格式常用格式常用格式plot(X,Y)plot(X,Y)X 是向量是向量,Y是矩阵是矩阵(有一维与有一维与X同维同维)时，绘时，绘制多根不同颜色的曲线。制多根不同颜色的曲线。例：绘制例：绘制y=sin(x)、y=2sin(x)、y=3sin(x)图形图形x=00.1 0.2 2 y=sin(0)sin(0.1)sin(0.2)sin(2)2sin(0)2sin(0.1)2sin(0.2)2sin(2)3sin(0)3sin(0.1)3sin(0.2)3sin(2)97plot例子例子例：绘制例：绘制y=sin(x)、y=2sin(x)、y=3sin(x)图形图形98plot的基本调用格式的基本调用格式常用格式常用格式plot(X,Y,plot(X,Y,s)其中其中s是用来指定是用来指定颜色、线型和数据点形的字符颜色、线型和数据点形的字符串串缺省线型为缺省线型为“实线实线”同一图形上不同曲线的缺省颜色依次为同一图形上不同曲线的缺省颜色依次为蓝蓝、绿、绿、红红、青、紫、黄、黑青、紫、黄、黑99曲线的颜色、线型和数据点形曲线的颜色、线型和数据点形颜色颜色:b(蓝蓝)、g(绿绿)、r(红红)、c(青青)、m(紫紫)、y(黄黄)、k(黑黑)、w(白白)线线型型:-(实实线线)、:(虚虚线线)、-.(点点划划线线)、-(双双划线划线)数数据据点点形形：.(黑黑点点)、+(加加号号)、*(星星号号)、o(空空心心圆圆圈圈)、d(菱菱形形)、p(五五角角星星)、h(六六角角星星)、x(X号号)、s(方块方块)100颜色、线型和数据点形的组合颜色、线型和数据点形的组合颜色颜色+线型线型plot(x,y,r-.)颜色颜色+数据点型数据点型plot(x,y,rd)101图形标注图形标注图形名：图形名：title(s)横坐标名：横坐标名：xlabel(s)纵坐标名：纵坐标名：ylabel(s)在在(x,y)处写注释处写注释:text(x,y,s)其中其中s为字符串为字符串例：绘制图形例：绘制图形图名：正弦函数图形图名：正弦函数图形102图形标注图形标注(续续)103从图形上获取数据从图形上获取数据x,y=ginput(n)%用鼠标从二维图形上获取用鼠标从二维图形上获取n个点的数据坐标个点的数据坐标(x,y)该指令在数值优化、工程设计中十分有用。该指令在数值优化、工程设计中十分有用。例：获取函数例：获取函数y=e 0.3x cos(0.5x)的二个近似零点的二个近似零点104从图形上获取数据（续）从图形上获取数据（续）误差太大，如何改进呢？误差太大，如何改进呢？放大图形，重新获取放大图形，重新获取105绘图的应用绘图的应用求根求根求根函数的常见格式：求根函数的常见格式：fzero（s,x1）,其中其中s为字为字符串表达式符串表达式,x1为初始的猜测值为初始的猜测值函数函数fzero所求根与初始的猜测值有关所求根与初始的猜测值有关函数函数fzero是根据是否穿越横轴来决定根是根据是否穿越横轴来决定根,因此无法因此无法确定函数仅触及横轴或不穿越的根确定函数仅触及横轴或不穿越的根106求根（例）求根（例）例：计算例：计算cos(x)=0在区间在区间0,3的根。的根。107求根步骤求根步骤1 1：作图：作图例：计算例：计算(sin2x)e-0.1x-0.5|x|=0在区间在区间-10，10的根。的根。作图：作图：108求根步骤求根步骤2 2：获得初始近似值：获得初始近似值例：计算例：计算(sin2x)e-0.1x-0.5|x|=0的根。的根。用鼠标获得近似值：用鼠标获得近似值：109求根步骤求根步骤3 3：求得精确值：求得精确值例：计算例：计算(sin2x)e-0.1x-0.5|x|=0的根。的根。求得精确值：求得精确值：110求根步骤求根步骤3 3：求得精确值（续）：求得精确值（续）根据近似值根据近似值求得精确值：求得精确值：111求根步骤求根步骤3 3：求得精确值（续）：求得精确值（续）函数函数fzero是根据是否是根据是否穿越横轴来决定零点穿越横轴来决定零点112gtext指令指令gtext(s)%将字符串（数组）放置到图形上。将字符串（数组）放置到图形上。例子例子113图例图例建立图例：建立图例：legend(s)例：例：legend(y=sin(x),z=x)删除图例：删除图例：legend off绘制图形，并改变图绘制图形，并改变图例位置。