数学分析课件一致收敛性

1 一 致 收 敛 性 三 、 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 判 别 法 对 于 一 般 项 是 函 数 的 无 穷 级 数 ， 其 收 敛 性要 比 数 项 级 数 复 杂 得 多 ， 特 别 是 有 关 一 致 收敛 的 内 容 就 更 为 丰 富 ， 它 在 理 论 和 应 用 上 有着 重 要 的 地 位 .一 、 函 数 列 及 其 一 致 收 敛 性 二 、 函 数 项 级 数 及 其 一 致 收 敛 性 一 、 函 数 列 及 其 一 致 收 敛 性 设 1 2, , , , (1) nf f f是 一 列 定 义 在 同 一 数 集 E 上 的 函 数 ,称 为 定 义 在 E 上 的 函 数 列 . (1) 也 可 记 为 , 1,2, .n nf f n或以 0 x E 代 入 (1), 可 得 数 列 1 0 2 0 0( ), ( ), , ( ), . (2) nf x f x f x 0 x 0 x如 果 数 列 (2)收 敛 , 则 称 函 数 列 (1)在 点 收 敛 , 称 为 函 数 列 (1)的 收 敛 点 . 如 果 数 列 (2)发 散 , 则 称 函 数 列 (1)在 点 0 x 发 散 . 当 函 数 列 (1)在 数 集 上 每 一 D E点 都 收 敛 时 , 就 称 (1)在 数 集 D 上 收 敛 . 这 时 D 上 每 x ( )nf x一 点 都 有 数 列 的 一 个 极 限 值 与 之 相 对 应 , 根 据 这 个 对 应 法 则 所 确 定 的 D 上 的 函 数 , 称 为 函 数 列 (1)的 极 限 函 数 . 若 将 此 极 限 函 数 记 作 f, 则 有lim ( ) ( ),nn f x f x x D 或 ( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D N x D函 数 列 极 限 的 定 义 : 对 每 一 固 定 的 , 任 , 总 存 在 正 数 N(注 意 : 一 般 说 来 N值 与给 正 数 和 , x)表 示 三 者 之 间 的 值 都 有 关 , 所 以 有 时 也 用 N(x 的 依 赖 关 系 ), 使 当 n N 时 , 总 有 | ( ) ( )| .nf x f x 使 函 数 列 nf 收 敛 的 全 体 收 敛 点 集 合 , 称 为 函 数 列 nf 的 收 敛 域 . 例 1 ( ) , 1,2, ,nnf x x n 设 为 定 义 在 (- )上 的 函 数 列 , 证 明 它 的 收 敛 域 是 ( 1,1 , 且 有 极 限 函 数 0, | | 1,( ) 1, 1.xf x x 证 0( 1), 0 | | 1 ,x 任 给 不 妨 设 当 时 由 于 | ( ) ( )| | |,nnf x f x x ln( , ) , ( , )ln| |N x n N xx 只 要 取 当 时 ,就 有| ( ) ( )| | | | | .n Nnf x f x x x 0 1 , ,x x n 当 和 时 则 对 任 何 正 整 数 都 有| (0) (0)| 0nf f ， | (1) (1)| 0 .nf f 式 所 表 示 的 函 数 . | | 1 | | ( ),nx x n当 时 , 有 1 ,x当 时又 1,1, 1,1 , 对 应 的 数 列 为 显 然 是 发 散 的 . 所 以 nx ( 1,1函 数 列 在 区 间 外 都 是 发 散 的 . 故 所 讨 论的 函 数 列 的 收 敛 域 是 ( 1,1.这 就 证 明 了 在 ( , 1 上 收 敛 , 且 极 限 就 是 (3) nf 1 例 2 sin( , ) ( ) ,n nxf x n 定 义 在 上 的 函 数 列1,2, .n sin 1,nxn n 10, ,n N 故 对 任 给 的 只 要 就 有 sin 0 .nxn ,x由 于 对 任 何 实 数 都 有 所 以 函 数 列 sin ( , ),nx n 的 收 敛 域 为 极 限( ) 0.f x 函 数 为注 对 于 函 数 列 , 仅 停 留 在 讨 论 在 哪 些 点 上 收 敛 是 远 远 不 够 的 ， 重 要 的 是 要 研 究 极 限 函 数 与 函 数 列 所 具 有 的 解 析 性 质 的 关 系 . 例 如 , 能 否 由 函 数 列 每 项 的 连 续 性 、 可 导 性 来 判 断 出 极 限 函 数 的 连 续 性 和 可 导 性 ; 或 极 限 函 数 的 导 数 或 积 分 , 是 否 分 别 是 函 数 列 每 项 导 数 或 积 分 的 极 限 . 