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因式分解因式分解 1 1 1 14 4 4 4.3 3 3 3.2 2 2 2 公式法公式法公式法公式法 -平方差公式平方差公式教学目标教学目标1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形：a b (a+b)(a-b)分解因式整式乘法2.学会运用平方差公式分解因式，并且分解到底.1.1.计算：（计算：（1 1）(x+1)(x-1)(2)(y+4)(y-4)(x+1)(x-1)(2)(y+4)(y-4)2.2.根据根据1 1题的结果分解因式：题的结果分解因式：（1 1）（2 2）=(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)=(y+4)(y-4)=(y+4)(y-4)平方差公式反平方差公式反过来就是说：过来就是说：两个数的平方两个数的平方差，等于这两差，等于这两个数的和与这个数的和与这两个数的差的两个数的差的积积a -b=(a+b)(a-b)因式分解因式分解平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b整式乘法整式乘法思考思考此公式有何特点?(1)左边是二项式,两项均能写成完全平方的形式,且符号相反;(2)右边是这两个数的和与这两个数的差的积.a2-b2=(a+b)(a-b)【例例1 1】把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1 1）252516x16x2 2.（2 2）9a9a2 2b b2 2.【解析解析】（1 1）252516x16x2 2=5=52 2（4x4x）2 2 =（5+4x)(55+4x)(54x4x）.（2 2）9a9a2 2b b2 2 =（3a3a）2 2（b b）2 2 =（3a+b)(3a3a+b)(3ab b）.【例题例题】你能由以上知识分解下列几个多项式吗?解：解：(1)、p2-16=(p+4)(p-4)（2）、）、y2-4=(y+2)(y-2)191313(3)、x2-=(x+)(x-)【例例2 2】把下列各式分解因式把下列各式分解因式:（1 1）9 9（m+nm+n）2 2（m mn n）2 2.（2 2）2x2x3 38x.8x.【解析解析】（1 1）9 9（m+nm+n）2 2（m mn n）2 2 =3 3（m+nm+n）2 2(m(mn)n)2 2=3(m+n)+(m=3(m+n)+(mn)3(m+n)n)3(m+n)(m(mn)n)=（3 m+3n+m3 m+3n+mn)(3 m+3nn)(3 m+3nm+nm+n）=（4 m+2n)(2 m+4n4 m+2n)(2 m+4n）=4 4（2 m+n)(m+2n2 m+n)(m+2n）.（2 2）2x2x3 38x 8x=2x=2x（x x2 24 4）=2x=2x（x+2)(xx+2)(x2 2）.有公因式时，先提有公因式时，先提公因式，再考虑用公因式，再考虑用公式公式.1.1.下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？成什么？x x2 2+y+y2 2 x x2 2-y-y2 2 -x-x2 2+y+y2 2 -x-x2 2-y-y2 2能，能，x x2 2-y-y2 2=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)能，能，-x-x2 2+y+y2 2=y=y2 2-x-x2 2=(y+x)(y-x)=(y+x)(y-x)不能不能不能不能【跟踪训练跟踪训练】2.2.判断下列分解因式是否正确判断下列分解因式是否正确.（1 1）（）（a+ba+b）2 2c c2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2c c2 2.（2 2）a a4 41=1=（a a2 2）2 21=1=（a a2 2+1)+1)(a(a2 21).1).【解析解析】（1 1）不正确）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（右边应是整式乘积的形式，但（1 1）中右边还是多项式的形式，）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2 2）不正确）不正确.错误原因是因式分解不彻底，错误原因是因式分解不彻底，因为因为a a2 21 1还能继续分解成（还能继续分解成（a+1a+1）（）（a a1 1）.应为应为a a4 41=1=（a a2 2+1+1）（）（a a2 21 1）=（a a2 2+1+1）（）（a+1a+1）（）（a a1 1）.3.3.分解因式：分解因式：（1 1）x x4 4-y-y4 4.（2 2）a a3 3b-ab.b-ab.【解析解析】(1)(1)x x4 4-y-y4 4=（x x2 2)2 2-(y-(y2 2)2 2=(x=(x2 2+y+y2 2)(x+y)(x-y).)(x+y)(x-y).(2)a(2)a3 3b-ab=ab(ab-ab=ab(a2 2-1)-1)=ab(a+1)(a-1).=ab(a+1)(a-1).分解因式，必须进行到分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再每一个多项式都不能再分解为止分解为止.=(x=(x2 2+y+y2 2)(x)(x2 2-y-y2 2)例例2.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)、(x+z)-(y+z)2)、4(a+b)-25(a-c)3)、4a-4a4)、(x+y+z)-(x y z)5)、a-212解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)=(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c)=2(a+b)+5(a-c)2(a+b)-5(a-c)=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)-(x-y-z)=2 x(2 y+2 z)=4 x(y+z)解：原式解：原式=(a2-4)=(a+2)(a-2)1212用平方差公式进行简便计算用平方差公式进行简便计算:1)38-372)213-873)229-1714)9189解：1）38-37=（38+37）（38-37）=752)213-87=(213+87)(213-87)=300126=37800解：3）229-171=（229+171）（229-171）=40058=23200解：解：4）9189=（90+1）（）（90-1）=90-1=8100-1=8099已知，x+y=7，x-y=5，求代数式 x2-y2-2y+2x的值解：解：x2y22y+2x =x2y2（2x2y）=（x+y）（）（x y）2（xy）=（x y）（）（x y 2）=59=45 例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数证明：证明：(2n+1)2-(2n-1)2 =（2n12n-1）（）（2n1-2n1）=4n2 =8n因为因为n是整数，所以原式是是整数，所以原式是8的倍数的倍数1.1.（杭州（杭州中考）分解因式中考）分解因式 m m3 3 4m=4m=.【解析解析】m m3 3 4m=m(m+2)(m-2).4m=m(m+2)(m-2).答案：答案：m(m+2)(m-2)m(m+2)(m-2)2.(2.(江西江西中考中考)因式分解因式分解:2a:2a2 28 8_._.【解析解析】原式原式=答案：答案：3.(3.(珠海珠海中考中考)因式分解因式分解:=_.:=_.【解析解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；先提公因式，再利用平方差公式分解因式；即即axax2 2-ay-ay2 2=a=a（x x2 2y y2 2）=a=a（x+yx+y）（）（x xy y）答案答案:a(x+y)(xa(x+y)(xy)y)4.4.（东阳（东阳中考）中考）因式分解：因式分解：x x3 3-x=_.-x=_.【解析解析】x x3 3-x=x(x-x=x(x2 2-1)=x(x+1)(x-1).-1)=x(x+1)(x-1).答案答案:x(x+1)(x-1)x(x+1)(x-1)5.5.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解:=_.:=_.【解析解析】原式原式=（x+3x+3）(x-3).(x-3).答案答案:（x+3x+3）(x-3)(x-3)6.6.利用因式分解计算：利用因式分解计算：1001002 2-99-992 2+98+982 2-97-972 2+96+962 2-95-952 2+2+22 2-1-12 2.【解析解析】原式原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+(2+1)(2-1)+(2+1)(2-1)=199+195+191+=199+195+191+3+3 =5 050.=5 050.1.1.利用平方差公式分解因式利用平方差公式分解因式:a a2 2b b2 2=（a+b)(a-b).a+b)(a-b).2.2.因式分解的步骤是因式分解的步骤是:首先提取公因式首先提取公因式,然后考虑用公式法然后考虑用公式法.3.3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.4.4.计算中应用因式分解计算中应用因式分解,可使计算简便可使计算简便.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：
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