例位置。114绘制多条曲线绘制多条曲线方法一方法一：plot(x,y)其中其中x为向量，为向量，y为矩阵为矩阵plot命命令令打打开开一一个个称称为为图图形形窗窗口口的的窗窗口口，将将坐坐标标轴轴缩缩扩扩以以适适应应数数据据，绘绘制制数数据据。如如果果已已经经存存在在一一个个图图形形窗窗口口，则则plot命命令令会会清清除除当当前前图图形形窗窗口口的的图形，绘制新的图形。图形，绘制新的图形。方法二方法二：plot(x1,y1,x2,y2)其中其中x1,y1,x2,y2均为均为向量向量方法三方法三：设置设置hold on，将新的将新的plot命令产生的命令产生的图形画在原来的图形上。图形画在原来的图形上。hold off或关闭图形窗或关闭图形窗口口将结束这种状态。将结束这种状态。115绘制多条曲线（续）绘制多条曲线（续）例：在区间例：在区间0，2上绘制曲线上绘制曲线y=sin(x)及及y=cos(x)116绘制椭圆绘制椭圆n当当a=0.5时绘制椭圆的图形。时绘制椭圆的图形。如何绘制如何绘制117利用参数方程绘制椭圆利用参数方程绘制椭圆118多幅图形多幅图形 subplot(m，n，p)可在窗口中，画出多幅不同可在窗口中，画出多幅不同坐标系中的图形该命令把窗口分为坐标系中的图形该命令把窗口分为m*n个区域，在个区域，在每个区域中分别画一个图。子图沿第一行从左至右每个区域中分别画一个图。子图沿第一行从左至右编号，接着排第二行，依此类推。编号，接着排第二行，依此类推。例：画出四幅图形，分别显示下列图形：例：画出四幅图形，分别显示下列图形：1.y=sin(x)%图名：图图名：图12.y=cos(x)%图名：图图名：图23.y=x%图名：图图名：图34.y=x2%图名：图图名：图4119多幅图形多幅图形(续续)120多个窗口多个窗口 figure(p)指定在指定在p号窗口中画出图形。号窗口中画出图形。例：使用例：使用2个窗口分别显示下列图形：个窗口分别显示下列图形：1.y=sin(x)%图名：图名：A2.y=x2%图名：图名：B121如何绘制极坐标表示的图形如何绘制极坐标表示的图形n使用使用polar函数函数n例：例：r=5(1+cost)12211.2.4绘制三维图形绘制三维图形 三维绘图包括绘制三维线图、网格图、曲面三维绘图包括绘制三维线图、网格图、曲面图。网格图和曲面图的绘制比线图复杂一些，主图。网格图和曲面图的绘制比线图复杂一些，主要表现在：绘图数据的准备、三维图形的色彩、要表现在：绘图数据的准备、三维图形的色彩、明暗、光照等。明暗、光照等。123三维线图指令三维线图指令三维线图指令三维线图指令plot3(X,Y,Z)plot3(X,Y,Z)X,Y,Z是同维向量时，绘制以是同维向量时，绘制以X,Y,Z元素为坐标的元素为坐标的三维曲线。三维曲线。三维线图指令三维线图指令plot3plot3与与plotplot指令的使用十分相似，指令的使用十分相似，如：颜色、线型和数据点形的设置，图形标注指令如：颜色、线型和数据点形的设置，图形标注指令（增加（增加zlabel(s)）,多条曲线的绘制等。多条曲线的绘制等。124三维线图举例三维线图举例例：绘制三维线图例：绘制三维线图x=t,y=sin(10t),z=cos(10t)）例：绘制三维线图例：绘制三维线图x=sin(t),y=cos(t),z=cos(2t)125三维网格图与曲面图三维网格图与曲面图 三维网格图三维网格图mesh(X,Y,Z)三维曲面图三维曲面图surf(X,Y,Z)上述指令中，上述指令中，X,Y,Z均为相同维数的矩阵。均为相同维数的矩阵。126绘图数据的准备绘图数据的准备绘制三维网格图、曲面图之前，要进行绘图数据绘制三维网格图、曲面图之前，要进行绘图数据的准备，步骤如下：的准备，步骤如下：1.确定自变量确定自变量t,w的取值。的取值。例：例：t=0:0.1*pi:2*pi;w=0:0.1*pi:4*pi2.构成构成XOY平面上的平面上的“格点格点”矩阵。矩阵。例：例：X,Y=meshgrid(t,w)3.生成生成“格点格点”处函数值。处函数值。