对 这 些 更 深 刻 问 题 的 讨 论 , 必 须 对 它 在 D上 的 收 敛 性 提 出 更 高 的 要 求 才 行 . 设 函 数 列 nf f与 函 数 定 义 在 同 一 D定 义 1 数 集上 ， , ,N若 对 任 给 的 正 数 总 存 在 某 一 正 整 数 使 当 n N ,x D对 一 切 都 有时 ， | ( ) ( )|nf x f x ， nf D f则 称 函 数 列 在 上 一 致 收 敛 于 ,记 作( ) ( )( ), .nf x f x n x D 由 定 义 看 到 , 一 致 收 敛 就 是 对 D 上 任 何 一 点 , 函 数 列 趋 于 极 限 函 数 的 速 度 是 “ 一 致 ” 的 . 这 种 一 致 性 体 现 ( ).N 显 然 , 若 函 数 列 nf 在 D 上 一 致 收 敛 , 则 必 在 D 上每 一 点 都 收 敛 . 反 之 , 在 D 上 每 一 点 都 收 敛 的 函 数 列 , 它 在 D 上 不 一 定 一 致 收 敛 . 为 : 与 相 对 应 的 N 仅 与 有 关 , 而 与 x 在 D 上 的 取 值 无 关 , 因 而 把 这 个 对 所 有 x 都 适 用 的 N 写 作 例 2 中 的 函 数 列 sinnxn 是 一 致 收 敛 的 , 因 为 对 任 意 , x正 数 不 论 (- ,+ ) 给 定 的 取 上 什 么 值 , 都 有 N 1 ,n N当 时 恒 有 sinnxn , , 所 以 函 数 列 sin ( ) 0nx f xn 在 (- ,+ )上 一 致 收 敛 于 .在 D 上 不 一 致 收 敛 于 f 的 正 面 陈 述 是 : nf函 数 列存 在 某 正 数 0, 对 任 何 正 数 N, 都 有 某 一 点 0 x D 和0 0 x n与 的 取 值 与 N 有 关 ), ( 注 意 : 0n N某 一 正 整 数使 得 0 0 0 0( ) ( ) .nf x f x (0,1) 0.nx 在 上 不 可 能 一 致 收 敛 于由 例 1 中 知 道 , 下 面 来 证 明 这 个 结 论 . 事 实 上 , 若 取 0 1, 2,2 N 对 任 何 正 整 数 取 正 整10 0 11 (0, 1),Nn N x N 数 及 就 有 00 1 10 1 .2nx N nf f函 数 列 一 致 收 敛 于 的 几 何 意 义 :如 图 所 示 ,号 大 于 N 的 所 有 曲 线( )y f x 都 落 在 曲 线与 ( )y f x 所 夹 的 带状 区 域 之 内 .( ) ( ),ny f x n N 0 0,N , 对 于 序 Oy x( )y f x ( )ny f xba ( )y f x ( )y f x 图 13-1 (0,1)nx函 数 列 在 区 间 上,不 一 致 收 敛 从 几 何 意 义 上 看 , 就 是 存 在 某 个 预 先 给 定 的 (0, 存 在 正 数 N, 使 得 当 n N 时 , 对 一 切 ,x D 都 有 | ( ) ( )| . (5)2nf x f x ,n m N于 是 当 ,由 (5)得| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|n m n mf x f x f x f x f x f x .2 2 充 分 性 若 条 件 (4) 成 立 , 由 数 列 收 敛 的 柯 西 准 则 , ( ),f x在 D上 任 一 点 都 收 敛 , 记 其 极 限 函 数 为 nf . (4) , , ,x D n m n N现 固 定 式 中 的 让 于 是 当 时x D对 一 切 都 有 | ( ) ( )| .nf x f x 由 定 义 1知 , 根 据 一 致 收 敛 定 义 可 推 出 下 述 定 理 :定 理 13.2（ 余 项 准 则 ） nf D函 数 列 在 区 间 上 一 致 收 敛 于 f 的 充 分 必 要 条 件 是 : limsup| ( ) ( )| 0. (6)nn x D f x f x , 当 , 存 在 不 依 赖 于 x N任 给 的 正 数 的 正 整 数( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D 证 必 要 性 ( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D若 则 对 由 上 确 界 的 定 义 , 对 所 有 n N , 也 有sup| ( ) ( )| .nx D f x f x 这 就 得 到 了 (6)式 .