函数项级数的一致收敛性及基本性质

一 、 问 题 的 提 出 有 限 个 连 续 函 数 的 和 仍 是 连 续 函 数 ， 有 限 个 函 数 的 和 的 导 数 及 积 分 也 分 别 等 于 他 们 的 导 数 及 积 分 的 和 对 于 无 限 个 函 数 的 和 是 否 具 有 这 些 性 质 呢 ？ 对 于 幂 函 数 是 这 样 的 ， 那 么 对 于 一 般 的 函 数 项 级 数 是 否 如 此 ？ 问 题 : 解 ,)( nn xxs 且 得 和 函 数 ：因 为 该 级 数 每 一 项 都 在 0,1是 连 续 的 ， .1,1 ,10,0)(lim)( x xxsxs nn .1)( 处 间 断在和 函 数 xxs例 1 考 察 函 数 项 级 数 )()()( 1232 nn xxxxxxx和 函 数 的 连 续 性 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 , ba 上 连 续 ， 并 且 级 数 在 , ba 上 收 敛 ， 其 和 函 数 不 一 定 在 , ba 上 收 敛 同 样 函 数 项 级 数 的 每 一 项 的 导 数 及 积 分 所 成 的 级 数 的 和 也 不 一 定 等 于 他 们 和 函 数 的 导 数 及 积 分 结 论 对 什 么 级 数 ， 能 从 每 一 项 的 连 续 性 得 出 和 函 数 的 连 续 性 ， 从 每 一 项 的 导 数 及 积 分 所 成 的 级 数 之 和 得 出 原 来 级 数 的 和 函 数 的 导 数 及 积 分 呢 ？ 问 题 二 、 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 设 有 函 数 项 级 数 1 )(n n xu 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自 然 数 N ， 使 得 当 Nn 时 ， 对 区 间 I上 的 一 切x ， 都 有 不 等 式 )()()( xsxsxr nn 成 立 ， 则 成 函 数 项 级 数 1 )(n n xu 在 区 间 I上 一 致 收 敛 于 和 )(xs ， 也 称 函 数 序 列 )(xsn 在 区 间 I上 一 致 收 敛 于 )(xs 定 义 只 要 n充 分 大 )( Nn ,在 区 间 I上 所 有 曲 线 )(xsy n 将 位 于 曲 线 )(xsy 与 )(xsy 之 间 .xyo I )(xsy )(xsy )(xsy )(xsy n 几 何 解 释 : 研 究 级 数 111112111 nxnxxxx 在 区 间 ),0 上 的 一 致 收 敛 性 . 例 2解 ,1)( nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxs nnn余 项 的 绝 对 值 )0(11)()( xnnxxsxsr nn 对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 1N ， 则 当 Nn 时 ， 对 于 区 间 ,0 上 的 一 切 x，有 )(xrn 根 据 定 义 ，所 给 级 数 在 区 间 ,0 上 一 致 收 敛 于 .0)( xs 例 3 研 究 例 1中 的 级 数 )()()( 1232 nn xxxxxxx在 区 间 ( 0 , 1内 的 一 致 收 敛 性 .解 该 级 数 在 区 间 (0,1)内 处 处 收 敛 于 和 0)( xs ， 但 并 不 一 致 收 敛 对 于 任 意 一 个 自 然 数 ,n 取 nnx 21 ， 于 是,21)( nnnn xxs ,0)( nxs但 .21)()()( nnnnn xsxsxr从 而 只 要 取 21 ， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0,1)总 存 在 点 nx ， ,)( nn xr使 得因 此 级 数 在 ( 0, 1 )内 不 一 致 连 续 说 明 :从 下 图 可 以 看 出 : 但虽 然 函 数 序 列 nn xxs )( 在 ( 0, 1 )内 处 处,0)( xs )(xsn 在 ( 0, 1 )内 各 点 处 收收 敛 于敛 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 是 不 一 致 的 o xy (1,1)nn xxsy )( 1n 2n 4n 10n 30n 1一 致 收 敛 上， 这 级 数 在注 意 ： 对 于 任 意 正 数 ,01 rr 小 结 一 致 收 敛 性 与 所 讨 论 的 区 间 有 关 定 理 （ 魏 尔 斯 特 拉 斯 (Weierstrass)判 别 法 ） 如 果 函 数 项 级 数 1 )(n n xu 在 区 间 I 上 满 足 条 件 : (1) )3,2,1()( naxu nn ; (2) 正 项 级 数 1n na 收 敛 , 则 函 数 项 级 数 1 )(n n xu 在 区 间 I 上 一 致 收 敛 . 