例：例：Z=f(X,Y)127绘图数据的准备绘图数据的准备(续续)1.确定自变量确定自变量t,w的取值。的取值。例：例：t=0:0.1*pi:2*pi;w=0:0.1*pi:4*pi128绘图数据的准备绘图数据的准备(续续)2.构成构成XOY平面上的平面上的“格点格点”矩阵。矩阵。例：例：X,Y=meshgrid(t,w)129绘图数据的准备绘图数据的准备(续续)3.生成生成“格点格点”处函数值。处函数值。例：例：Z=f(X,Y)例：绘制三维网格图、曲面图例：绘制三维网格图、曲面图:z=sin(y)*cos(x)130网格图与曲面图举例网格图与曲面图举例例：绘制三维网格图、曲面图例：绘制三维网格图、曲面图:z=sin(y)*cos(x)显示三维网格图显示三维网格图显示三维曲面图显示三维曲面图插补明暗处理插补明暗处理131surf与与surfl指令指令surfl与与surf的用法完全一样，区别是的用法完全一样，区别是surf 只具有颜色效果，而只具有颜色效果，而surfl具有真实的光学效果具有真实的光学效果132颜色控制颜色控制colormap指令指令colormap(t),t有如下取值：有如下取值：autumn、bone、colorcube、cool、copper、flag、gray、hot、hsv、jet、lines、pink、prism、spring、summer、winter、white等等133peaks函数函数 peaks函数产生曲面，其格式：函数产生曲面，其格式：peaks(n)绘制图形绘制图形134peaks函数例子函数例子 peaks函数产生曲面，其格式：函数产生曲面，其格式：peaks(n)135绘制图形步骤绘制图形步骤数据准备数据准备曲线数据准备曲线数据准备曲面数据准备曲面数据准备确定位置确定位置确定图形窗口确定图形窗口(figure)确定子图位置确定子图位置(subplot)绘图绘图plot、plot3、mesh、surf、surfl图形注释图形注释图名、坐标名、图例、文字图名、坐标名、图例、文字说明说明136动态图形动态图形二维彗星轨线二维彗星轨线comet(x,y)三维彗星轨线三维彗星轨线comet3(x,y,z)例：设计简单运动图形，使小球沿正弦曲线运动。例：设计简单运动图形，使小球沿正弦曲线运动。例：设计简单运动图形，使小球沿例：设计简单运动图形，使小球沿螺旋线螺旋线:x=sint,y=cost,z=t运动。运动。137动态图形例子动态图形例子1例：设计简单运动图形，使小球沿正弦曲线运动。例：设计简单运动图形，使小球沿正弦曲线运动。138动态图形例子动态图形例子2例：设计简单运动图形，使小球沿例：设计简单运动图形，使小球沿螺旋线螺旋线:x=sint,y=cost,z=t运动。运动。13911.2.5 科学计算科学计算n常用科学计算功能常用科学计算功能多项式的运算、拟合、插值多项式的运算、拟合、插值求解线性方程组、求函数零点、极值点求解线性方程组、求函数零点、极值点矩阵运算、数理统计矩阵运算、数理统计求积分、解常微分方程求积分、解常微分方程Laplace变换及其反变换变换及其反变换信号处理中的计算：卷积、信号处理中的计算：卷积、Fourier变换及其逆变换、数变换及其逆变换、数字滤波字滤波系统分析中的计算：线形时不变对象系统分析中的计算：线形时不变对象LTI、LTI的阶跃响的阶跃响应、冲击响应应、冲击响应140多项式的运算、拟合、插值多项式的运算、拟合、插值n常用函数常用函数多项式相乘：多项式相乘：conv多项式相除：多项式相除：deconv根据已知根构造多项式：根据已知根构造多项式：poly求多项式的根：求多项式的根：roots计算多项式的值：计算多项式的值：polyval、polyvalm求拟合多项式：求拟合多项式：polyfit141求多项式的根求多项式的根n求解多项式方程的函数求解多项式方程的函数roots(p)（它能够给出全部根（包含它能够给出全部根（包含重根）重根）,其中其中p是多项式的系数向量）是多项式的系数向量）。