充 分 性 由 假 设 , 对 任 给 0, 存 在 正 整 数 N, 使 得 n N当 时 ,有 sup| ( ) ( )| . (7)nx D f x f x ,x D因 为 对 一 切 总 有有 | ( ) ( )| , .nf x f x x D n N 时 , | ( ) ( )| sup| ( ) ( )|.n nx Df x f x f x f x .f一 致 收 敛 于注 柯 西 准 则 的 特 点 是 不 需 要 知 道 极 限 函 数 是 什 么 , 只 是 根 据 函 数 列 本 身 的 特 性 来 判 断 函 数 列 是 否 一 致 收 敛 , 而 使 用 余 项 准 则 需 要 知 道 极 限 函 数 , 但 使 用 较 为 方 便 . 如 例 2, 由 于 ( , ) sin 1lim sup 0 lim 0,n nx nxn n sin( , ) , 0 ( ).nx nn所 以 在 上故 由 (7) 式 得 ( ) ( ) ,n nf x f x f D 于 是 在 上 例 3 定 义 在 0,1上 的 函 数 列2 2 12 , 0 ,21 1( ) 2 2 , , 1,2, , (8)210, 1,n n x x nf x n n x x nn nxn (0) 0,nf由 于 (0)f故 lim (0) 0.nn f 0 1 ,x当 时 1,n x只 要 就 有 ( ) 0,nf x (0,1故 在 上 有 ( ) lim ( ) 0.nnf x f x 1,2,3n其 中 的 图像 如 图 13-3 所 示 . (8) 0,1于 是 在 上 的 极 限 函 数 ( ) 0.f x 为 又 由 于0,1 1sup ( ) ( ) ( ),2n nx f x f x f n nn 所 以 函 数 列 (8) 在 0,1上 不 一 致 收 敛 .13 3图 ( )f x 11f2f3f 121316 14213 xyO 例 4 讨 论 函 数 例 2 22 ( ) e , 0,1n xnf x n x x 的 一 致 收 敛 性 . 解 为 了 使 用 余 项 准 则 , 首 先 求 出 函 数 列 的 极 限 函 数 . 易 见 2 22( ) lim ( ) lim e 0, 0,1,n xnn nf x f x n x x 于 是 2 22| ( ) (0)| e .n xnf x f n x 2 22 e n xn x 0,1容 易 验 证 在 上 只 有 惟 一 的 极 大 值 点 0 12x n , 因 此 为 最 大 值 点 . 于 是 12sup| ( ) ( )| e2n nf x f x 根 据 余 项 准 则 知 该 函 数 列 在 0,1上 不 一 致 收 敛 .注 2 22 ( ) e n xnf x n x 不 一 致 收 敛 是 因 为 函 数 列 余 的 增 大 一 致 趋 于 零 0 x n项 的 数 值 在 附 近 不 能 随(见 图 13-4), 因 此 对 任 何 不 含 原 点 的 区 间 ,1(0a a2 22 ( ) e n xnf x n x 在 该 区 间 上 一 致 收 敛 于 零 . 1), 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 图 13 4 二 、 函 数 项 级 数 及 其 一 致 收 敛 性 ( )nu x E设 是 定 义 在 数 集 上 的 一 个 函 数 列 ,表 达 式1 2( ) ( ) ( ) , (9)nu x u x u x x E 称 为 定 义 在 E上 的 函 数 项 级 数 , 1 ( )nn u x简 记 为 或( ).nu x 称 1( ) ( ), , 1,2, (10)nn kkS x u x x E n 为 函 数 项 级 数 (9)的 部 分 和 函 数 列 . 0 ,x E若 数 项 级 数1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) (11)nu x u x u x 0 01( ) ( )nn kkS x u x n收 敛 , 即 部 分 和 当 时 极 限 0 x 0 x存 在 , 则 称 级 数 (9)在 点 收 敛 , 称 为 级 数 (9)的 收 敛 点 . 若 级 数 (11)发 散 , 则 称 级 数 (9)在 点 0 x 发 散 . 若 级 数 (9)在 E 的 某 个 子 集 D 上 每 点 都 收 敛 , 则 称 级 数 (9)在 D 上 收 敛 . 若 D 为 级 数 (9)全 体 收 敛 点 的 集 合 , 这 时 就 称 D为 级 数 (9)的 收 敛 域 . 