初中数学切线的判定

问 题 1： 下 图 中 的 直 线 l和 O是 什 么 关 系 ？相 交 相 离相 切（两个交点）（一个交点）（零个交点）d = r 相 切d 问 题 2:如 图 ， 已 知 点 A是 O上 一 点 ，过 A作 OA的 垂 线 l， 这 样 的 直 线 有 几条 ？ 直 线 l与 O的 位 置 关 系 怎 样 ？为 什 么 ？ lAOdr特 征 一 ： 直 线 l经 过 半 径 OA 的 外 端 点 A特 征 二 ： 直 线 l垂 直 于 半 径 OAd = r 相 切 切 线 的 判 定 定 理 ： 经 过 半 径 外 端并 且 垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆的 切 线 。 lA O lA O lA l判 断 下 图 直 线 l是 否 是 O的 切 线 ？并 说 明 为 什 么 。证 明 一 条 直 线 为 圆 的 切 线 时 ， 必 须两 个 条 件 缺 一 不 可 ： 过 半 径 外 端 垂 直 于 这 条 半 径 。 已 知 ： 直 线 AB经 过 O上 的 点 C， 并 且OA=OB,CA=CB. 求 证 ： 直 线 AB是 O的 切 线 。 OA BC分 析 ： 欲 证 AB是 O的 切 线 ， 由 于 AB过 圆上 点 C， 若 连 结 OC,则AB过 半 径 OC的 外 端 ，只 需 证 明 OC AB . 例 1、 已 知 ： 直 线 AB经 过 O上 的 点 C， 并 且 OA=OB,CA=CB. 求 证 ： 直 线 AB是 O的 切 线 。OA BC证 明 ： 如 图 ， 连 结 OC. OA=OB,CA=CB OC是 等 腰 OAB 底 边 BC上 的 中 线 OC AB 又 AB过 半 径 OC的 外 端 AB是 O的 切 线 已 知 ABC内 接 于 O,直 线 EF过 点 A（1）如图1，AB为直径，要使得EF是 O的切线，还需添加的条件是 或 。（2）如图2， AB为非直径弦，且 CAE= B,求证：EF为 O的切线。FE C BA O C BEFA O一 般 情 况 下 ， 要 证 明 一 条 直 线 为 圆的 切 线 ， 它 过 半 径 外 端 （ 即 一 点 已在 圆 上 ） 是 已 知 给 出 时 ， 只 需 证 明直 线 垂 直 于 这 条 半 径 。 练 习 ：AB是 O的 直 径 ， 点 D在 AB的 延 长 线 上 BD=OB,点 C在 圆 上 ， CAB=30 。求 证 ： DC是 O的 切 线 。 C DBA O 已 知 O为 BAC平 分 线 上 一 点 ，OD AB于 D， 以 O为 圆 心 ， OD为半 径 作 圆 O，求 证 ： O与 AC相 切练 习 2： 证 明 直 线 与 圆 相 切 ， 但 无 切点 时 ， 往 往 过 圆 心 作 切 线 的垂 线 ， 再 证 明 d=r即 可D CA BO 切 线 的 判 定 方 法 有 ： 、 切 线 的 判 定 定 理 。 、 直 线 到 圆 心 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 。 、 直 线 与 圆 有 一 个 公 共 点 。切 线 的 判 定 定 理 ： 经 过 半 径 外 端并 且 垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆的 切 线 。 思考？改变切线判定定理的题设与结论 如 果 直 线 l是 O的 切 线 ， 切 点 为A,那 么 半 径 OA与 直 线 l是 不 是 一定 垂 直 呢 ？切 线 的 性 质 定 理 ：圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 。 A L1L2BO如 图 ， AB是 O的 直 径 ， 直 线 L1、L2是 O的 切 线 ， A、 B是 切 点 ,直 线 L1、L2有 怎 样 的 位 置 关 系 ？ 、 经 过 半 径 外 端 的 直 线 是 圆 的 切 线 。 、 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 。 、 过 直 径 的 外 端 并 且 垂 直 于 这 条 直 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 。 、 和 圆 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 是 圆 的 切 线 。 、 以 等 腰 三 角 形 的 顶 点 为 圆 心 ， 底 边 上 的 高 为 半 径 的 圆 与 底 边 相 切 。是 非 题 ： 判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 。 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 练习3、如图4，AB是O的直径，ABC=45，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？ 图5练习4、如图5，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=B = 30，边BD交圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？ 机动练习：已知，如图6，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， O与腰AB相切于点D。AC与 O相切吗？为什么? 作业1、如图7，已知ABC内接于 O，P是CB延长线上的一点，连结AP，且AP2 = PBPC，试说明PA是 O的切线。 2、思考题：如图，A是 O直径上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和 O相交于另一点C，过点C的切线和OA的延长线相交于点D，那么DA = DC吗？为什么？变题1：若将直线DA向上平行移至OB上，DA还会等于DC吗？为什么？变题2：若将直线DA向上平行移至OB外，DA还会等于DC吗？为什么？ 反馈练习：1、下列说法正确的是（ ） （A）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线 （B）经过半径的外端的直线是圆的切线 （C）和半径垂直的直线是圆的切线 （D）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点2、若CD是 O的切线，要判定AB CD，还需要添加的条件是（ ）（A）AB经过圆心O （B）AB是直径（C）AB是直径，B是切点 （D）AB是直线，B是切点DC 例二：如图，AB是圆O的直径，AC垂直于l, BD垂直 于l, C，D为垂足，且AC+BD=AB.求证：直线l于圆O相切。分析：已知条件中未给出直线l与圆的公共点，因此需要考虑圆心到直线的距离是否等于半径，从而想到添加辅助线，OE垂直于E。 l O B A C DE 如 图 ， 以 Rt ABC的 直 角 边 BC为 直 径作 半 圆 O， 交 斜 边 于 D,OE AC交 AB于 E求 证 ： DE是 O的 切 线 。A D COBE