n例：求解多项式方程例：求解多项式方程 x2+5x+6=0142求多项式的根（续）求多项式的根（续）求解方程求解方程143多项式系数向量的输入多项式系数向量的输入例：求解多项式方程例：求解多项式方程x4+10 x3-20=0方程等价于方程等价于x4+10 x3+0 x2+0 x1-20=0144根据已知根构造多项式根据已知根构造多项式n根据已知的根构造多项式函数是根据已知的根构造多项式函数是poly(x)（其中其中x是多项式方程的根）是多项式方程的根）。n例：求以例：求以X=-2-3为根的多项式为根的多项式145根据已知根构造多项式例子根据已知根构造多项式例子例：求以例：求以X=-2-3为根的多项式方程为根的多项式方程多项式多项式x2+5x+6=0146例例：在在化化学学反反应应中中，为为研研究究某某化化合合物物的的浓浓度度随随时时间间的的变变化化规规律律，测测得得一一组组数数据据如如下下表表，求求此此化化合合物物的的浓浓度度y与与时时间间t的的拟拟合合函函数数，并并绘绘制拟合函数的图形。制拟合函数的图形。多项式拟合的例子多项式拟合的例子化合反应后测量的某化合物浓度数据t(分)12345678y3.90 6.50 8.00 8.50 9.28 9.50 9.70 9.86 t(分)910111213141516y10.00 10.20 10.32 10.52 10.50 10.55 10.58 10.60 147拟合拟合在在生生产产实实践践和和科科学学实实验验中中的的数数据据(data)，根根据据一一组组二二维维数数据据，即即平平面面上上的的若若干干点点，要要求求确确定定一一个个一一元元函函数数yf(x),即即曲曲线线，使使这这些些点点与与曲曲线线总总体体来来说说尽尽量量接接近近，这这就就是是数数据据拟拟合合成成曲曲线线的的思思想，简称为想，简称为曲线拟合曲线拟合（fittingacurve）曲曲线线拟拟合合的的目目的的是是根根据据实实验验获获得得的的数数据据去去建建立立因因变变量量与与自自变变量量之之间间有有效效的的经经验验函函数数关关系系，为为进进一步的深入研究提供线索一步的深入研究提供线索148拟合函数拟合函数多项式函数拟合：多项式函数拟合：p=polyfit(x,y,n)其其中中n表表示示多多项项式式的的最最高高阶阶数数，x，y为为将将要要拟拟合合的的数数据据，它它是是用用数数组组的的方方式式输输入入。输输出出参参数数p为为拟拟合多项式的系数。合多项式的系数。149拟合函数（续）拟合函数（续）拟合函数：拟合函数：y=-0.0449t2+1.0782t+4.3163化合反应后测量的某化合物浓度数据t(分)12345678y3.90 6.50 8.00 8.50 9.28 9.50 9.70 9.86 t(分)910111213141516y10.00 10.20 10.32 10.52 10.50 10.55 10.58 10.60 150插值与拟合插值与拟合在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据，揭示自变量验观测数据，揭示自变量x与因变量与因变量y之间的关系，之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式一般可以用一个近似的函数关系式yf（x）来表来表示通常可以采用两种方法：插值和拟合示通常可以采用两种方法：插值和拟合151插值插值插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。十分重要的应用。信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的插值补点、建筑工程的外观设计。的扭曲失真的插值补点、建筑工程的外观设计。化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地理信息数据的处理如地理信息数据的处理如(天气预报）以及社会经济天气预报）以及社会经济现象的统计分析等等现象的统计分析等等 152插值的方法插值的方法绘制地图：根据已得到的一系列关于某地区地理边绘制地图：根据已得到的一系列关于某地区地理边界的测量数据，绘制一条平面曲线（地图的边界线）。界的测量数据，绘制一条平面曲线（地图的边界线）。