级 数 (9)在 D上 每 一 点 x 与 其 所 对 应 的 数 项 级 数 (11)的 和 ( )S x 构 成 一 个 定 义 在 D 上 的 函 数 , 称 为 级 数 (9)的 和 函 数 , 并 记 作 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ,nu x u x u x S x x D 即 lim ( ) ( ), .nn S x S x x D 也 就 是 说 , 函 数 项 级 数 (9)的 收 敛 性 就 是 指 它 的 部 分 和 函 数 列 (10)的 收 敛 性 . 例 5 ( , ) 定 义 在 上 的 函 数 项 级 数 (几 何 级 数 )21 , (12)nx x x 1( ) . | | 11 nn xS x xx 的 部 分 和 函 数 为 当 时 ,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x 1(12) ( 1,1) ( ) ;1S x x 所 以 几 何 级 数 在 收 敛 于| | 1 , .x 当 时 几 何 级 数 是 发 散 的 定 义 2 ( ) ( )n nS x u x设 是 函 数 项 级 数 的 部 分 和. ( ) ( ),nS x D S x函 数 列 若 在 数 集 上 一 致 收 敛 于 则 称( ) ( ),nu x D S x函 数 项 级 数 在 上 一 致 收 敛 于 函 数( ) .nu x D或 称 在 上 一 致 收 敛由 于 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 是 由 它 的 部 分 和 函 数 列 来 确 定 , 所 以 得 到 的 有 关 函 数 项 级 数 的 定 理 . 定 理 13.3 ( 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 ) 函 数 项 级 数 ( )nu x 在 数 集 D 上 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 为 : 对 任 , 存 在 正 整 数 N ,n N 时给 的 正 数 ， 使 当 对 一 切 x D ,p一 切 正 整 数 都 有和 | ( ) ( )| ,n p nS x S x 或 1 2| ( ) ( ) ( )| .n n n pu x u x u x 此 定 理 中 当 p=1 时 , 得 到 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 一 个 必 要 条 件 . 推 论 (函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 必 要 条 件 ) 函 数 项 级 数 ( )nu x D在 数 集 上 一 致 收 敛 的 必 要 条 件 是 函 数 ( )nu x D列 在 上 一 致 收 敛 于 零 . ( ) ( ),nu x D S x设 函 数 项 级 数 在 上 的 和 函 数 为 称( ) ( ) ( )n nR x S x S x ( ) .nu x为 函 数 项 级 数 的 余 项定 理 13.4 (余 项 法 则 ) 函 数 项 级 数 ( )nu x 在 数 集 D 一 致 收 ( )S x敛 于 的 充 要 条 件 是limsup| ( )| limsup| ( ) ( )| 0.n nn nx D x DR x S x S x 0 , , ( 1)nn x a a a 我 们 再 来 看 例 4中 的 级 数 若 仅 在上 讨 论 , 则 由 , , sup | ( ) ( )| sup 1 nnx a a x a a xS x S x x 0 ( )1 na na0 , ( 1,1)nn x a a可 得 级 数 在 上 一 致 收 敛 .若 在 上 讨 论 这 个 级 数 , 则 由 ( 1,1) ( 1,1)sup | ( ) ( )| sup 11 11 nnnx x x n nS x S x n nx 1 ( )1 nnn nn 0 ( 1,1)nn x 知 道 级 数 在 内 不 一 致 收 敛 .20 (1 )nn x x 0,1例 6 讨 论 函 数 项 级 数 在 上 一 致 收 敛 性 . 2 10( ) (1 ) (1 )(1 )n k nn kS x x x x x 所 以 ( ) lim ( ) (1 ) 0,1.nnS x S x x x ，于 是 | ( ) ( )| (1 ), 0,1,nnS x S x x x x 由 1( (1 ) ( 1) 0n n nx x nx n x 解 得 最 大 值 点 0 1nx n , 故 0 x (1) 0nS 0 1x 解 当 时 , ; 当 时 0,1sup | ( ) ( )|nx S x S x 因 此 20 (1 )nn x x 在0,1上 一 致 收 敛 .