一 致 收 敛 性 简 便 的 判 别 法 ： 证 由 条 件 (2)， 对 任 意 给 定 的 0 ， 根 据 柯 西 审 敛 原 理 存 在 自 然 数 N ， 使 得 当 Nn 时 ， 对 于 任 意 的 自 然 数 p 都 有 .221 pnnn aaa 由 条 件 (1)， 对 任 何 Ix ， 都 有 )()()( 21 xuxuxu pnnn )()()( 21 xuxuxu pnnn ,221 pnnn aaa 令 p ,则 由 上 式 得 2)(xrn . 因 此 函 数 项 级 数 1 )(n n xu 在 区 间 I 上 一 致 收 敛 .例 4 证 明 级 数 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 ),( 上 一 致 收 敛 . 证 在 ),( 内 ),3,2,1(1sin 22 2 nnn xn 级 数 1 21n n 收 敛 ， 由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ， 所 给 级 数 在 ),( 内 一 致 收 敛 三 、 一 致 收 敛 级 数 的 基 本 性 质定 理 1 如 果 级 数 1 )(n n xu 的 各 项 )(xun 在 区 间 ba, 上 都 连 续 ,且 1 )(n n xu 在 区 间 ba, 上 一 致 收 敛 于 )(xs ,则 )(xs 在 ba, 上 也 连 续 .证 设 xx ,0 为 ba, 上 任 意 点 由 )()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn )()()()( 00 xrxrxsxs nnnn (1)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn 级 数 1 )(n n xu 一 致 收 敛 于 )(xs ， 对 0 ， 必 自 然 数 )(NN ， 使 得 当 Nn 时 , 对 ba, 上 的 一 切 x 都 有 3)( xrn (2).3)( 0 xrn同 样 有 故 )(xsn ( Nn )在 点 0 x 连 续 ， (3)0 当 0 xx 时 总 有 3)()( 0 xsxs nn由 (1)、 (2)、 (3)可 见 , 对 任 给 0 ， 必 有 0 ， 当 0 xx 时 ， 有 .)()( 0 xsxs )(xsn 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ， 所 以 )(xs 在 点 0 x 处 连 续 ， 而 0 x 在 ba, 上 是 任 意 的 ， 因 此 )(xs 在 ba, 上 连 续 定 理 2 如 果 级 数 1 )(n n xu 的 各 项 )(xun 在 区 间 ba, 上 都 连 续 ,且 1 )(n n xu 在 区 间 ba, 上 一 致 收 敛 于 )(xs ,则 )(xs 在 ba, 上 可 以 逐 项 积 分 , 即 xxxxxx dxxudxxu dxxs 000 )()()( 21 xx n dxxu0 )( 其 中 bxxa 0 ,并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 ba, 上 也 一 致 收 敛 . (4) 证 级 数 1 )(n n xu 在 ba, 一 致 收 敛 于 )(xs , 由 定 理 1, )(xs ， )(xrn 都 在 ba, 上 连 续 ， 所 以 积 分 xx dxxs0 )( ， xx n dxxr0 )( 存 在 ,从 而 有 xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )( .)(0 xx n dxxr 又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 , 对 任 给 正 数 必 有)(NN 使 得 当 Nn 时 ,对 ba, 上 的 一 切 x ,都 有 .)( abxrn xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )(.)( 0 xxqb 根 据 极 限 定 义 ， 有 ni xx nnxx nnxx dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(即 1 00 )()( i xx ixx dxxudxxs 由 于 N只 依 赖 于 而 于 xx ,0 无 关 ， 所 以 级 数 1 0 )(i xx i dxxu 在 ba, 上 一 致 收 敛 . 