分段线性插值分段线性插值在平面上画出所有已知点（有序），用线段依次将相邻的节在平面上画出所有已知点（有序），用线段依次将相邻的节点两两连接起来，得到一条由折线段构成的封闭曲线一地图点两两连接起来，得到一条由折线段构成的封闭曲线一地图的边界！这种方法实质上就是用两点间的直线段（近似）代的边界！这种方法实质上就是用两点间的直线段（近似）代替未知的曲线段，也就是对每段曲线上的未知函数值，用直替未知的曲线段，也就是对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替，这种方法称为线段上相应的函数值来代替，这种方法称为分段线性插值分段线性插值 153插值的方法（续）插值的方法（续）每每两两点点之之间间，采采用用已已知知类类型型的的曲曲线线段段连连接接，并并根根据据实实际际情情况况，加加上上衔衔接接点点处处的的光光滑滑性性要要求求例例如如样样条条曲线和三次样条插值曲线和三次样条插值在在边边界界上上的的测测量量点点不不是是太太多多的的情情况况下下，绘绘制制出出来来的的地图边界效果可能不是很好如何改善？地图边界效果可能不是很好如何改善？1.增加测量点数。增加测量点数。2.改进插值方法。改进插值方法。154一维插值一维插值一一维维插插值值：yi=interp1（x,y,xi,method），其其中中x，y为为原原始始数数据据（向向量量），yi为为在在被被插插值值点点xi处处的的插插值值结结果果；method表表示示采采用用的的插插值值方方法法，常常用的有如下几种：用的有如下几种：nearest是是最最邻邻近近插插值值，linear线线性性插插值值；spline三三次次样条插值；样条插值；cubic立方插值缺省为线性插值立方插值缺省为线性插值X必须是单调的，并且必须是单调的，并且xi不能够超过不能够超过x的范围的范围155一维插值举例一维插值举例例：在一例：在一 天天24小时内，从零点开始每间隔小时内，从零点开始每间隔2小时测小时测得的环境温度数据分别为得的环境温度数据分别为11,8,9,10,18,25,28,27,25,19,18,15,12，推测下午，推测下午15点点的温度，并绘制此天的温度，并绘制此天24小时的温度曲线小时的温度曲线例：采用上例中例：采用上例中4小时的环境温度数据（小时的环境温度数据（11,9,18,28,25,18,12）插值计算上午）插值计算上午2、6、10时的温度时的温度（9，10，24）并比较）并比较linear线性插值与线性插值与spline三次样三次样条插值的精度。条插值的精度。156*多维插值多维插值多多维维插插值值：interpN()，N=2，3，分分别别为为二二、三、三、维插值维插值二维插值例：二维插值例：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)其其 中中 x,y,z为为 原原 始始 数数 据据(向向 量量),zi为为 在在 被被 插插 值值 点点(xi,yi)处处的的插插值值结结果果；method表表示示采采用用的的插插值值方法，常用类似一维插值方法，常用类似一维插值x和和y必须是单调的网格必须是单调的网格157求解方程组求解方程组 x1+3x2=5解线性方程组解线性方程组 5x1+6x2=9 1 3 5A=b=AX=b 5 6 9X=Ab158求解方程组（续）求解方程组（续）格式：格式：solve(eqn1,eqn2,.,eqnn,var1,var2,.,varn)其中其中eqni表示第表示第i个方程，个方程，vari表示第表示第i个变量，个变量，i=1，2，N sin(xy)ex*y0例：解方程组例：解方程组 x2y2159求极值求极值一元函数求极小值一元函数求极小值fminbnd（s,x1,x2）,其中其中s为为字符串表达式字符串表达式,（x1,x2）为极为极小值所在区间小值所在区间多元函数求极小值多元函数求极小值fminsearch（s,x1）,其中其中s为为字符串表达式字符串表达式,x1为初始的猜测为初始的猜测值值160一元函数求极值一元函数求极值例：求例：求sin(x)在在0到到2之间的极小值点之间的极小值点161一元函数求极值（续）一元函数求极值（续）如何求如何求sin(x)在在0到到2之间的极大值？之间的极大值？162积分积分积分有不定积分、定积分、重积分等。积分有不定积分、定积