注 当 和 函 数 容 易 求 出 时 , 余 项 准 则 是 比 较 好 用 的 一 种 判 别 方 法 . 1 01 1nnn n 0n1n2n ( ) 1S x x ( ) ( )( )11 1nnS x x x xy 0.5 10.20.40.60.81O 图 13 - 5 三 、 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 判 别 法判 别 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 除 了 根 据 定 义 、 柯 西 准 则 或 余 项 准 则 外 , 有 些 级 数 还 可 以 根 据 级 数 一 般 项 的 某 些 特 性 来 判 别 . 定 理 13.5 (魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ， 或 优 级 数 判 别 法 ) ( ) ,nu x D定 义 在 数 集 上 nM设 函 数 项 级 数 为 收 敛 的 正 项 级 数 ， ,x D若 对 一 切 有| ( )| , 1,2, , (13)n nu x M n ( )nu x D则 函 数 项 级 数 在 上 一 致 收 敛 . 证 ,nM由 假 设 正 项 级 数 收 敛 根 据 数 项 级 数 的 柯, 存 在 某 正 整 数 N, 使 得 当 n N 西 准 则 , 任 给 正 数 及 任 何 正 整 数 p, 有 1 1| | .n n p n n pM M M M (13) x D又 由 式 对 一 切 有1 1| ( ) ( )| | ( )| | ( )|n n p n n pu x u x u x u x 根 据 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 , 级 数 ( )nu x在 D 上 一 致 收 敛 . 1 .n n pM M 例 7 函 数 项 级 数 2 2sin cos,nx nxn n ( , ) ( , )x在 上 一 致 收 敛 .因 为 对 一 切 有 2 2 2 2sin 1 cos 1, ,nx nxn n n n 21 .n而 正 项 级 数 是 收 敛 的当 级 数 ( ) , n nu x M a b与 级 数 在 区 间 上 成 立 关 nM , a b系 式 (13)时 , 则 称 级 数 在 区 间 上 优 于 级 ( )nu x ( )n nM u x为 数 , 或 称 的 优 级 数 . 优 级 数 判 别 法 也 称 为 M 判 别 法 . 利 用 阿 贝 尔 分 部 求 和 公 式 (第 十 二 章 3的 引 理 ), 可 以 得 到 与 数 项 级 数 相 似 的 判 别 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 阿 贝 尔 判 别 法 和 狄 利 克 雷 判 别 法 . 设 有 定 义 在 区 间 I上 形 如1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nu x v x u x v x u x v x 的 函 数 项 级 数 . 对 级 数 (14)有 : ( ) ( ) (14)n nu x v x 定 理 13.6(阿 贝 耳 判 别 法 )设 (i) ( ) ;nu x I在 区 间 上 一 致 收 敛(ii) , ( ) ;nx I v x对 于 每 一 个 是 单 调 的(iii) ( ) ,nv x I x I在 上 一 致 有 界 即 对 一 切 和 正 整数 , 存 在 正 数 M, 使 得 n | ( )| ,nv x M则 级 数 (14)在 I 上 一 致 收 敛 . 1 2| ( ) ( ) ( )|n n n pu x u x u x 又 由 (ii),(iii)及 阿 贝 耳 引 理 (第 十 二 章 3的 引 理 的 推 论 )得 到 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 由 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 性 的 柯 西 准 则 , 得 级 数 (14) 在 I 上 一 致 收 敛 . 