于 是 ， 当 Nn 时 有 定 理 3 如 果 级 数 1 )(n n xu 在 区 间 ba, 上 收 敛 于 和 )(xs ， 它 的 各 项 )(xun 都 具 有 连 续 导 数)(xun ， 并 且 级 数 1 )(n n xu 在 ba, 上 一 致 收 敛 ， 则 级 数 1 )(n n xu 在 ba, 上 也 一 致 收 敛 ， 且 可 逐 项 求 导 ， 即 )()()()( 21 xuxuxuxs n (5) 注 意 :级 数 一 致 收 敛 并 不 能 保 证 可 以 逐 项 求 导 .例 如 ， 级 数 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 任 何 区 间 , ba 上 都 是 一 致 收 敛 的 .逐 项 求 导 后 得 级 数 ,cos2coscos 22 xnxx. ,发 散 的 都 是所 以 对 于 任 意 值因 其 一 般 项 不 趋 于 零 x所 以 原 级 数 不 可 以 逐 项 求 导 定 理 4 如 果 幂 级 数 1n nn xa 的 收 敛 半 径 为 0R , 则 其 级 数 在 ),( RR 内 的 任 意 闭 区 间 ba, 上 一 致 收 敛 .进 一 步 还 可 以 证 明 ， 如 果 幂 级 数 1n nnxa 在 收 敛 区 间 的 端 点 收 敛 ， 则 一 致 收 敛 的 区 间 可 扩 大 到 包含 端 点 幂 级 数 的 一 致 收 敛 性 定 理 5 如 果 幂 级 数 1n nnxa 的 收 敛 半 径 为0R ， 则 其 和 函 数 )(xs 在 ),( RR 内 可 导 ， 且 有 逐 项 求 导 公 式 1 11)( n nnn nn xnaxaxs , 逐 项 求 导 后 所 得 到 的 幂 级 数 与 原 级 数 有 相 同 的 收 敛 半 径 证 在 ),( RR 内 任 意 取 定 x ， 在 限 定 1x ， 使 得Rxx 1 记 11 xxq ， 则 先 证 级 数 1 1n nnxna 在 ),( RR 内 收 敛 ,11 11111111 nnnnnnnn xaxnqxaxxxnxna 由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 1 1n nnq 收 敛 ，),(01 nnqn于 是 故 数 列 1nnq 有 界 ， 必 有 0M ， 使 得 ),2,1(111 nMxnqn 又 Rx 10 ， 级 数 1 1n nnxa 收 敛 ， 由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 1 1n nnxna 收 敛 由 定 理 4， 级 数 1 1n nnxna 在 ),( RR 内 的 任 意 闭 区 间 ba, 上 一 致 连 续 ， 故 幂 级 数 1n nnxa 在 ba, 上 适 合 定 理 3 条 件 ， 从 而 可 以 逐 项 求 导 即 得 幂 级 数 1n nnxa 在 ),( RR 内 可 逐 项 求 导 . 设 幂 级 数 1 1n nnxna 的 收 敛 半 径 为 R ,RR 由 ba, 在 ),( RR 内 的 任 意 性 ， 将 此 幂 级 数 1 1n nnxna 在 x,0 )( Rx 上 逐 项 积 分 即 得 ,1n nnxa 因 逐 项 积 分 所 得 级 数 的 收 敛 半 径 不 会 缩 小 ，,RR 所 以 .RR 于 是 即 1 1n nnxna 与 1n nnxa 的 收 敛 半 径 相 同 四 、 小 结1、 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 定 义 ；2、 一 致 收 敛 级 数 的 判 别 法 魏 尔 斯 特 拉 斯判 别 法 ；4、 幂 级 数 的 一 致 收 敛 性 3、 一 致 收 敛 级 数 的 基 本 性 质 ； 练 习 题 上 一 致 收 敛 在 任 一 有 限 区 间证 明之 差 的 绝 对 值 小 于 正 数 与 其 极 限时能 使 当取 多 大问 上 收 敛 于 在一 、 已 知 函 数 序 列 ,)(.2 ; )(,),(.1 0 ),(),3,2,1(sin baxs xsNnxN nnxsn nn 上 的 一 致 收 敛 性 在 区 间二 、 按 定 义 讨 论 级 数 ),()1()1( 221 1 nn n xx .0,.2 ;,2cos.1 1 21 xex xnxn nxn n区 间 上 的 一 致 收 敛 性 所 给判 别 法 证 明 下 列 级 数 在三 、 利 用 魏 尔 斯 特 拉 斯 练 习 题 答 案取 自 然 数一 、 xN .1二 、 一 致 收 敛