选修221.4.2微积分基本定理

1.4.2微积分基本定理复习：复习：1、定积分是怎样定义？定积分是怎样定义？设函数设函数f f（x x）在）在aa，bb上连续，在上连续，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1个分点：个分点：把区间a,b等分成n n个小区间，个小区间，则，这个常数则，这个常数A称为称为f(x)在在a，b上的上的定积分定积分(简称积分简称积分)记作记作被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。2、定积分定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。形面积的代数和来表示。复习：复习：2、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值说明：说明：定积分的简单性质定积分的简单性质题型题型1：定积分的简单性质的应用定积分的简单性质的应用点评：点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差问题问题2 2：一个作变速直线运动的物体的运动规律一个作变速直线运动的物体的运动规律S SS(t)S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意时。由导数的概念可以知道，它在任意时刻刻t t的速度的速度v(t)v(t)S S（t)t)。设这个物体在时间段。设这个物体在时间段a a，b b内的位移为内的位移为S S，你能分别用，你能分别用S(t)S(t)，v(t)v(t)来表示来表示S S吗？吗？从中你能发现导数和定积分的内在从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？联系吗？另一方面，从另一方面，从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直如果已知该变速直线运动的路程函数为线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物体内物体的位移为的位移为s(b)s(a)，所以又有所以又有 由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函数，这就是说，的原函数，这就是说，定积分定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)的原函数的原函数s(t)在区在区间间a,b上的增量上的增量s(b)s(a).从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,b内物体的位移内物体的位移s可以用定可以用定积分表示为积分表示为由定积分的定义可以计算由定积分的定义可以计算 ,但比较但比较麻烦麻烦(四步曲四步曲),),有没有更加简便有效的方法有没有更加简便有效的方法求定积分呢求定积分呢?引入引入探究探究:如图如图,一个作变速直线运动的物体的运动一个作变速直线运动的物体的运动规律是规律是s=s(t),s=s(t),由导数的概念可知由导数的概念可知,它在任意时它在任意时刻刻t t的速度的速度v(t)=sv(t)=s(t).(t).设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,ba,b内的位移为内的位移为S,S,你能分别用你能分别用s(t),v(t)s(t),v(t)表示表示S S吗吗?由定积分的定义得微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F(b b)F F(a a)即可即可.该公式该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。把计算定积分归结为求原函数的问题。基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式定积分公式定积分公式例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 解解（）（）找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键练习练习1:例计算定积分例计算定积分 解解:巩固巩固练习：见学案练习：见学案 微积分基本定理微积分基本定理三、小结牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回返回莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回返回