1(| ( )| 2| ( )|) 3 .n n pv x v x M 证 (i), 0, ,N n N由 任 给 存 在 某 正 数 使 得 当 及 , ,p x I任 何 正 整 数 对 一 切 有 定 理 13.7 (狄 利 克 雷 判 别 法 ) 设(i) ( )nu x 的 部 分 和 数 列 1( ) ( ) ( 1,2, )nn kkU x u x n 在 I 上 一 致 有 界 ;(ii) , ( ) ;nx I v x对 于 每 一 个 是 单 调 的 (iii) ( ) 0( ),nI v x n在 上则 级 数 (14)在 I上 一 致 收 敛 . | ( )| .nU x M证 由 (i), 存 在 正 数 M, 对 一 切 x I, 有 因 此 当 n, p 为 任 何 正 整 数 时 , 1 2| ( ) ( ) ( )| | ( ) ( )| 2 .n n n p n p nu x u x u x U x U x M 对 任 何 一 个 x I, 再 由 (ii)及 阿 贝 耳 引 理 得 到 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 0, 存 在 正 数 N, 当 nN 时 , 对 再 由 (iii), 对 任 给 的 一 切 x I, 有 | ( )| ,nv x 所 以 12 (| ( )| 2| ( )|).n n pM v x v x 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 2 ( 2 ) 6 .M M 于 是 由 一 致 收 敛 性 的 柯 西 准 则 , 级 数 (14)在 I上 一 致 收 敛 . 例 8 函 数 项 级 数 11( 1) ( )n nnn x nn 在 0, 1上 一 致 收 敛 .( 1)( ) , ( ) 1 nnn n xu x v xn n记 nu,于 是 在 0, 1 上 一 致 收 敛 ， ( )nv x 在 0,1上 单 调 增 且 一 致 有 界 , 由 阿 贝 耳 判 别 法 就 能 得 到 结 果 . cos (15)na nx ,2 (0 ) 在 上 一 致 收 敛 .证 由 第 十 二 章 3(21)式 , 在 , 2-上 有1 1sin( ) 12| cos | 22sin2nk n xkx x 例 9 若 数 列 单 调 且 收 敛 于 零 , 则 级 数 na 1 1 1 1,2 22sin2sin 22x cos ,2 nx 所 以 级 数 的 部 分 和 数 列 在 上 一致 有 界 , 于 是 令 ( ) cos , ( ) ,n n nu x nx v x a 一 致 收 敛 . 则 由 狄 利 克 雷 判 别 法 可 得 级 数 (15)在 上 ,2 注 对 于 例 7中 的 级 数 (15), 只 要 单 调 且 收 敛 于 零 , na 闭 区 间 上 一 致 收 敛 . 1( )u t , a b例 10 设 在 上 可 积 , 1( ) ( )d , 1,2, ,xn nau x u t t n 11 ( )nn u x , a b证 明 函 数 项 级 数 在 上 一 致 收 敛 . 1( )u t , a b 0M 证 因 为 在 上 可 积 , 所 以 存 在 , 使 得 1| ( )|u x M , 于 是 有 2 1| ( )| | ( )|d ( ),xau x u t t M x a 级 数 (15)就 在 不 包 含 的 任 何2 ( 0, 1, 2, )k k 23 2 ( )| ( )| | ( )|d ( )d ,2!x xa a x au x u t t M x a t M 由 数 学 归 纳 法 容 易 得 到 11 1| ( )| | ( )|d ( ) d! nx xn na au x u t t M x a tn 因 为 数 项 级 数 1 ( )! nn b aM n 收 敛 , 所 以 根 据 优 级 数 判 别 法 知 原 级 数 在 , a b 上 一 致 收 敛 .( ) ( ) .! !n nx a b aM Mn n 复 习 思 考 题 1. 总 结 函 数 列 和 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 判 别 方 法 (不 局 限 于 书 上 现 成 的 判 别 法 ); 判 别 不 一 致 收 敛 通常 可 以 使 用 哪 些 方 法 呢 ？ 2 给 出 函 数 项 级 数 在 D上 不 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 (即 柯 西 收 敛 准 则 的 否 定 形 式 ).